DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 29 <-- 29 --> PDF |
Zelić, .1.: PRILOG RASPRAVI O TKORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRŽIVOG RAZVOJA Šumarski List br. 7 8, CXXIV (2000). 515-531 datnu stopu smrtnosti zbog nedostatka hrane i prirodnih neprijatelja. Funkcija treba predstaviti razine povećanja populacije brznom dok ne dostigne razinu ravnoteže. Najjednostavnija jednadžba za izražavanje ovisnosti funkcije o navedenim varijablama je modifikacija gore navedene maltuzijanske funkcije u linearni oblik: Ysi,cdcc,= ry(l-y) U matematičkoj teoriji kaosa parametar r je tzv. koeficijent unutarnjeg rasta populacije, a y je veličina, odnosno gustoća populacije. Izraz u zagradi (1 - y), zadržava rast unutar granica, jer dok y raste ( 1 - y ) pada ´. Vezano za teoriju kaosa važni su i tzv. feedback procesi karakteristični za samooorganizaciju promatranog sustava pojave. Ovi procesi osobito su naglašeni u nelinearnim sustavima (eksponencijalnim funkcijama promjena). Za linearne sustave u kojima se primjenom matematičkih metoda postiže veliki učinak promjena kao zbroj malih promjena, koristi se poseban račun primjeren nelinearnim procesima, poznat kao iteracija (ponavljanje), u kojem matematička funkcija ponavlja izračunavanje same sebe 4. Paralelno s iteracijama javljaju se tzv. feedback procesi (procesi povratne sprege koji obavljaju samokorekciju procesa u ravnotežno stanje). Kako se obavlja proces samoregolacije (povratnom petljom) pokazuje sljedeći račun, u kojem se za r uzima veličina 3, a nezavisna varijabla kreće se između Oil , (0 0.0^0(1 -0) = 0 0.2-> 0.6(1 -0.2) = 0.48 0.4->1..2(l 0.4) = 0.72 0.5 ^ 1.5(1 0.5) = 0.75 0.6-» 1.8(1 0.6) = 0.72 0.8^2.4(1 0.8) = 0.48 1.0^-3(1-1) =0 Ako se nizovi "preslikavanja" prikažu grafički (na skici), vidljivo je na dvocrtnom segmentu da se brojevi između 0 i 0.5 preslikavaju na brojeve između 0 i 0.75. Tako 0.2 postaje 0.48, a 0.4 postaje 0.72. Brojevi 0.5 i 1 preslikani su na isti segment ali u suprotnom smjeru. H-H-H-H-) H-H-H-H-l-H -> 0.0 0.4 0.7}7.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.4 0.7 Analogno postupku iteracije i feedback procesa može se promatrati razvoj populacije po drugim putem izvedenoj linearnoj jednadžbi koja glasi: Nn + , = r N0 ( 1 - N0 / k ). U formuli N predstavlja broj jedinki u n + 1 godini u odnosu na početno stanje jedinki N0. Ako je početno stanje N0 = 1 (2), a k = 100 može se za različite vrijednosti veličine r ( koeficijent unutarnjeg rasta populacije) pratiti razvoj populacije ). Prateći razvoj populacije za tri razlčite veličine r (r = 2, r = 2,781..., r = 3,3) i grafičkim prikazom veličina (slike 5, 6, 7) može se spoznati čudno bogatstvo prirodnih fenomena povezanih s determinističkim kaosom, procesima samokontrole i samoregulacije (feedback procesi), stanjima reda i nereda, kauzalnih odnosa i relacija ideterminizma. Promatrajući veličinu r (koeficijent unutarnjeg rasta) kao izuzetnu matematičku veličinu, primjerenu brojnosti populacije, može se zakljčiti da se r kreće između veličine 2 i 4 (2 < r < 4). Bez obzira na to kolika je početna populacija N,„ a pod uvjetom daje (0 < N„ < k), populacija će se uravnotežiti oko istog broja N*. Promatrajući razvoj populacije za veličinu r = 2, može se zaključiti (vidi slika 5) da je populacija N* stabilna i uravnotežena. Za veličinu r = 2,781.. .(e), populacija ne teži više jednoliko prema ravnotežnoj vrijednosti nego putem oscilacija između dviju vrijednosti, tek nakon protoka određenog vremena se stabilizira oko jedne vrijednosti (vidi slika 6). Za r = 3,3 (slika 7) vidljivo je 3 Kako se oblik eksponencijane funkcije prevodi u linearni, pokazat će primjer rasta i veličine populacije insekta (napr. gubara).Komentira se članak objavljen u časopisu "Priroda", br. 74, studeni, 1984, Legović Tarzan: Kako se rađa kaos u ekologiji ? Ako se po jednom kukcu ( N0) odloži (b)jajašaca iz kojih se izleže(a)novihjcdinki, tada će broj jedinki po jednom kukcu prošle godine biti (N|), odnosno N,= a N0, nakon druge godine N2 = aN, ili N2 = a: N„, nakon n - te godine, N„ = a" N„. Ako je srednji broj izleglih jedinki po jednom organizmu prošle godine (koeficijent rasta) manji od jedan, a < 1, populacija će se eksponencijalno smanjivati, ako je a = 1, populacija se neće u vremenu mijenjati, ako je a > 1, populacija će rasti eksponencijalno po Maltusovom zakonu. Odstupanje od eksponencijlnog rasta po Maltusovom zakonu uslijedit će u momentu nastanka ograničenja hrane i porasta ugroze od drugih okolišnih čimbenika. Otada će se broj jedinki u odnosu na prošlu godinu smanjivati, dolazi do redukcije populacije. Pod pretpostavkom da se koeficijent (a) smanjuje srazmjerno broju jedinki prošle godine, a = ( 1 -N0 / k ), veličina k je koeficijent ukupnih okolišnih čimbenika koji utječu na redukciju populacije, i daje slučaj kada je N = k, tada je a = r (koeficijent unutarnjeg rasta populacije). Ako se modificira eksponencijalna funkcija za prvu godinu reprodukcije populacije N,= a1 N0u linearnu funkciju u kojoj je a1 -r( 1 - N„/k ), tada će funkcija n + 1 godini imati oblik: Nn+1=rN„( 1 -N„/k) J Ako se kao primjer uzme funkcija F (y) = 3 y, iteracija se sastoji u tome da se ponavlja množenje po koracima "preslikavanja" y ^ 3y; 3y —» 9y; 9y —> 27y itd. Općenito se može reći da se fukcija koja se sastoji od množenja (y) s konstantnim brojem (k) piše: y —» ky. Vrlo jednostavna iteracija koja se često nalazi u nelinearnim sustavima, a stvara bogatstvo složenosti funkcija je upravo navedena funkcija u kojoj se konstanta ( k) označava s (r) : Y —> r y ( 1 - y ). To je upravo jednadžba koju koriste ekolozi za izračunavanje rasta populacije, a naziva se i "jednadžba rasta". Važno je napomenuti da u jednadžbi nezavsna varijabla (y) ima vrijednosti između 0 i 1, ( 0 < y < 1 ) . Ako se u matematičku funkciju uvrštava za (r) vrijednost između 2 i 4, ( 2 < r < 4 ), dobiva se sve bogatstvo i složenost funkcije. Složenost se posebno pokazuje u području gdje (r) poprima vrijednosti blizu broja 4. U kaotičnom neredu se ponovno javljaju područja reda, što je vjerojatno u vezi s pojavom samoorganizacije sustava putem feedbacka. |