DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 41 <-- 41 --> PDF |
PREGLEDNI ČLANCI -REVIEWS Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 UDK 630* 521 + 522 + 531 RASTE L I DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIM ZLATNOG REZA ILIMA AA I FIBONACCIJEVOG NIZA? DO TREES IN A FOREST GROW BY THE RULES OF THE GOLDEN SECTION AND THE FIBONACCI SERIES? Juraj ZELIĆ* SAŽETAK: Na osnovi analize biometrijskih parametara rasta (prirasnoprihodne tablice) šumskih sastojina bukve EGT-II-D-11 (bukva sa šašem, Bezak et all, 1989) i hrasta lužnjaka (Quercus robur L.), B e z ak , 2004, razmatra se mogući odgovor na pitanje: “Raste li drveće u šumi po pravilima zlatnog reza i Fibonaccijevog niza”? Zlatni rez ili božanski omjer otkriven je u starim kulturama i civilizacijama, primjenjivan kao idealna proporcija u umjetnosti i graditeljstvu, a otkriva se u živom materijalnom svijetu prirodnih zakonitosti rasta i razvoja biljaka i životinja. Izražen brojem dekadskog sustava iznosi: . = (. 5 +1) / 2 = 1,6180339... S omjerom zlatnog reza u uskoj je vezi Fibonaccijev niz, skup realnih brojeva čiji je član u nizu jednak zbroju dvaju prethodnih, primjerice 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Utvrđeno je da po pravilima zlatnog reza i Fibonacijevog niza drveće u šumi raste u debljinu, to jest raste prsni promjer, kružna ploha ili temeljnica, opseg stabla i promjer krošnje stabla kao linearno zavisna varijabla prsnog promjera. Rast prsnog promjera stabla može se izraziti linearnom funkcijom oblika: d = a + b t, u kojoj je zavisna varijabla prsni promjer a nezavisna starost stabla. Regresijski koeficijent b pokazje brzinu rasta stabla ili prirast, različit za pojedine vrste drveća i okolišne uvjete pod kojim stablo raste. Izražava se kao b-modul, koji zajedno s regresijskom konstantom a predstavlja geometrijski rast jednakokutne spirale unutar tzv. vrtložnog pravokutnika s odnosom stranica zlatnog reza. Tjekom životne dobi stablo u sastojini “teži” prosječnom prirastu (brzini rasta) iskazanom vrijednošću b-modula. Brzina rasta ili debljinski prirast predstavljen matematički derivacijom linearne funkcije daje konstantu b, kao izraz jednolikog gibanja, pozitivnog predznaka. Pomoću b-modula mogu se numerički iskazati boniteti za vrste drveća ili odrediti ekološko-gospodarski tipovi šuma. Modelom je pretpostavljeno da sila rasta stabla u debljinu nije ometana silom otpora rastu, kao unutarnjom strukturom rasta, a oscilacije u rastu (prirastu) uvjetovane su vanjskim, prisilnim silama. Rast stabla u visinu predstavljen matematičkom funkcijom drugog stupnja nema tijekom vremena zakonitost zlatnog reza i Fibonaccievog niza jer je sila rasta ometana prigušenom silom, silom otpora rastu, koja se tijekom životne Juraj Zelić, Hrvatske šume, Milke Trnine 2, 34 000 Požega |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 42 <-- 42 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? dobi stabla povećava te završava maksimumom visine stabla, kada je sila otpora rastu u visinu jednaka sili rasta. Brzina rasta u visinu svojstvena je svakoj vrsti drveća, a uvjetovana je i vanjskim utjecajima, bonitetom staništa, toplinom, svjetlošću, strujanjem zraka, gustoći sastojine... Volumen rasta stabla je funkcija rasta prsnog promjera, visine i obličnog broja, uvjetovana unutarnjom strukturom rasta dviju suprotnih sila i vanjskim, prisilnim silama rasta te ne pokazuje rast po pravilu zlatnog reza i Fibonaccijevog niza. Zlatni rez volumena stabla, kao idealnu točku uravnoteženja proporcija vanjskog habitusa stabla i podzemnog dijela (korijena ), treba tražiti drugom metodologijom. K l j u č n e r i j e či : zlatni rez, Fibonaccijev niz, rast prsnog promjera stabla i promjera krošnje, visinski i volumni rast, jednadžbe rasta, sile rasta, sile otpora rastu, prigušena i prisilna gibanja, jednakokutna spirala, vrtložni pravokutnik. UVOD – Introduction Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 Zlatni rez (zlatni broj) ili božanski omjer bio je već poznat starim kulturama i civilizacijama. Iskazan dekadskim sustavom i označen simbolom grčkog slova . jednak je sljedećem omjeru: .= (. 5 +1) / 2 = 1,6180339... R. A. Schwaller de Lubicz, 2004 u knjizi “Hram u čovjeku” predstavlja geometrijske konstrukcije za zlatni broj ., kako je to vidljivo na slici 1. b a c c 2 + Slika 1. Geometrijska konstrukcija zlatnog broja = 1,6180339... . Picture 1 The geometric construction of gold number = 1,6180339... Za c.= 1, b = 1 / 1,618 .... = 0,618..., a = 1 / (1,618...)2 = 0,382... Iako se spominje kako se “zlatni broj može pronaći posvuda”, praksa pokazuje da se uloga zlatnog broja očitava u živom i neživom svijetu samo u slučajevima gdje se pokazuje uravnoteženo, stabilno stanje ili gibanje. Zvijezda (petokraka) upisana u pravilan peterokut ima isti odnos u presjecištima krakova. Tako je za AC = 1, AB = 0,618..., BC = 0,381... Prenoseći ovu geometriju u prirodu, može se zamijetiti kako veliki broj cvjetova ima pet latica smještenih zvjezdasto u pentagram, poput cvijeta jabuke, čiji presječeni plod u jezgri pokazuje također sliku pentagrama. Astronomi su otkrivali pravilo zlatnog reza i u formiranju tzv. spiralnih galaktika, a biolozi u spiralnom rasporedu listova oko stabljike ili primjerice u dinamičkom rasporedu listića češera smreke. Nema sumnje da na području biologijskih i biotehničkih znanosti postoje stanja i procesi čije se zakonitosti mogu formulirati matematički. Da li se u pojam rasta i razvoja stablo – šuma može “ugurati” pravilo zlatnog broja? Pokušat će se odgovoriti na to pitanje, no prije toga valja razmotriti matematičko pravilo Fibonaccijevog niza, koje je u uskoj vezi s pravilom zlatnog reza (broja). Matematičar Leonardo iz Pise, zvan Fibonacci godine 1202. postavio je pitanje: Koliko se pari zečeva može dobiti godišnje od jednog para na početku prvog mjeseca pod pretpostavkom da svaki par okoti svakog mjeseca novi par koji postaje plodan od drugog mjeseca života? Ako se pretpostavi da su svi parovi zečeva besmrtni, broj na koncu svakog mjeseca tvori sljedeći niz: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377.... Jednostavno pravilo porasta vrijednosti članova u nizu glasi: Svaki član niza jednak je zbroju dvaju prethodnih članova. Tako će član 144 biti zbroj dvaju prethodnih članova, to jest 144 = 89 + 55. Škotski matematičar Robert Simson utvrdio je 1753. godine da omjeri uzastopnih članova teže ka granici, koja je ., zlatni rez, primjerice 233 /144 = 1,618055... |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 43 <-- 43 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 Matematičari Euler i nešto kasnije Binet (1843) dali su opću formulu za izračunavanje vrijednosti n – tog člana Fibonaccijevog niza. Fn = 1 / 5 * ((1 + . 5) / 2)) n Tako je, primjerice, dvanaesti član Fibonaccijeva niza F12 = 1 / 5 * ((1 + . 5) / 2)) 12 = 144 Za rast i prirast biljnog i životinjskog svijeta, kao materijalne žive strukture u prostoru i vremenu značajno je pravilo zlatnog broja i Fibonaccijevog niza. Za naše razmatranje u otkrivanju pravila zlatnog broja, odnosno Fabonacijevog niza za rast i prirast stabla u debljinu, visinu i po volumenu značajno je pravilo rasta po spirali kako to pokazuje grafička konstrukcija tzv. vrtložnog pravokutnika na slici 2. Stranice pravokutnika odnose se prema zlatnom broju, to jest stranica b pravokutnika jednaka je 1 / ., to jest 0, 618... od stranice a = 1. Slika 2. Konstrukcija vrtložnog pravokutnika (spirale) po pravilu zlatnog reza Picture 2 The construction of whirling rectangles (spirals) along the rule of gold section Pravokutnik kojemu je odnos stranica po zlatnom rezu može se podijeliti na kvadrat sa stanicom b i još jedan sličan prvokutnik. Postupak se može ponavljati “ad infinitum”. U seriji pravokutnika može se konstruirati spirala. Spiralu tvore serija lukova četvrtina krugova, a luk teži prema jedinstvenoj točki u kojoj se sijeku dijagonale svih zlatnih pravokutnika pod istim kutem (jadanakokutna spirala). Jednakokutna spirala ogleda se u rastu i razvoju životinjskog svijeta, kako je to primjerno prikazano na slici 2. za rast školjke iz roda Nautilus. Raspored listića ćešera ima spiralni uzorak, gdje su listići jedan prema drugom raspoređeni pod kutom 137,5o. Evolucija je izabrala najdjelotvorniji način na koji se može smjestiti najviše listića na češer, a navedeno pravilo ima zlatni omjer, to jest 137,5o / 360o = 1 / .2 = 1 / 2,618… = 0,381. Zašto biljke rastu na taj način nema jasnog objašnjenja. Jedno od objašnjenja jest kemijsko sputavanje rasta, to jest da se primordij ili primitivni pup lista razvija na mjestu najvećeg raspoloživog razmaka u odnosu na prethodni. S h w a l l e r de L u b i t z zaključuje da “zlatni broj nije proizvod matematičke imaginacije, već prirodni princip zakona ravnoteže” te dodaje da je fenomen ži vota sposobnost reagiranja, to jest da bi se reakcija ostvarila potreban je otpor koji je iste prirode kao i akcija. O estetskim principima egzaktnih znanosti raspravlja Vladimir Šp i r a n e c , 2005. u knjizi “Sklad” ističući temeljne principe pojavnog živog i neživog svijeta, simetričnost, koherenciju, logos, adaptilnost i dinamičnost, te među ostalim, i “posebne brojeve” koji se očituju i u pravilima zaltnog reza i Fibonaccijevog niza. O zlatnom omjeru, kao “posebnom broju” otkrivenom u svjetu prirode piše Wells, 2005 u “Rječniku zanimljivih i neobičnih brojeva”. “Kako priroda preoblikuje našu tehnologiju” istražuje Peter J. B e n t l e y, 2004 u knjizi “Digitalna biologija” te navodi niz primjera iz prirode koji sljede estetsku logiku oblikovanjem najsvrsishodnijih struktura živog svijeta. Otkrivena estetska logika prenosi se u “digitalne svemire” kompjuterskih simulacija evolucije, rasta i razvoja živih bića temeljenih na reprodukciji, odabiru i varijacijama. Stvarni svijet, kako ga doživljava čovjek, traži uvijek kvantitativnu logiku u kojoj se usporedbom najmanje dvaju elemenata definira treći kvantitativnom jednadžbom. |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 44 <-- 44 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 SVRHA RADA – Purpose of paper Svrha rada je traženje odgovora na pitanje: Da li se temeljem poznatih egzaktno mjerljivih biometrijskih parametara rasta i prirasta šumskog drveća može utvr- METODA RADA a) Kvantificiranje mjerila Za kvantificiranje zakonitosti koje proizlaze iz pravi la zlatnog reza i Fibonaccijevog niza potrebno je za postavljeno pitanje rasta i prirasta stabla u šumi razmotriti pojam veličine mjerila za kvantificiranje vrijednosti. Racionalni, materijalistički um za mjeru duljine puta izveo je mjernu jedinicu 1 metra, kao četrdesetmilijuntnog dijela ekvatorske kružnice, no postavlja se pitanje prave vrijednosti mjere, to jest da li je to mjera izražena metrom ili odnos, odnosno proporcija mjere. Koristeći se pravilom zlatnog reza može se zaključiti kako tu mjera pripada proporciji, to jest proporcija je usporedba veličina. U razmatranju mjere rasta i prirasta debljine, visine i volumena stabla u šumi koristit će se mjera metričkog decimalnog sustava i proporcija kao usporedba veličina. Međutim, utvrđeno je da princip proporcija podliježe promjenljivosti, modulu specifičnom za svaku vrstu živog svijeta, ovisno o uvjetima u kojima se živo biće raste i razvija. Pridružujući specifičan modul mjere svakoj vrsti drveća ili stabala, bilo bi moguće odrediti njegove specifične proporcije u određenim uvjetima rasta i razvoja. Kao mjerna jedinca za debljinski rast primjenjen je stoti dio 1m, to jest 1 cm. Mjerna jedinica je dakle jedinični razlomak (1/100) ili 1 cm, jer ta mjerna jedinica korespondira u određenoj dobi stabla s članovima Fibonaccijevog niza, odnosno zlatnog reza. Rast stabla u visinu u šumskim uvjetima je promjenljiv tijekom životne dobi, za svaku dob postoji proporcija rasta između djelova stabla, to jest korjena, debla i krošnje po visini i širini, a mjerna jedinica 1 m ne korespondirira sa članovima Fibonaccijevog niza, odnosno zlatnog reza, te bi mjerilo proporcije i ravnoteže trebalo tražiti primjenom drugih, “posebnih brojeva”. b) Razmatranje nekih aktualnih teorija o rastu i prirastu Činjenica je da kod stabala drveća postoji mogućnost povećanja širine, debljinskog pa time i volumnog prirasta do granica fiziološke i fizičke starosti. Stablo drveta određene vrste dosiže u određenoj dobi vrsti svojstvenu visinu te dalje nema visinskog prirasta. Mjerenjem je utvrđeno da je prirast u visinu stabla promjenljiv, te da u određenoj dobi kulminira, a potom se smanjuje. diti sklad, mjera proporcije i dinamička ravnoteža rasta i prirasta, primjenom “posebnih brojeva”, pravila zlatnog reza i Fibonccijevog niza? Working method Kovačić, 1993 navodi za rast stabla u visinu: “Od stote godine pa naviše prirast iznosi svega desetak centimetara, a nedugo zatim i niže. Time je numerički potvrđena izjava D. Klepca da u hrastovini od 100. godine pa nadalje prirašćuje samo kvaliteta”. Razmatrajući pak Levakovićevu funkciju rastenja stabla: Y = a / ((1 + b / x d))c, Kovačić zaključuje kako se rast prsnog promjera “teoretski proteže u beskonačnost”, no stvarnost pokazuje da se rast promjera primjerice, stabla hrasta zaustavlja s granicom fizičke starosti stabala. Parametar (a) u jednadžbi rastenja predstavlja granicu rasta promatranog obilježja, parametar (b) je regresijski koeficijent koji pokazuje brzinu promjene rasta. Koeficijenti (c) i (d) su neimenovani brojevi, a Levaković sluti da su korektiv parametara (a) i (b). Analizom i potrkrepom eksperimentalnih rezultata rasta i prirasta stabla Levakovićeve funkcije rastenja Kovačić jednako zaključuje da je sili rastenja deblji u uu de nu i visinu (S1) suprostavljena sila-otpora rastu(S(S22). Za rast stabla u visinu i debljinu Kovačić navodi kulminaciju tečajnog visinskog i debljinskog prirasta (u točki I infleksije S krivulje rasta) i točku poprečnog dobnog prirasta ( u točki K, diralištu tangente na S krivulju rasta). Tečajni prirast jednak je poprečnom u točki rasta, kad ovaj posljednji kulminira. Autor razmatra debljinski rast i priras “srednjeg sastojinskog rast tt ć i stabla” određene vrste drveća aa i na određenom bonitetu staništa a sa ciljem numeričkog bonitiranja sastojina. B e za k, 2004 pak rast i prirast stabla u sastojini promatra kao kvaziperiodično gibanje te pokazuje kako prirasti sastojinske debljinske i visinske strukture imaju različit period maksimalnih oscilacija. Rast i prirast stabla i šume iskazuje se diferencijalnim jednadžbama prigušenih i prisilnih gibanja. Prigušeno gibanje očituje se u debljinskom rastu stabla, prigušeno i prisilno gibanje u visinskom rastu stabla. Prigušenom gibanju debljinskog rasta imanentna je “unutrašnja struktura stabla uzrokovana energijom kao ekvivalentu umnoška koeficijenta pulsacija (.p) i konstante fine strukture (.), .= 1/137, a na koje djeluje sila otpora (k). Visinski rast ima karakteristike prigušenog (.ph) i prisilnog gibanja, to jest slobodna gibanja remeti i neka “vanjska sila (ft)”. Razmatrajući “proporcije” stabla u šumi Bezak navodi: “ Svako stablo u šumi i na svakom staništu ima svoju matematičku i mehaničku strukturu, atraktor ko |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 45 <-- 45 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 jem teži. Atraktor je dio faznog pomaka (co) kojemu svaka točka koja je započela gibanje blizu njega, sve više se približava. Kako prolazi vrijeme bliska područja stežu se prema stablu”. Konačno, kao brzinu promjene periodičkog gibanja (brzinu promjene brzine periodičkih oscilacija, titraja) rasta i prirasta šume u dvama bliskim trenucima (t), Bezak predstavlja općim formulama, kao ((//), što je druga derivacija puta (s) po vremnu (t): cija kvadratne funkcije (kao brzina visinskog prirasta) bit će konstanta (2 c). Modeliranje pretpostavlja da pri visinskom rastu stabla, osim sile rasta postoje i sile otpora rastu (prigušene sile) koje su imanentne svakom stablu, te imaju otpor rastu k = 2 c. Oscilacije u visinskom rastu svake vrste drveća tijekom životne dobi stabla uzrokovane su vanjskim, prisilnim silama. y/d= Ae -k tsin (cOpd t -(p), rast debljinske strukture, Očitovanje prigušenih gibanja visinskog i volumxi/ h = Ae -k t sin ((Oph t -ep) -A sin (d t), za rast vinog rasta stabla po Bezaku može se tretirati, primjeri sinske strukture. c) Odabiranje modela rasta stabla po pravilu zlatnog reza i Fibonaccijevog niza Za razmatranje modela rasta stabla u šumi po pravilu zlatnog reza i Fibonccijevog niza, nezavisno o bonitetu i distribuciji prsnih promjera, uzimajući u obzir naslućeni trend rasta stabla u debljinu (do beskonačnosti) i prigušeni trend rasta stabla u visinu, prikazat će se debljinski rast linearnom funkcijom (pravac), a visinski rast funkcijom drugog stupnja (parabola), dakle matematičkim funkcijama u kojima se ne uvažava periodičko gibanje. d = a + b t, za rast u debljinu, d -prsni promjer (cm), h -visina (m), t -vrijeme (godina) a, b, c -konstante funkcije. Prirast stabla (brzina promjene debljinskog rasta) u debljinu tretirat će se kao prva derivacija linearne funkcije, što znači da je debljinski prirast jednolik i jednak redukcijskom koeficijentu (b), a druga derivacija linearne funkcije (kao brzina promjene brzine rasta) bit će k= 0. Kao mjerna jedinca za debljinski rast primjenjuje se stoti dio lm, to jest 1 cm. Mjerna jedinica je dakle jedinični razlomak (1/100). Modeliranje rasta u debljinu linearnom funkcijom pretpostavlja da je pri debljinskom rastu unutarnja sila rasta harmoničnog gibanja, jer sila otpora rastu (k), kao komponenti prigušenih gibanja teži prema nuh (k —> 0), a prisilno gibanje uzrokovano je vanjskim utjecajima, primjerice promjeni širine i dužine krošnje pod utjecajem elektromagnetskog zračenja (svijetlosti, topline). Dakle, kod debljinskog rasta, koeficijent otpora rastu k = 0. Rast stabla u debljinu očitava se kao rast linearne funkcije rasta u vremenu, odvija se jednohko po pravilu zlatnog reza ((j) = 1,618...) i Fibonaccijevog niza, no u tome se ne očituje prigušeno gibanje (otpor rastu) već je uvjetovano unutarnjom strukturom stabla. Prirast stabla u visinu (brzina visinskog rasta) tretirat će se kao prva derivacija funkcije drugog reda (parabole), imat će oblik linearne funkcije, a druga deriva ce, iskazom koeficijenta pulsacije (cOph) i koeficijenta otpora rastu (k). Budući daje koeficijent pulsacije izraz periodičnog gibanja mase (m) u vremenu (t), s mogućnošću titraja proizvoljno male mase (m), proizvoljno visokefiČekvencijeu proizvoljno kratkom vremenu, to će njegovo “prigušenje" izraženo koeficijentom otpora (k) također “oscilirati" sukladno koeficijentu pulsacije ((Oph). Iako i kod debljinskog rasta postoji u fiziološkom genetskom kodu sekvenca izražena koeficijentom pul to pu sacije koeficijent otpora (k) jednak je nuli, t tte se ne i, e se Z očituje kao prigušeno gibanje. Njegovo periodičko gibanje rasta očituje se posredno, putem visinskog prigušenog gibanja rasta, “prigušenim” volumnim rastom stabla. Prisilna gibanja, kao očita stvarnost djelovanja na debljinski, visinski i volumni rast, uzrokovana primjerice elektomagnetskim zračenjem, gravitacijom, strujanjem zraka, količinom vode i minerala, bit će modelom relativizirana. Volumni rast i razvoj stabla, kao prostomo-vremenska funkcija rasta stabla u debljinu i visinu, reducirat će se samo na temeljno načelo svojstveno živom biću, uzrokovano njegovom unutarnjom strukturom. Želi ć, 2000, ovo temeljno načelo rasta naziva “koeficijentom unutarnje strukture rasta” (r), koji se kreće između vrijednosti 1 i 4. Prisilna gibanja u rastu stabla su rezultat okolišnih faktora i ne leže u temelju unutarnje strukture rasta. Eksperimentalno se može utvrditi neke od najvažnijih parametara prisilnih sila rasta (vrsta, bonitet staništa, klimatski faktori, svijetlo, toplina, distribucija prsnih promjera stabala u određenoj dobi sastojine) koji se mogu uvrstiti u “kompleksnu jednadžbu” rasta i razvoja. Za rast volumena stabla, kao “sintetskog” pokazatelja debljinskog i visinskog rasta izraženog jezikom matematike može se reći da je volumen unija skupova debljinskog rasta bez prigušenih gibanja i visinskog rasta s prigušenim gibanjima. Volumni rast i prirast poprima dakle karakteristike jednog od skupova, prigušenog visinskog rasta, te ima također prigušeni rast i prirast. Od drugog skupa vrijednosti rasta u debljinu ti ra poprima karakteristike omjera rasta, te kao unija sku , te |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 46 <-- 46 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 pova u prostor-vremenu konstantno uspostavlja život-Iz istih tablica izjednačen je koeficijent širine krošnu ravnotežu. nje (b) po dobi (t) funkcijom: Za određivanje funkcija debljinskog i visinskog b = 22,3364 – 0,0363 t, D = d rasta za model pravila zlatnog reza ili Fibonaccijevog . b niza korištene su prirasno-prihodne tablice B e z ak et 100 Oblični broj (f) izračunat je iz poznatih veličina ta all., 1989, EGT-II-D-11 (šuma bukve sa šašem). Poda rifnog niza (Zel i ć , 2005) po formuli Špiranca: ci u prirasno-prihodnim tablicama odnose se na “sred v = a* d b* h c, nje sastojinsko stablo glavne sastojine”. f = 0,4001 + 0,002 d + 0,00001361 d 2, Za razvijanje modela debljinskog, visinskog i vo- Temeljnica stabla po dobi izračunata je po formuli: lumnog rasta i prirasta stabla u šumi, po pravilu zlatnog reza, odnosno Fibonaccijevog niza, nije korišteno g = d 2 ./4, tzv. “srednje sastojinsko stablo” ni klasifikacija stabala Volumen stabla po dobi izračunat je po formuli: po Kraftu, odnosno tzv. atraktor srednje fenotipskog v = d 2 ./4 * h * f , modela oblika krošanaja stabala (Dubravac, 2002) Broj stabala (N) trokutnog rasporeda na površini 1 ha nego je pretpstavljeno da sva stabla određene dobi ra izračunat je po formuli: stu pod jednakim uvjetima na površini 1 hektar, među- N = 1000 / b 2 * 0,866, sobno udaljeni po trokutnom rasporedu (Pranjić i Temeljnica po hektaru (G) izračunata je kao umno Lukić, 1997). žak broja stabala po ha (N) s temeljnicom jednog staba d) Primjenjene matematičke funkcije la određene dobi (g) po formuli: G = N * g, Korištenjem podataka iz prirasno-prihodnih tablica Volumen po hektaru (V) izračunat je kao umnožak Bezak et all., 1989, EGT-II-D-11 (šuma bukve sa broja stabala po ha (N) s temeljnicom jednog stabala šašem) izračunate su sljedeće funkcije debljinskog i određene dobi (v) po formuli: visinskog rasta: V = N * v, d = - 0,2682 + 0,3759 t, h = 2,1382 + 0,4316 t – 0,0014 t REZULTATI Results Primjenom odabranog modela i matematičkih funkrezultati prikazani u Tablici 1. veni cija po opisanoj metodi rada izračunavanjem su dobi- Tablica 1. Biometrijski parametri debljinskog, visinskog i volumnog rasta stabla bukve u šumi Table 1 Biometrical parameters of breast height diameter, height growth, volume growth of beech in the forest Prsni Oblični Koef. šir. Širina TemeljBroj Temelj. Volum. Starost promjer Visina broj krošnje krošnje nica Volum. stabala po ha po ha Age Breast Heigh Form Crown Crown Basal Volume No of Basal area Volume t diameter factor width coeff. width area trees per ha per ha godina d h f b D g v N G V m2 m3 m2 m3 year cm m m 1 2 3 4 5 6 7 8 5 10 11 5 1,61 4,26 0,443 22,28 0,359 0,00020 0,00030 89636 18,268 34,518 10 3,49 6,31 0,447 22,21 0,775 0,00096 0,00270 19215 18,381 51,908 15 5,73 8,30 0,451 22,14 1,189 0,00226 0,00848 8169 18,494 69,242 20 7,25 10,21 0,455 22,07 1,600 0,00413 0,01918 4510 18,609 86,510 25 9,13 12,05 0,459 22,01 2,009 0,00654 0,03623 2862 18,724 103,703 30 11,01 13,83 0,464 21,94 2,415 0,00951 0,06100 1980 18,841 120,812 35 12,89 15,53 0,468 21,87 2,818 0,01304 0,09479 1454 18,959 137,827 40 14,77 17,16 0,473 21,80 3,219 0,01712 0,13886 1114 19,078 154,738 45 16,65 18,73 0,477 21,73 3,618 0,02175 0,19438 882 19,198 171,532 50 18,53 20,22 0,482 21,66 4,014 0,02694 0,26248 717 19,319 188,196 55 20,41 21,64 0,487 21,60 4,407 0,03269 0,34422 595 19,441 204,717 60 22,29 22,99 0,491 21,53 4,798 0,03899 0,44056 502 19,564 221,079 65 24,17 24,28 0,496 21,46 5,186 0,04584 0,55241 430 19,689 237,266 70 26,04 25,49 0,501 21,39 5,551 0,05325 0,68059 372 19,815 253,260 |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 47 <-- 47 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 1–2, CXXIX (2005), 3-6 75 0,507 5,954 80 29,80 27,71 0,512 21,25 6,335 0,06973 0,98875 288 20,070 284,593 85 31,68 28,71 0,517 21,19 6,713 0,07880 1,16990 256 20,200 299,890 90 33,56 29,64 0,523 21,12 7,088 0,08843 1,36971 230 20,330 314,910 95 35,44 30,51 0,528 21,05 7,461 0,09861 1,58850 208 20,462 329,631 100 37,32 31,30 0,534 20,98 7,831 0,10934 1,82647 188 20,596 344,026 105 39,20 32,02 0,539 20,91 8,198 0,12063 2,08369 172 20,730 350,068 110 41,08 32,67 0,545 20,85 8,563 0,13248 2,36011 158 20,866 371,728 115 42,96 33,26 0,551 20,78 8,926 0,14448 2,65553 145 21,003 384,977 120 44,84 33,77 0,557 20,71 9,286 0,15783 2,96960 134 21,142 397,783 125 46,72 33,77 0,563 20,64 9,643 0,17134 3,30182 124 21,282 410,112 130 48,60 34,21 0,569 20,57 9,998 0,18540 3,65152 116 21,423 421,930 135 50,48 34,89 0,576 20,50 10,350 0,20002 4,01785 108 21,566 433,199 140 52,36 35,12 0,582 20,44 10,700 0,21520 4,39978 101 21,710 443,880 145 54,24 35,29 0,589 20,37 11,047 0,23092 4,79608 95 21,856 453,935 150 56,12 35,38 0,595 20,30 11,391 0,24720 5,20534 89 22,003 463,319 a) Rast stabla u debljinu po pravilu zalatnog reza i uz primjenu linearne jednadžbe, d = -0,2682 + 0,3759 Fibonaccijevog niza razvojem jednakokutne spirale t, kojom je moguće iskazati vrijednosti prsnog promje- Za dokaz postojanja pravila zlatnog reza i Fibona-ra stabla za cijelobrojne vrijednosti godina i cijelobrojccijevog niza u rastu stabla u debljinu tijekom životne ne vrijednosti Fibonaccijevog niza. i, dobi razmatraju se podaci u uu stupcim stupcimstupcima aa 1 11 i ii 2 22, ,, Tablic TablicTablice ee 1. 1.1., Rezultat RezultatRezultati ii s ssu uu prikazani u Tablici 2. Tablica 2. Rast prsnih promjera stabla bukve u debljinu po pravilu zlatnog reza i Fibonaccijevog niza Table 2 Growth of beech breast diameters in thickness according to the golden section rule and the Fibonacci series Starost stabla (godina) 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Tree age (year) Prsni promjer (cm) 0,86 1,61 2,74 4,62 7,63 12,51 20,41 33,19 53,86 Breast diameter Fibonaccijev niz 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fibonacci series Zlatni rez (P. promjer) 1,61/0,86 2,74/1,61 4,62/2,74 7,63/4,62 12,51/7,63 20,41/12,51 33,19/20,41 53,26/33,19 Golden section = 1,872 = 1,702 = 1,686 = 1,652 = 1,639 = 1,631 = 1,626 = 1,623 (bd) Zlatni rez (Fibonacci – niz) 5/3 8/5 13/8 89/55 144/89 Golden section = 1,667 = 1,600 = 1,625 = 1/1 ,615 = 1,618 = 1,618 = 1,619 = 1,618 (Fibonacci series) Zlatni rez (Č= 1,618...) (Č= 1,618...) Golden section Kako je vidljivo u Tablici 2., zlatni rez (.) teži k vriAko se linearna funkcija rasta stabla bukve u šumi jednosti 1,618..., analogno i Fibonaccijev niz nakon prikaže geometrijski dobit će se razvoj debljinskog rasta para članova 34/21. Omjer parova prsnih promjera adekvatan razvoju jednakokutne spirale unutar vrtložnog 53,86/33,19 = 1,623 poslije 89 godina rasta doseže pri-pravokutnika, kako to pokazuju Slika 2. i Grafikon 1. bižno točan omjer zlatnog reza odnosno pravila Fibo-Grafikon 1., linearne jednadžbe rasta stabla u denaccijevog niza. Zakonitost rasta stabla bukve u debljibljinu, d = -0,2682 + 0,3759 t, ima iste karakteristike nu pokazuje da bi točan omjer bio u dobi fizičke starokao i vrtložni pravokutnik, odnosno jednakokutna spisti stabla (oko 377 godina). rala konstuirana na Slici 2. 337 |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 48 <-- 48 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 Grafikon 1. Linearni trend rasta stabla u debljinu po dobi ( d = - 0,2682 + 0,3759 t), po pravilu zlatnog reza Graph 1 Linear trend of growth of tree in thickness by age (d = - 0,2682 + 0,3759 t) along the rule of gold section Dijagonala AB vrtložnog pravokutnika (Slika 2.) siječe pravokutnik BCDE u točki F koja je točka zlatnog reza. Ista dijagonala siječe pravokutnik BDFG u točki J, koja ja točka zlatnog reza tako “ad finitum”, jednakokutnom spiralom do jedne točke u kojoj se sijeku dijagonale svih “zlatnih pravokutnika”. Povezujući lukove četvrtina kružnice, promjera jednakih stranicama “zlatnih kvadrata” unutar “zlatnih pravokutnika”, konstruira se jednakokutna spirala, slična onoj na školjki iz roda Nautilus. Analizom linearne funkcije debljinskog rasta stabla bukve d = - 0,2682 + 0,3759 t potvrđuje se postojanje pravila zlatnog reza i Fibonaccijevog niza. Koeficijent b = 0,382... (tangens kuta nagiba dijagonale pravokutnika na Slici 2.) jednak je vrijednosti dužine EC = a = 1/0 2 = 0,382, ako je AC = c = 1,000, a = 1/0 = AE = 0,618. Ako se regresijski koeficijent (b = 0,3759) linearne funkcije rasta prsnih promjera d= - 0,2682 + 0,3759 t prikaže kao brzina rasta, to jest kao godišnji prirast, id = Ad/ At ili trigonometrijski, kao tangens kuta što ga pravac zatvara s osi (x = t), tada je tga = 0,3759. Godišnji prirast je dakle 0,3759 cm. Za 100 godina prsni promjer trebao bi biti 37,59 cm, no on je reduciran regresijskom konstantom a = - 0,2682, te iznosi 37,32 cm. Tijekom životne dobi prosječna brzina debljinskog rasta stabla (debljinski prirast) “teži” uvjetno nazvanoj vrijednosti, b modul. Na rast stabla u debljinu, osim sile rasta, utječu vanjske, prisilne sile koje mijenjaju brzinu i smjer rasta. Za svaku vrstu drveća postoji karakterističan “modul rasta”, koji se kao veličina mijenja pod vanjskim utjecajima. “Modul rasta” je zapravo regresijski koeficijent linearne funkcije (b), koji mjenja smjer i brzinu za svaku vrstu drveća uzrakovanu vanjskim utjecajima, no promjene ne utječu na proporcije rasta stabla u vremenu. Omjer zlatnog reza, koji geometrijski slijedi razvoj jednakokutne spirale ostaje isti, iako su veličine spirala različite za vrste drveća pod utjecajem vanjskih faktora rasta. Ako se, primjerice, Š p i ra nč e v e (1975), prirasnoprihodne tablice rasta prsnog promjera po dobi za bukvu od I. do IV. boniteta izravnaju linearnim jednadžbama oblika: d = a + b t, dI = - 0,2046 + 0,4055 t, d I 1,3002 + 0,3639 t, d - 0,3734 + 0,3105 t, III d IV 0,1264 + 0,2744 t, tada je za I- bonitet b modul = 0,4055, za za II- bonitet b modul = 0,3639, za III- bonitet b modul = 0,3105, za IV- bonitet b modul = 0,2744. Lošiji bonitet pokazuje manji bmodul, a on je pokazatelj vanjskih, prisilnih sila koje djeluju na debljinski rast stabla. Ako se usporedi rast prsnog promjera bukve za EGT-II-D-11 (bukva sa šašem, Bezak et all,1989) sa Špirančevim bonitetima za bukvu može se zaključiti da odgovara I/II bonitetu. (Špiranec je izravnavao rast prsnog promjera funkcijom parabole, primjerice za bukva II. bonitet, d = - 5,8733 + 0,5027 t – 0,0008 t 2). Rast prsnog promjera, po pravilu zlatnog reza hrasta lužnjaka na prvom bonitetu za srednje (kodomi |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 49 <-- 49 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 nantno) sastojinsko stablo (SIII), može se pokazati line- (Podaci su korišteni iz Prirasno-prihodne tablice za arnom funkcijom: d = - 2,632 + 0,5158 . hrast lužnjak (Quercus robur L., Bezak, 2004). Rezultati su prikazani u Tablici 3. Tablica 3. Rast prsnih promjera stabla hrasta lužnjaka na I. bonitetu u debljinu po pravilu zlatnog reza i Fibonaccijevog niza Table 3 Growth of breast diameters of common oak in thickness by the rules of golden section and the Fibonacci series Starost stabla (godina) 21 34 55 89 144 233 377 600 Tree age (year) Prsni promjer (cm) 8,20 14,91 25,74 43,27 71,64 117,55 191,83 306,85 Breast diameter Fibonaccijev niz 21 34 55 89 144 233 377 600 Fibonacci series Zlatni rez (P. promjer) 14,91/8,20 25,74/14,91 43,27/25,74 71,64/43,27 117,55/71,64 191,83/117,55 306,85/191,83 Golden section = 1,818 = 1,726 = 1,681 = 1,656 = 1,641 =1,632 = 1,600 (bd) Zlatni rez (Fibonacci – niz) 89/55 233/144 377/233 600/377 144/89 Golden section = 34/21 = 1,618 = 1,618 (Fibonacci series) Zlatni rez Golden section Kako je vidljivo iz Tablice 3., rast prsnih promjera hrasta lužnjaka doseže omjer zlatnog reza, odnosno Fibonaccijevog niza u odmakloj dobi. To je i prirodna granica njegove fizičke starosti. Koeficijent smjera (b = 0,5158) u jednadžbi rasta hrasta lužnjaka na I. bonitetu također predstavlja brzinu rasta prsnog promjera ili debljinski prirast (id). B e za k , 2004 iskazuje prosječni debljinski prirast hrasta lužnjaka s korom, id = 5,197 mm, od dvadesetpete do stopedesetpete godine starosti stabla, a debljinski prirast je gotovo istovjetan između šestdesetpete i stopedesetpete godine, 5,100 mm. Potvrđuje se dakle “tendencija” linearnog rasta stabla u debljinu. I Kovačić, (1993) navodi kako K l e p č e v e (1976) prirasno-prihodne tablice za hrast lužnjak pokazuju “u 150. godini debljinski prirast svega 10 % manji od linearnog trenda rasta...”. Isti autor također navodi: “izravnate krivulje rasta srednjeg promjera za Š pi r a n č e v (1975) I. i II. bonitet hrasta lužnjaka međusobno su ekvidistantne, čak i u tristotoj godini...” b) Rast stabla u visinu u sastojinskim uvjetima Za matematički model visinskog rasta stabla u visinu bilo koje vrste drveća u stvarnim sastojinskim uvjetima izabrana je funkcija parabole oblika: h = a + b t + c t 2. = 1,618 =1,618 = 1,618 (Č= 1,618) Funkcija parabole dobro pokazuje brzinu i smjer sile rasta stabla u visinu iskazanu koeficjentom (+b), koju ometa (prigušuje) sila otpora rastu, iskazana koeficijentom (- c). Jednu i drugu silu rasta korigira regresijska konstanta (± a). U stvarnim uvjetima rasta stabla u visinu na sile unutarnjeg rasta svojstvene vrsti drveća utječu i vanjske sile (okolišni uvjeti, bonitet staništa, kretanje vjetra, svjetlost, toplina, elektromagnetska zračenja...). Iako funkcija parabole iskazana vrijednostima svih triju koeficijenata pokazuje u konkretnom slučaju sintezu djelovanja svih sila rasta, prigušenih i vanjskih sila, ipak parametrima b i c, pokazuje se smjer i brzinu rasta. Rast stabla bukve u visinu ( Tab. 1) prikazan je funkcijom drugog stupnja, parabolom, h = 2,1382 + 0,4316 t – 0,0014 t 2, kako pokazuje Grafikon 2. Kako je vidljivo na Grafikonu 2. brzina rasta stabla ili prirast smanjuje se povećanjem starosti. To smanjenje se matematički očituje koeficijentom (- c) u jednažbi parabole. U gornjoj funkciji koeficijent c = - 0,0014 regulira brzinu rasta stabla u visinu. Brzina rasta ili prirast može se izraziti kao prva derivacija funkcije parabole, a promjena brzine rasta kao druga derivacija funkcije rasta u 339 |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 50 <-- 50 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 Grafikon 2. Rast stabla u visinu iskazan funkcijom parabole Graph 2 Growth of trees in height expressed with the parabola function visinu. Koeficijent c ima negativnu vrijednost u funkciji rasta stabla u visinu, kao koeficijent otpora rastu. Derivacijom gornje funkcije parabole dobiva se linearna funkcija: h = 0,4316 – 0,0028 t. Regresijski koeficijent : : 0,0028, u gornjoj jed nadžbi je negativan, što znači da će se povećanjem starosti (t) brzina rasta u visinu ili visinski prirast smanjivati. ki Opadanje brzine rasta (prirast) visinu povećanjem u starosti stabla prikazuje Tablici 4. Tablica 4. Linearni trend pada visinskog prirasta (m) povećanjem dobi (godina) bukve Table 4 Linear decrease of height increment (m) per age of beech Starost 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Age Prirast 0,404 0,376 0,348 0,320 0,292 0,264 0,236 0,208 0,180 0,152 0,124 0,096 Increment Na rast stabla bukve u visinu, osim sile rasta, utječu prigušene sile rasta koje tijekom životne dobi stabla linearno zaustavljaju prirast stabla u visinu. Zbog djelovanja dviju suprotnih sila, sile rasta i sile otpora rastu, u procesu rasta stabla u visinu nije ugrađeno pravilo zlatnog reza ili Fibonaccijevog niza. Špiranec, 1975 je takođe za izjednačavanje rasta u visinu po dobi srednjeg stabla stabla bukve na bonitetima I. do I V. koristio jednadžbu parabole. Tako se primjerice jednadžba za rast stabla bukve u visinu na II. bonitetu može prikazati jednadžbom: h = - 1,3215 + 0,5015 t – 0,0018 t 2. Budući da je u gornjoj jednadžbi koeficijent (- c) regulator brzine rasta stabla u visinu, odnosno prirasta, kao unutarnjeg svojstva stabla (prigušena sila rasta ili sila otpora rastu) moguće je dokazati da je u korelaciji s unutarnjom silom rasta stabla u visinu. To znači, ako je veća sila rasta, veća je i sila otpora rastu. Pravilo potvrđuje rast stabala bukve u visinu po dobi i bonitetima iz (I. – IV.) Š p i r a n č e vi h (1975), prirasno-prihodnih tablica. Tako je, primjerice, sila otpora rastu c = - 0,0021 na I. bonitetu, c = - 0,0018 na II. bonitetu, c = - 0,0016 na III. bonitetu, c = - 0,0014 na IV. bonitetu. Proporcija sile rasta i sile otpora rastu ostaje ista bez obzira na bonitet staništa i ostale okolišne uvjete, kao vanjske, prisilne sile rasta. Ako bi se prirast stabla u visinu matematički izrazio kao prva derivacija funkcije parabole, tada bi u linearnom trendu pada rasta stabla u visinu gornje vrijednosti koeficijenta (c) poprimile dvostruke vrijednosti (h = 0,5015 – 2 (0,0018 t)). Upravo sila otpora rastu stabla u visinu zaustavlja u određenoj dobi svaki rast, stablo dosiže limit moguće visine na staništu određenog boniteta. Istovjetna ograničenja imaju stabla u sastojini po visinskoj strukturi rasta (glavna, podstojna, pomoćna etaža, Kraftova klasifikacija stabala). |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 51 <-- 51 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 Zlatni omjer između visine stabla i neke točke na stablu (deblu) uspostavlja se tijekom životne dobi, vjerojatno omjerom dužine i širine krošnje stabla i dužine i promjera debla, dužine i promjera korjena. Brži rast (prirast) stabla u visinu u određenoj životnoj dobi pripada njegovoj unutarnjoj strukturi, jer omjerom širine i dužine krošnje, korjenovog sustava, promjera i duljine debla stablo uravnotežuje svoju unutarnju strukturu rasta, koja teži nekoj idealnoj točki proporcije. Kovačić, (1993) kulminaciju visinskog rasta (prirasta) nalazi u točki (K) kao najvećem omjeru h / t na S –visinskoj krivulji rasta Levakovićeve funkcije rastenja. Iako postoji uska veza između prsnog promjera i ji us visine stabla te je u određenoj dobi stabla promjer (cm) je u RASPRAVA I ZAKLJUČCI Utvrđeno je da rast prsnog promjera stabla tijekom vremena slijedi odnose parova Fibonaccijevog niza, te u dobi koja je bliska fizičkoj starosti stabla postiže omjer zlatnog reza .= 1,618... Ako se promjer krošnje (Tablica 1.) stabla bukve (D) izrazi kao funkcija prsnog promjera (d) linearnom jednadžbom, D = 0,2079 + 20,2456 d, tada će parovi promjera krošnje određene starosti slijediti pravilo Fibonaccijevog niza i pokazivati omjer zlatnog reza. Primjerice, .= (D144 / D 89) = (11,15 / 6,93) = 1,609... Temeljnica ili kružna ploha stabla je izvedenica iz prsnog promjera, kao kvadrat polumjera i broja . te je s povećanjem starosti stabla zadržan omjer zlatnog reza ili Fibonaccijevog niza. Tako se, primjerice, pravilo zlatnog reza za stablo starosti 89 i 55 godina može izračunati po formuli, Y Đgm´ g55) (0,08646 / 0,03269) 1/2 = 1,626... Isto pravilo potvrđuje se se usporedbom opsega sta 0 bla, 0 89 / 55) 64,08) = 1,626... a, .= == ( ((o oo89 / o oo55) = == (104,2 (104,2(104,21 11 / // 64,08 ) 1,6 Međutim, pravilo zlatnog reza ili Fibonaccijevog ili Fib niza gubi se usporedbom volumena stabla za parove volumena iste starosti kao u gornjem primjeru. Rast stabla u debljinu po pravilu zlatnog reza i Fibonacijevog niza definiran je kod sastojinskog rasta, rasta stabala u šumi. Za sastojinski model primijenjen je trokutni raspored stabala, kojim se omogućava najveća zastrtost tla u bilo kojoj dobi sastojine. Prirodne sastojine pak teže sa starošću zakonitoj distribuciji prsnih promjera, tzv. beta – distribuciji (Z e l i ć, 2005). Modelna sastojina, u kojoj su za istu dob jednaki prsni promjeri, visne stabala i širine krošnje, upućuje na minimalan prsni promjer stabla, temeljnicu i volumen po hektaru (Tablica 1.) glavne sastojine EGT-IID- 11 (šuma bukve sa šašem). Tako primjerice glavna satojina bukve poslije prorede u osamdesetoj godini ne jednak visini (m), nakon toga prsni promjer povećanjem dobi stabla ima linearni trend rasta (cm), a trend rasta u visinu (m) se smanjuje. Brojčani omjer zlatnog reza kod rasta stabla u visinu se povećanjem starosti gubi jer ga “prigušuje” sila otpora rastu u visinu. Raskorak, između brojčanog iskaza rasta prsnog promjera stabla (cm) po pravilu zlatnog reza i Fibonaccijevog niza i visine stabla (m) koji ne sljedi ta pravila, postaje sve veći. B e za k, 2004 navodi da je rast širine krošanja u odnosu na prsni promjer linearan, te ga za srednje sastojinsko stablo izražava funkcijom Ds = 1,3336 + 0,1668 ds, a za odnos dužine debla i dužine krošnje navodi se omjer 0,5331 : 0,4669, što ga određuje amplituda visinskog rasta Ah = 8,759 i feigenvrijednost (4,669). Discusion and conclusions bi trebala biti ispod 29,80 cm prsnog promjera srednjegsastojinskog stabala, temeljnice 20,07 m2 i volumena 284,59 m3/ha. Rast stabla u debljinu može se geometrijski prikazati kao rast jednakokutne spirale. Jednakokutne spirale mogu biti različite veličine s obzirom na veličine b -modula, no omjer stranica zlatnog reza (a = 0,618, b = 0,382) pravokutnika ostaje isti. Pomoću b -modula moguće je numerički iskazati bonitete za vrste drveća ili odrediti ekološko-gospodarski tipove šuma. Za različite vrste drveća u različitim okolišnim uvjetima vrijednost koeficijenta (b) izražava se svojstvenim modulom, primjerice vezano za određene ekološko- gospodrske tipove šuma i bonitete staništa. Za EGT-II-D-11 (šuma bukve sa šašem), b modul = 0,3759, a za za hrast lužnjak na I. bonitetu, b modul = 0,5158. Veća vrijednost koeficijenta b – modula pokazuje veću brzinu rasta stabla u debljinu. Rast stabla u visinu, uvjetovan unutarnjom strukturom, osim sile rasta i silom otpora rastu, nema veličine visine u paravima Fibonaccijevog niza, sukladno omjeru zlatnog reza. Isti je slučaj i s volumnim rastom, kao sintezom rasta stabla u debljinu i visinu. Omjer zlatnog reza ili nekog drugog “posebnog broja” volumnog rasta, kao točke ravnoteže rasta i razvoja stabla (nadzemnog i podzemnog dijela) idealnih proporcija, treba istražiti u drugim veličinama atraktora stabla. |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 52 <-- 52 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 LITERATURA – References Bezak, K. et all., 1989: Uputstva za izradu karte ekološko- gospodarskih tipova brdskog i planinskogpodručja (II9 SR Hrvatske, Institut za šumarskaistraživanja, Radovi broj 79, Jastrebarsko str. 1–119. Bezak, K., 2004: Kompleksne jednadžbe rasta i razvoja šuma, Hrvatske šume, d.o.o., interno. B en t l ey, P. J., 2004: Digitalna biologija, kako priroda preoblikuje našu tehnologiju, Izvori, Zagreb. D u b r a v a c, T., 2002: Zakonitosti razvoja strukturekrošanja hrasta lužnjaka i običnog graba ovisno o promjeru i dobi u zajednici “Carpino betuli- Quercetum roboris Anić et Rauš, 1969”, Disertacija, pp: 1–196, Zagreb. Levaković, A., 1938: Fiziološko-dinamički osnovifunkcija rastenja, Glasnik za šumske, pokuse, Šumarski fakultet Zagreb. Ko v a či ć , Đ., 1993: Zakon rasta i numeričko bonitiranje šume, Glasnik za šumske pokuse 29, Šumarski fakultet Zagreb. Pranjić, A., N. Lukić, 1997: Izmjera šuma, Sveučilište u Zagrebu, Šumarski fakultetet, Zagreb. Schwaller, R. A., de Lubitz, 2004: Hram u čovjeku, sveta arhitektura i savršeni čovjek, Teledisk, Zagreb. Špiranec, M., 1975: Prirasno prihodne tablice, Poslovno udruženje šumsko privrednih organizacija, Radovi br. 25, Zagreb, str. 1–109. Š p i r an ec , V., 2005: Sklad, Sveučilišna knjižnica Zagreb. Wells, D., 2005: Rječnik zanimljivih i neobičnih brojeva, Sveučilišna knjižara, Zagreb. Z e l i ć , J., 2000: Prilog raspravi o teoriji rast, prirasta i održivog razvoja, Šumarski list br. 9–10, str. 515 –531. Z e l i ć , J., 2005: Prilog modeliranju normaliteta regularnih srednjodobnih bukovih sastojina (EGT-IID- 10), Šumarski list, br. 1–2, str. 51–62. Zlatni rez, geometrija prirode ili prirodna geometrija, omjeri i razmjeri..., www.uazg.hr SUMMARY: The analysis of biometric parameters of growth (yield tables) of forest stands of beech EGT-II-D-11 (beech with sedge, Bezak et al, 1989) and pedunculate oak (Quercus robur L.), Bezak, 2004, provides a possible answer to the question: “Do trees in a forest grow by the rules of the Golden section and the Fibonacci series?” The Golden section or the Divine proportion was discovered in ancient cultures and civilizations. It has always been applied as the ideal proportion in art and construction. It is revealed in the live material world of natural patterns of plant and animal growth and development. Expressed with the number of the decade system, it is as follows: . = (. 5 +1) / 2 = 1,6180339 ... Closely related with the Golden section proportion is the Fibonacci series, a set of real numbers whose member in a series equals the sum of two previous ones, e.g. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 144, … It was found that growth of forest trees in diameter follows the rules of the Golden section and Fibonacci series; this relates to the growth of breast diameter, basal area, tree circumference and crown width as a linear dependent variable of breast diameter. The growth of a tree’s breast diameter can be expressed with a linear function of the following shape: d = a + b t, in which breast diameter is a dependent variable and tree age an independent one. Regression coefficient b shows the rate of tree growth or increment, which is different for particular tree species and environmental conditions in which a tree grows. It is expressed as a b-module, which together with the regression constant a represents geometric growth of an equilateral spiral within the so-called square whirl in relation to the golden section sides. During its life, a tree in a stand “tends” towards the average increment (growth speed) expressed with the value of the b-module. Speed of growth or diameter increment, represented y with a d mathematicall mathematicallmathematically wi f derivation of linear constant, provides the constant b a aas ss a aan nn expressio expressioexpression nn o oof har |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 53 <-- 53 --> PDF |
J. Zelić: RASTE LI DRVEĆE U ŠUMI PO PRAVILIMA ZLATNOG REZA I FIBONACCIJEVOG NIZA? Šumarski list br. 7–8, CXXX (2006), 331-343 monious motion with a positive prefix. The b-module may be used to make a numerical expression of site classes for tree species or determine ecological- management forest types. The model presupposes that the force of tree growth in diameter is not inhibited by the force of resistance to growth as an internal structure of growth, whereas oscillations in growth (increment) are caused by external forces. Tree growth in height, represented by a mathematical function of the second degree, does not assume the patterns of the Golden section and the Fibonacci series because the force of growth is inhibited by a suppressed force, the force of resistance to growth. This force increases with ageing of trees and ends with the maximum of tree height, when the force of resistance to height growth equals the force of growth. The speed of height growth is individual for each tree species and is conditioned by external influences, site class, warmth, light, air circulation, stand density, etc. The volume of tree growth is the function of growth of breast diameter, height and form factor. It is caused by the internal structure of growth of two opposing forces and by external forces of growth and does not manifest growth according to the rules of the Golden section and the Fibonacci series. The Golden section of tree volume, as an ideal point of balancing the proportions of external tree habitus and underground part (root) should be sought with another methodology. Key words: the Golden section, the Fibonacci series, growth of tree breast diameter and crown diameter, height and volume growth, growth equation, growth forces, forces of resistance to growth, suppressed and forced motions, equilateral spiral, square whirl. |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/2006 str. 54 <-- 54 --> PDF |
V V OVLAŠTENI ZASTUPNIK PROIZVOĐAČA ŠUMARSKIH INSTRUMENATA I OPREME DIGITALNI VISINOMJER VERTEX II I V PRESSLEROVA SVRDLA ULTRAZVUČNI DALJINOMJER DME KLINOMETRI ŠUMARSKE PROMJERKE (ANALOGNE I DIGITALNE) -TOTALNE MJERNE STANICE -NlVEUKl ČMJERNE VRPCE -KOMPASI -DALEKOZORI -SPREJ ZA MARKIRANJE * GeoTeha M. tAATOŠECA 3 10090 ZA6REB TEL: 01/3730-036 FAX´. 01/3735-178 geotehaŽzg.htnet.hr |