DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 41     <-- 41 -->        PDF

Zelić, J.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRŽIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7-X, CXXIV (2000), 5 I 5-53 I


kultet, Glasnik za šumske pokuse 29, str. 77 -Sabadi , R. 1992: Ekonomika šumarstva, Sveučilište
132, Zagreb. u Zagrebu, Školska knjiga, Zagreb.
K u repa, Đ., Smolenc, I. i Škreblin, S. 1970: S e g e d i, N. 1992: Primenljivost Levakovićeve "funkMatematika,
Školska knjiga, Zagreb. cije rastenja" uz današnje (tehničke) mogućnoL
e 1 a s, S. 1990: Promišljanje znanosti, Hrvatsko filosti,
Zbornik o Antunu Levakoviću, Vinkovci.
zofsko društvo, Zagreb. S i kić , Z. 1989: Kako je stvarana novovjekovna mateLegović
, T. 1984: Kako se rada kaos u ekologiji?, matika, Školska knjiga, Zagreb.
Priroda, studeni 1984, Zagreb. Sklovski , J. S. 1989: Vasiona, život, razum, PresveLevaković
, A. 1938: Fiziološko-dinamički osnovi ta, Beograd.


funkcija rastenja, Glasnik za šumske pokuse, ZaTucovic
, A. 1967: Genetika sa oplemenjivanjem bi


greb. ljaka, Zavod za izdavanje udžbenika, Beograd.
Pranj ić, A. i Luk ić N. 1997: Izmjera šuma, SveučiVidaković,
M. 1966: Genetika i oplemenjivanje
lište u Zagrebu, Šumarski fakultet, Zagreb. šumskog drveća, Sveučilište u Zagrebu.


SUMMARY: The author discusses the syntagm of sustainable development
on the principles of sustainable forest management and the forest as a regenerative
nature resource. Former research of theoretical and applied character
is also analysed.


Special attention is paid to Levakovioe´s growth function and the fundamental
law of growth and increment as an integral result of growth forces and suppressed
forces with oscillations in the observed period.


After analysing the relationship between open an closed, living and inanimate
systems, the author stresses the decisive impact of energy exchange between
the system and the environment.


This paper is aimed at establishing the numerical index, the coefficient of
internal growth © as a representative of the law of growth and site - class determination.


Key words : growth, increment, sustainable development, coefficient of
integral growth, growth forces and suppressed forces, nature resources, environment.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 39     <-- 39 -->        PDF

Zelić. J.: PRILOG RASPRAVI O THORI.II RASTA, PRIRASTA 1 ODRŽIVOG RAZVOJA
Šumarski list hr. 7-X.CXXIV (2000), 515-53 1


rasta nekog obilježja od drugog uvjeta (temperature,
tlaka, koncentracije, katalizatora, elektromagnetizma i
slično, ali opet do određenog stupnja, nakon kojeg se
uspostavlja ravnotežno stanje. U društvenim sustavima
s obilježjima gospodarenja živom i neživom prirodom
odvijaju se slični procesi rasta i pada nekog obilježja,
pojave u odnosu na drugu.


Svi otvoreni živi sustavi su u interakciji s okolinom i
žive sve dotle dok je sila rasta veća od sile otpora rastu.
Proces traje do uspostavljanja ravnotežnog stanja, a potom
samoregulacijom pomoću slobodne energije dobivene
iz okloliša (entalpija) i feedback lukom nadvladava
negativnu silu (entropija). Oscilacije prirasta određenog
obilježja su pod utjecajem vanjskih sila te tijekom
godina oscilira.


Čovječanstvo, kao populacija ljudske vrste, svjesno
i nesvjesno narušava samoregulaciju prirodnih sustava
i nije daleko od spoznaje dosadašnjh trendova rasta i
pada životnih uvjeta da u potpunosti ugrozi svoje postojanje
na zemlji. Održivi razvoj ekonomije i okolišnih
kapaciteta definiran je također graničnom točkom preko
koje ne bi trebalo bez poslijedica prelaziti.


Pokušaj utvrđivanja kvantitativnih veličina vezanih
za bonitet rasta i razvoja dat ćemo u komparaciji sa do
sada kvantificiranim pojavama u zakonitostma rasta i
prirasta šumskih vrsta drveća i sastojina te nove paradigme
šumarske ekonomike.


Na temelju Levakovićeve funkcije rasta Kovaćić, je
matematičkom metodom iteracije izračunao parametre
za rast drveća u visinu i debljinu i na prethodnu sugestiju
Levakovića pokušao numerički bonitirati šumske
sastojine, no bonitet nije mogao utvrditi na temelju odnosa
parametara, nego na usporedbi vrijednosti točaka
infleksije tečajnog i kulminacije poprečnog prirasta.
Svoje rezultate komparirao je s rezultatima drugih istraživača
(K.lepac,Pranjić)i našao potvrdu o mogućnosti
numeričkoh bonitiranja sastojina, no zbog nedovoljno
reprezentativnih uzoraka istraživanog rasta i
prirasta ostala je sumnja u relevantno numeričko bonitiranje
sastojina.


Bezak se u datoj funkciji rasta i prirasta oscilatornih
gibanja priklanja Levakovićevoj hipotezi fiziološko dinamičkoj
osnovi funkcije rasta. Uvodeći u formulu
koeficijent elastičnosti sustava (co) i silu otpora (k), numerički
analizira bonitet prirasta stabala u predominantnoj,
dominantnoj, nuzgrednoj i podstojnoj etaži. No,
njegov koeficijent elastičnosti, dobiven intuicijom kao
"tajanstveni broj "7" uspoređen s koeficijentom otpora,
daje približnu mogućnost bonitiranja sastojinske etažne
strukture.


Istražujući koeficijent unutarnjeg rasta (r), kao produkta
sila rasta i otpora rastu, čije smo matematičko
značenje ranije objasnili, vezujući ga uz modificirai


oblik eksponencijalne funkcije rasta u linearni oblik
jednadžbe s iterativnom metodom, došli smo do vlastitih
hipoteza:


1.
Numerička veličina koeficijenta unutarnjeg rasta (r)
za žive otvorene sustave je: 1 < r < 4.
2.
Za stabilni rast i razvoj promatranog obilježja
numerička veličina koeficijenta unutarnjeg rastaje:
1< r < 2, 781...
3.
Za veličinu koeficijenta unutarnjeg rasta, 2, 781...
< r < 4, promatrano obilježje oscilira između dvije ili
više simetričnih veličina u odnosu na stabilnu točku.
4.
Bonitet promatranog obilježja je veći stoje koeficijent
unutarnjeg rasta bliži 2,781..., I ^ r <—2, 781...
5.
Ako je koeficijent unutarnjeg rasta za stabilne sustave
bliži vrijednosti 2,781...kao nezavisne varijable,
to će zavisna varijabla (bonitet promatranog
obilježja biti veće vrijednosti.
6.
Utvrđenom veličinom koeficijenta unutarnjeg rasta
(r) može se bonitirati svako promatrano obilježje
rasta.
Nabrojane hipoteze testirali smo sa spomenutim
funkcijama rasta šumskog drveća i sastojina te s fukcionalnom
ovisnošću životnog standarda o potrošnji prirodnih
resursa.


Prevodeći slobodnu entalpiju u pojam Levakovićevu
silu rasta (S,), Bezakovog koeficijenta elastičnosti
(co) i koeficijenta unutarnjeg rasta (r), te entropiju, kao
protivnu silu, u silu otpora rasta (S2), koeficijenta otpora
rasta (k) i koeficijent unutarnjeg rasta (r), došli smo
do zaključka da se područje odnosa između sila entalpije
i sila entropije može kretati između (1:1), ispod kojeg
slijedi proces entropije( umiranje), i odnosa (4:1), kao
područje kaotičnih zbivanja (vidi slike).


U Bezakovoj funkciji rasta, gdje je za koeficijent
elastičnosti sustava (co), uzet "tajanstveni broj 7" dobiven
intuicijom, postoji odstupanje od naših zaključaka.
Tako npr za predominantno stablo u sastojini taj odnos
sila iznosi: (4,118:1), a za potišteno, odumiruće stablo
(0,667:1). Prema našem mišljenju nije dobro intuicijom
pogođen koeficijent elastičnosti (co). Za srednje plošno
(kodominantno stablo izračunat je odnos 1,44:1, dakle
koeficijent unutarnjeg rasta r = 1,44. Za isto stablo dobije
se koeficijent unutarnjeg rasta r = 2,3612, ako se
podijeli zbroj parametra "a" sa zbrojem parametra "b",
Ia/Eb = 2,3612.


Analizom Levakovićevih parametara (a, b, c, d) i
njegovom slutnjom da bi se odnosom a/b mogao iskazivati
bonitet stojbine, došli smo do zaključka da se, primjenjujući
izjednačene parametre za rast visina po metodi
Kovačića za I - IV bonitet hrasta lužnjaka (VVimcnauer)
i izjednačene parametre po metodi Segedija, a za
bukvu I bonitet (Špiranec), područje sile rasta i otpora




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 38     <-- 38 -->        PDF

Zclić, .).: PRILOG RASPRAVI () TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRŽ1VOG RAZVOJA Šumarski liši hr. 7 -«. CXXIV (2000). 515-531


predstavnikom vrste i populacije može dovesti u zablu- raženu kao funkciju prigušenih oscilacija, promatra u
du opću, fundamentalnu zakonitost koja je protegnuta u segmentu vremena (oscilacije na kraju bivaju priguševremenu.
Doduše Ko vač ić (1993) je pokušao teoret- ne), iako uvođenjem zakona kvantne fizike, dualnosti
ski prolongirati zakonitost rasta i prirasta Levakoviće- čestica materije i načela neodređenosti, zakona sila i
vc funkcije u tisućljeća, ali na temelju analize stabala djelovanja u prostoru želi obuhvatiti zakon u fundastarosti
do 150 godina i jedne generacije. U kojem sta- mentalnom obliku.
diju uspostavljanja genetičke ravnoteže su promatrana 0 filozofiji prirode, zakonitostima života, zatvoreobilježja
stabala i sastojina zahvaćena nije poznato, pa ni m j otvorenim sustavima, silama koje reguliraju proje
opća utvrđena zakonitost rasta i prirasta manje sigur- cese jsp0Znaji općenito ima aktualnih teorija \
na. Bezak fundamentalnu zakonitost rasta i prirasta, iz-


DISKUSIJA, PRILOG RASPRAVI O RASTU, PRIRASTU I RAZVOJU,
ZAKLJUČNA RAZMATRANJA
Discussion, research results, conclosion


Razmatranjem zakonitosti rasta, prirasta i održivog kojoj jedinka ili populacija teži. Na toj točki uspostavlja
razvoja došlo se do spoznaje daje funkcija rasta i prira- se ravnotežno stanje, a promatrano obilježje oscilira
sta u živim sustavima slična. Zakonitost rasta u živim oko granične točke. I u neživim sustavima fizikalnih i
sustavima u relaciji s vremenom ima graničnu točku kemijskih procesa postoji zavisnost rasta ili negativnog


s Francois Jacob, La logique du vivant, Paris, 1970, prijevod: Logika živog. Nolit, Beograd 1978,
Proučavanjem živih struktura i organizacija u vremenu te genetskih procesa na razini molekularnih odnosa, medu ostalim kaže: "Postoji
samo neprekidno izvršavanje programa, usko povezanog sa svojom realizacijom. Jer su produkti poruke jedini elementi koji interpretiraju
genetičku poruku. Genetički tekst je razumljiv samo za strukture koje je. sam determinirao. Tu nema više uzroka razmnožavanju: satno ciklus
događaja u kome neki konstituent igra neku ulogu jedino u zavisnosti od drugih. Ako je moglo da dođe do razmnožavanja organizacije i
do pojave živih biča, to je zbog toga što je jednostavnost linearne kombinatorike dala složenost grade u prostoru. Ali i zbog toga što se
između dva sistema simbola mogla da se uspostavi veza s jednim značenjem: jednog koji služi za čuvanje informacije kroz generacije: drugog
za razvijanje strukture pri svakoj generaciji. Prvi ostvaruje vertikalnu vezu od roditelja k potomstvu; drugi određuje horizontalnu vezu
između sastavnih dijelova organizma".
O vezi između sustava unutarnjeg svijeta individua i vrste s vanjskom svijetom raspravljaju Maturana i Varela (1980) te Prigogninc
(1984.1989). Njihovu interpretaciju života, relacija i procesa, filozofiju prirode i spoznaje daju:
Fritjof Capra, N/I reza života (novo znanstveno razumijevanje živih sustava), Liberata, 1998. Autor kroz novu paradigmu dubinske ekologije
i etike te fizike koja se sve više zanima za život, daje pregled klasičnog pristupa svijetu i životu do modernih teorija sustava u kojima se
proučavanje s objekata prenosi na proučavanje odnosa među objektima. Tek uvođenjem novih metoda u proučavanju zakona termodinamike
Prigogine (1970) daje teoriju samoregulacije u staničnim strukturama, formulirajući ih kao "disipativne" strukture. Primjenom
kibernetikc i tzv. feedback lukovima otkriva se područje ncuronskih mreža i samoregulacije u njima. Otkrića se brzo koriste u tehnici, elektronici
i informatici.
Za nas je od važnosti analiza Prigogina tzv. "Bernardovih stanica" , slika pravilnog obrasca šesterokuta stanice (saća) koji se pojavljuje zagrijavanjem
vode u plitkoj posudi. Obrazac nastaje kod "kritične" točke dovođenja topline i prelaska sustava molekula iz ravnotežnog u
nestabilno (kaotično) stanje. Zanimljivo je da se ovakav obrazac šesterokuta kasnije otkrio i kao "kostur" stanice. Za šumare je posebo izazovno
što se replika šesterokuta prenosi na zakonitost formiranja morfološke strukture habitusa stabla. Ta nestabilnost u sustavu je ustvari
pojava obrasca samoorganizacijc koja je značajka živog svijeta.
Koja je točna veza između samoorganizacije i života promišlja Maturana pod pojmom "autopoiesis", što bi značilo stvaranje samog sebe.
Proučavajući živčani sustav živih bića zaključuje:" živi sustavi.. .su organizirani kao zatvoreni uzročni kružni procesi koji omogućuju samo
one evolucijske promjene koje će sačuvati kružnu orgnizaciju" Zaključio je daje mrežni obrazac u kojem svaka komponenta transformira
ostale komponente, istodobno zadržavajući kružno uređenje mreže, osnova "organizacije življenja". Drugi zaključak izvodi iz prvog,
tvrdeći da živčani sustav nije samo samoorganizirajući nego i samoreferirajući, te ne možemo percepciju smatrati reprezentacijom izvan


jske realnosti, nego je moramo shvatiti i kao stalno stvaranje novih odnosa unutar živčane mreže.
Svojim postulatima Maturana definira samu mogućnost spoznaje i filozofije prirode. Njegova izvedenica: "živi sustavi su sustavi spoznavanja,
a život kao proces je proces spoznavanja. Ova tvrdnja vrijedi za sve organizme, sa i bez nervnog sustava".
O filozofiji spoznaje ili epislemologije po Maturani kaže Lelas ( 1990) u spomenutoj knjizi sljedeće: "Izgleda , dakle, da smo dosada teturali
između dva ekstrema, ekstremne otvorenosti u kojoj okolina slobodno ulazi u sistem da bi se u njemu reflektirala, i ekstremne zatvorenosti u
samozadovoljno samorazvijanje. Oba su posljedica doživljavanja organizma kao da su bačeni u svijet slučajnošću božje volje, zatečeni tamo
u stranom okolišu koji neprekidno prijeti njihovu opstanku. Epistemološki ovakav stav vodi uspostavljanju klasične subjekt - objekt
relacije s neizostavnom polarizacijom na subjektivizam i objektivizam".
Upravo odnos subjekt - objekt, bića i bitka, stvar po sebi i stvari za sebe su promišljanja u cijelokupnoj povijesti filozofije, pa i teologije, te
tvrdnja Maturane i njegove teorije autopoiesisa ne može biti kraj flozofiranja i teorije spoznaje. Maturana zatvara živo biće i nervni sustav u
samoregulirajući krug u kojem ne dopušta da sustav ima prozore.
Filozof ovaj zatvoreni krug vidi u tzv. interakcijskoj epistemiologijij koja dopušta prozore ili niše u sustavu, i time selektivnu interakciju
između sustava i okoline. Takve prozore smo spominjali u dijelu razmatranja sustava čiji je koeficijent unutarnjeg rasta (r) blizu 4.
Filozof Lelas komentira: "Središnje je mjesto selektivna interakcija. Interakcija je najvažniji dio samoproizvođenja, ona je homeostatski
parametar koji se mora održavati konstantim, i oboje - i interna struktura organizma i niša - podređeni su tome. Organizam se pojavljuje kao
jedinica interakcije, a niša kao domena interakcije. Organska evolucija tada postaje evolucija načina interakcije između autopoictičkih sustava
i njhovih okolina.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 37     <-- 37 -->        PDF

/die, J.: PRILOG RASPRAVI O 1 KORI.il RAS l´A. FRIRAS TA I ODRZIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 S, C´XXIV (2000), S I s.s.î 1


Potrebnu energiju za fotosintezu biljka dobiva od
sunca. Apstrahirajući energiju topline dobivene od sunca,
pobliže ćemo razmotriti svjetlosnu sunčevu energiju.
Svaki svjetlosni kvant ili foton nosi energiju E = h c /


X. Intenzitet svjetlosti ovisi o količini dovedenih fotona,
a količina energije pojedinog kvanta, a time i radna sposobnost(
entalpija) obrnuto je proporcionalna dužini vala
A., a upravno prporcionalna frekvenciji vala v
Elektromagnetsko zračenje visokih frekvencija i
malih valnih dužina (y - zrake, x - zrake), djeluju na tvari
ionizirajuće, zračenje vidljivog dijela spektra uzrokuje
elektronsko pobuđivanje u molekulama staničnih tvari.
Dolazi do premještanja elektrona u više energetsko
stanje, kako smo to prije objasnili, pa pobuđena molekula
ulazi u reakcije s molekulama drugih tvari. Biljke s
klorofilom apsorbiraju svjetlost selektivno, na valnim
dužinama od 400 - 700 n m (nano metara). To su valne
dužine, odnosno kvanti svjetlosti koji održavaju proces
fotosinteze i dovoljno bogati da potaknu proces kemijskih
reakcija i fizikalnih, mehaničkih gibanja. Prijelazi
su mogući samo između određenih energetsih stanja,
koje atom može primati doticajem vanjskih elektrona.
Upravo te porcije energetskih stanja su prozori ili vrata
kojima se uspostavlja odnos s vanjskim svijetom.


Kod klorofda energetska razlika između osnovnog
stanja i prvog pobuđenog stanja iznosi 1 -2 elektron volta.


Fotoni vidljive (zelene) svjetlosti imaju valnu duljinu
X oko 0, 5 u, m ( 5 * 10 7 m)i frekvenciju v =c / A. = (3 *
10sm/s)/(5* 10 7m) = 6* 10 l4Hz. Akoje Planckova
konstanta približno h = 6,62 * 10 "34 J s, te ako se ta
energija izrazi u elektronvoltima pri čemu je 1 eV= 1,6*
10 |l,J,ondajeE = (4* 10 l9J)/(l,6* 10"´J) = 2,5 eV.


Za unutarnji život stanice kao zatvorenog, autonomnog
sustava, potrebna je razlika dvaju vibracijskih stanja
oko 0,1 eV, a između dva rotacijska podstanja oko
0,01 eV.


Za proces fotosinteze pomoću klorofda, pored svjetlosti
kao pobudivača procesa, nužan je ugljični dioksid
i vodena otopina s mineralnim solima uz minimalne
uvjete topline i tlaka zraka.


Promatranjem sastojine kao populacije jedne ili više
vrsta drveća nužno je pored navedenih okolišnih uvjeta
za zakonitost rasta i prirasta, razlučiti jedinke vrste s
osobenim genotipom od skupa nasljednih čimbenika
koji nosi populacija. Te genetičke razlike jedinki, članova
iste populacije, izražavaju se fenotipom unutar
iste populacije. Genetska varijabilnost je svojstvena
svakoj populaciji. U genomu svakog individua satojinske
populacije kodirano je da će s većom ili manjom
vjerojatnošću zauzeti mjesto u određenoj sastojini, da li
će biti dominantno ili potišteno stablo, jer nosi veću ili
manju frekvenciju gena dominatnog rasta ili recesivnog
gena slabijeg rasta. U populacijskoj genetici utvr


đena je zakonitost fluktuacije gena između individua s
dominantnim ili recesivnim svojstvom. U populaciji
gdje je frekvencija dominantnih gena A(p) i recesivnih
gena a (q), zakonitost nasljeđivanja će biti, uz uvjet da
je p + q = 1 po jednadžbi:


p: AA + 2 pqAa + q:= 1
Slijedeći logiku gornje jednakosti, svaka sljedeća
generacija dat će 1/4 jedinki s dominantnim genima
AA, 1/2 jedinki mješovitih svojstava gena Aa i 1/4 jedinki
s recesivnim svojstvima gena aa. U prirodi gotovo
nikada nije slučaj da se odnos genetskih svojstava javlja
u tako pravilnim frekvencijama, odnosno frekvencijama
genetičke ravnoteže.


Zanimljivo je da se u procesu uspostavljanja genetičke
ravnoteže vodi borba dviju suprotnih tendencija,
tendencije da populacija ostane nepromijenjena (zatvoren
sustav sa samoregulacijom) i tendencija promjena
kao evolucija vrste i populacije uvjetovana višim, eksternim
zakonitostima iznad individue i vrste. Kad se
ravnoteža poremeti, uspostavlja se opet na novoj razini
(vidi slika 8). U konačnosti problem genetičke ravnoteže
svodi se na regulacijske procese, samoregulaciju,
povratne sprege i zakonitosti kibernetike. Promjena populacije
moguća je samo poremećajem genetičke ravnoteže
prirodnim ili umjetno izazvanim mutacijama,
prirodnom ili umjetnom selekcijom te "slučajnim"
vanjskim i unutarnjim čimbenicima.


Birajući plus stabla za reprodukciju, veća je vjerojatnot
da će se pozitivna genetska dobit prenijeti na potomstvo,
no i u toj populaciji bit će individua s fenotipom
koji odražava neželjeno svojstvo. Spoznaju o poželjnosti
nasljeđivanja dominantnih gena u budućoj generaciji
koristimo u oplodnim sječama, ostavljajući da
se prirodno oplođuju i rađaju sjemenom stabla najboljeg
fenotipa.


Upravo iz te mogućnost mogli bismo izračunati nakon
koliko generacija bi mogli računati da će pretegnuti
povoljno nad nepovoljnim svojstvom Ako se selekcijom
(mutacijom) želi prevesti recesivnio svojstvo gena
"a" u dominantno "A" i to stalnom brzinom "v", i ako
frekvenciju gena "a" označimo s P(1, a njegovu frekvenciju
poslije n generacija s Pn, tada vrijedi formula:


Pu= Po = ( 1 -v ) " Ako se pretpostavi da se genetska
dobit ostvarena selekcijom ili mutacijom odvija tako da
od 1 000 gena "a" jedan (v = 0,001 ) prelazi u gen "A", a
početna ravnoteža je pA= 50 %, qa = 50 %, onda je P|(10=
0,5 ( 1 - 0,001 ) m = 0,55. To znači da će tek nakon 100 generacija
genetska dobit biti svega 5 %. Istodobno se odigravaju
i inverzni procesi da se dio gena pozitivnog dominantnog
svojstva prevodi u gene negativnog svojstva.


Utvrđivanje zakonitosti rasta i prirasta na jedinkama
jedne populacije biranjem srednjeg sastojinskog stabla




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 36     <-- 36 -->        PDF

/clic. .1.: PRILOG RASPRAVI » Il ORI.II RASTA. PRIRASIA I ODK/IVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7-8. C XXIV (21)00). 51 5-53 I


FIZIOLOŠKE OSNOVE RASTA DRVETA, SVJETLOST KAO SPECIFIČAN REGULATOR,
KVANTNE PORCIJE ENERGIJE I PROZORI ZA IZMJENU TVARI I ENERGIJE
Physiologycal principles of growth of tress, sunshine as specific regulator, quantum of
energy and the windows for giving and taking matter and energy


Fiziologija rasta i prirasta šumskog drveća specifična
je unutar biljnog svijeta, jer je drvo višegodišnja
biljka čiji se prirast u obliku drvne tvari (celuloza, lignin...)
kumulira stotinu i više godina. Analizom presjeka
stabla moguće je rekonstruirati specifičnosti klimatskih
i edafskih utecaja u prošlosti. Širina goda je odraz
tečajnog prirasta u debljinu, u određenoj starosti drveta.
Utjecajem vanjskih čimbenika na rast i prirast drveća
bavi se dendrokronologija.


Fiziološki procesi u biljci kao izmjena tvari i energije
ovise o bitnim čimbenicima, temperaturi (toplina),
vodi, mineralima, zračnoj smjesi i svjetlosti. U našoj
raspravi o zakonitostima rasta i prirasta šumskog drveća
posebno ćemo analizirati utjecaj svjetlosti na procese,
uz pretpostavku da su ostali uvjeti za životne procese
optimalni ili barem dovoljni.


Stablo kao jedinka u šumskoj populaciji ima vlastiti
život, zatvoren sustav, koji kroz određene "prozore"
komunicira s okolinom. Broj i veličina tih "prozora" je
ograničena.


Energetski procesi u biljci počinju promjenom energetskog
stanja dovedenog izvana, izvan zatvorenog
sustava biljke. Koji je minimalni stupanj energije u najopćenitijem
obliku, toplini potreban za pokretanje fizioloških
procesa ovisi 0 vrsti biljke. Energetski proces
potaknut dotjecajem topline iz okoline u zatvorenom
sustavu organizma naziva se entalpija. Entalpija daje
određeni radni učinak koji opet dovodi organizam u
stanje ravnoteže. Kao rezultat radnog učinka slijedi niz
promijenjenih stanja u živom organizmu i otpadni produkt
koji se daje okolini.


Istodobno se u organizmu odvija proces entropije,
koji je ireverzibilan i prema zakonu termodinamike
očituje se u procesu prelaska energije s više na nižu razinu,
sve do apsolutne nule ili prestanka gibanja molekula,
stanja smrti. Upravo ireverzibilni proces entropije
u živom organizmu zaustavlja se dovođenjem tvari i
energije iz okoline, odnosno povećanjem entalpije. U
zatvorenim izotermnim uvjetima organizma dovedena
energija ili entalpija ima oblik "slobodne entalpije".
Odnos između promjena entropije i entalpije te promjena
slobodne entalpije može se iskazati jednadžbom:


AG=AH-TAS


A G je promjena slobodne entalpije, A H je toplina
koja se izmjenjuje između živog sustava i okoline, T je
apsolutna temperatura (- 273 °C ) i A S je promjena entropije
sustava.


Ovi odnosi osobito su važni za naše razmatranje
vertikalne strukture sastojine (etaže), u kojoj žive ili
umiru jedinke, zbog više ili manje svjetlosti, kao važnog
regulatora energetskih procesa u biljci. Upravo
zbog mogućnosti apsorbiranja "užitnog svjetla" drvo
uz sve ostale biološke i ekološke uvjete više ili manje
raste ili prirašćuje.


Samo u sustavima gdje je slobodna entalpija pozitivna,
odvijaju se fizikalno - kemijski procesi, životni
procesi. Postignuta termodinamička ravnoteža u živoj
stanici organizma iskazuje se termodinamičkom konstantom
ravnoteže : Ka] = [B] / [A] , gdje [B] označuje
koncentraciju konačnog produkta u stanici, a [A] koncentraciju
ishodišne tvari u stanici. Razlike u potencijama
energetskih stanja (koncentracija) koristi biljka za
kemijske i fizikalne (osmoza) procese.


Dovođenjem energije izvana entalpija se mijenja
kao i koncentracija tvari u stanici, te proces počinje ponovno,
odnosno nastavlja se. Upravo zbog stalne izmjene
tvari i energije s okolinom živa stanica je u dinamičkoj
ravnoteži, pa se cijeli sustav naziva otvorenim
sustavom. Život je karakteristika smanjenja sila entropije,
stanje u kojem se uz najmanji utrošak energije
može održati u najvećem mogućem redu.


Prevodeći slobodnu entapiju u pojam Levakovićeve
silu rasta (S,), Bezakovog koeficijenta elastičnosti (oo) i
koeficijenta unutarnjeg rasta (r), te entropiju kao protivni
silu u silu otpora rasta (S2), koeficijenta otpora rasta
(k) i koeficijent unutarnjeg rasta (r), došli smo do zaključka
da se područje odnosa između sila entalpije i
sila entropije može kretati između (1:1), ipod kojeg slijedi
proces entropije (umiranje), i odnosa (4:1 ), kao područje
kaotičnih zbivanja (vidi slike).


U Bezakovoj funkciji rasta, gdje je za koeficijent
elastičnosti sustava (to), uzet "tajanstveni broj 7", dobiven
intuicijom, postoji odstupanje od naših zaključaka.
Tako npr. za predominantno stablo u sastojini taj odnos
sila iznosi: (4,118:1), a za potišteno, odumiruće stablo
(0,667:1 ). Prema našem mišljenju nije dobro intuicijom
pogođen koeficijent elastičnosti (co).


Analizom Levakovićevih parametara (a, b, c, d ) i
njegovom slutnjom da bi se odnosom a / b mogao iskazivati
bonitet stojbine, došli smo do zaključka da se primjenjujući
izjednačene parametre za rast visina po metodi
Kovačića za I - IV bonitet hrasta lužnjaka (VVimenauer)
i izjednačene parametre po metodi Segedija a za
bukvu I bonitet (Spiranec), područje sile rasta i otpora
sili rastu (S,/ S2) kreće između 4 i 1. Ostala obilježja
(promjer i volumen ) ne slijede ovu logiku.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 35     <-- 35 -->        PDF

Zclić, .[.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRŽIVOG RAZVOJA Šumarski lisl br. 7 X, CXXIV (2000). 5 15-53 I


Ovo dopunsko tumačenje Bezakovih uvrštavanja
zakona kvantne fizike u datu funkciju poslužit će nam
za fiziološko tumačenje rasta i prirasta pod utjecajem
svjetlosti, odnosno elektromagnetskog zračenja nužne
frekvencije za pobuđeno stanje atoma. Stoga spominjemo
temeljne zakone fotoučinka, koji su u uskoj vezi s
asimilacijom biljke pod utjecajem svjetlosti, topline,
klorofila i mineralne otopine u stanici.


Zakon dovodi u vezu broj fotoelektrona u metalu,
jakost svjetlosti i frekveneju svjetlosti. Broj fotoelektrona
razmjeran je intenzitetu svjetlosti (broj fotona ili
elektromagnetskog zračenja), a kinetička energija elektrona
razmjerna je frekvenciji svjetlosti. Za svaku tvar
postoji granična frekvencija v0, ispod koje svjetlost ne
može izbacivati elektrone.


Victor de Broglie razmatra te relacije na razini atoma
i elektrona u kružnoj stazi atoma pa dolazi do zakonitost
da se elektroni mogu gibati samo stazama određenog
polumjera. U atomu su moguće samo staze čija
je duljina jednaka cjelobrojnom višekratniku valne duljine
X = IV / n\ v pridružene gibanju elektrona mase mc
i brzine v oko atomske jezgre. Moguća je, dakle, ona
staza kod koje je: n X =2nr gdje je n broj staza a r polumjer
staze.


Relaciju X = IV / mc v Bezak upotrebljava za izračunavanje
koeficijenta a kao konstante fine strukture, za
koju kaže daje tajanstvena brojka "7", a = e" / h´ x c =
0,0072972, e: je kvadrat elementarnog naboja u prirodnim
jedinicama.


Za naše dalje razmatranje teorije rasta i prirasta vezano
za fiziološke procese dat ćemo relaciju koja povezuje
energiju fotona E = hvi v = c/A. Fotoni vidljive
(zelene) svijetlosti imaju valnu duljinu X oko 0, 5 u, m
(5 * 10 7 m) i frekvenciju v = c / X = (3 * 10 * m / s) /
(5 * 10 7m) = 6 * 10 l4 Hz .Ako je Planckova konstanta
približno h = 6,62 * 10 ~34 J s, onda je energija fotona
zelene svjetlosti E = ( 6,62 * 10 ,4 J s ) * (6 * 10 M s ´) =
4 * 10 ~19 J . Ako se ta energija izrazi u clcktronvoltima
pri čemu je 1 eV= 1,6* 10 ´" J, ondaje E = (4 * 10 l9J)
/(1,6* 10 |1,J) = 2,5eV.


U svojoj teoriji rasta i prirasta Bezak, slijedeći Levakovića,
istražuje sile rasta i otpora rasta pa u funkciju
uvodi koeficijent elastičnosti sustava koji se giba "co"
kao silu rasta koju poistovjećuje s tajanstvenim brojem
"7", a u funkciji za karakteristična stabla u sastojini je
istovjetan (0,07). Sila otpora rasta, koeficijent "k" je
promjenljiva veličina. U funkciji to je promjenjivi eksponent
Eulerovog broja (e), a za karaktristična stabla u
sastojini kreće se od 0, 0170 za dominantno stablo (skoro
neometanog rasta), do 0,1050 za potisnuto, prigušeno
stablo (jako ometanog rasta).


Namjera Kovačića da numerički bonitira sastojine
mjerom intenziteta rasta i prirasta (točke infleksije i


kulminacije rasta i prirasta) modificirana je kod Bezaka
u klasifikaciji relacija sila rasta i otpora rasta kod karakterističnih
stabala (predominantna - I, dominantna - II,
kodominantna - III, prigušena - IV i umiruća - V). Za
stabla klasificirana kao I utvrđuje da su oscilatorna
gibanja prirasta skoro harmonična, jer je sila rasta mnogo
veća od sile otpora (co>>k ), stabla klasificirana kao
II, III, IV imaju prirast koji se prigušuje oscilacijama
do određenog ravnotežnog stanja, a za stabla klasificirana
kao V nestaju oscilatorna gibanja (stabla umiru),
gibanje postoje neperiodičko, sila rasta jednaka je ili
manja od sile otpora rasta ( (U = (<) k).


Iako je Bezak koeficijent (co) nazvao elastičnost sustava
koji se giba, bolje bi mu odgovarao naziv "koeficijent
pulsacije", jer se u matematičkom smislu izražava
kao kružna frekvencija (co = 2 n IT ) ili pulsacija. Izraz
l/T je frekvencija valnog gibanja v tada je (co = 2 n v).
Kod harmoničkog gibanja (predominantna stabla), amplitude
su jednake, kod prigušenih oscilacija su sve manje,
a kod neperiodičnih gibanja nema oscilacija.


Zanimljivo je da Bezak utvrđuje za potištena stabla
zakonitost prirasta po tzv. Guttenberovim krivuljama rasta
(S - krivulja) i Pepeschelovim uvjetima za krivulju
prirasta s dvije točke infeksije i jednom kulminacijom.
Funkcija takve zakonitosti prirasta koja povezuje intenzitet
(postotak prirasta ) i starost stabla glasi: Y = A e "kl.
Uvrštenjem u formulu za amplitudu A = 1, k = 0,01 i t =
100 dobije se vrijednost Y = 1/2,781 = 0,3678... Ova
funkcija kao izraz rasta i pada nekog obilježja često se
koristi u biotehničkim, ekonomskim i društvenim znanostima.
To je zapravo funkcija neprekidnog ukamaćivanja.
Nova vrijednost glavnice dobije se iz izraza:
G, = G0 e kl. Za regresiju funkcije uzima se njena recipročna
vrijednost, kako je to gore iskazano za opadanje
debljinskog prirasta po godinama starosti.


Odnos sile rasta i otpora rasta posebno ćemo analizirati
u svjetlu koeficijenta unutarnjeg rasta (r) kao sintetskog
indikatora koji povezuje parametre iz Levakovićeve
funkcije rasta (a, b, c, d ) i Bezakove koeficijente
elastičnosti i otpora sustava ( co , k ).


Sada se samo povezuje spozaja da u funkciji oblika:
Y = r y (1 - y), (r) objedinjuje neke relacije parametara
Levakovićevih parametara (a, b, c, d) i koeficijent elastičnosti
( co ) dok je (k) odnos početnog stanja obilježja
(n„) i kapaciteta okoliša (k), y = n0 / k.


Simulirajući vrijednosti koeficijenta unutarnjeg rasta
(r) od 1 do 4 moguće je dobiti teoretske nizove i grafičke
krivulje boniteta Levaković - Kovačićevih i Bezakovih
funkcija (slika 8).




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 34     <-- 34 -->        PDF

Zelić. J.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRZIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 8, CXX1V (2000), 5 15-53 I


Zakonitost rasta i prirasta stabla i sastojine kao funkcija
makrosvijeta klasične fizike i mikrosvijeta kvantne
fizike teoretski i praktično problematizira Beza k
(1993)7.


Formulom, odnosno funkcijom rasta za debljinski
rast i prirast hrasta lužnjaka (Quercus robur L.) predstavlja
izraz zakonitosti kontinuiteta oscilatornih gibanja
i unutarnjih biološih i fizioloških sila rasta i samoregulacije
rasta predstavljenih zakonitostima diskontinuiteta
kvantne fizike. Pristup oscilatornim gibanjima Bezak
nalazi u činjenici daje istraživanjem tečajnog godišnjeg
prirasta hrasta lužnjaka utvrdio oscilacije tijekom
vremena rasta i prirasta. Prva oscilacija na niže (manja
amplituda) je poslije intezivnog prirasta do 20 godina, a
druga pozitivna amplituda je između 110 i 130 godine.
Poslije toga prirast se smanjuje.


Zakonitost takvih, prigušenih oscilacija povezuje s
dualnošču korpuskularnih i valnih svojstava čestica
materije.


Pored utvrđene činjenice da svijetlost ima dualno
svojstvo čestice i vala, autor prihvaća teoriju Victora de
B ro g 1 i e o valnom svojstvu materije, kao zakona unutarnje
strukture atoma.


Polazeći od jedinstvene zakonitosti i povezanosti fizikalnih
fenomena elektriciteta, magnetizma i svjetlosti,
došlo se do relacije : 1 / c2 =u„ e0, (magnetska permeabilnost
i diclektrična konstanta permitivnosti u vakuumu),
što znači daje brzina svjetlosti jednaka kvadratnom
korijenu produkta električnog i magnetskog polja
u vakuumu. Proširenjem spoznaje daje brzina svjetlosti
također jednaka produktu frekvencije i valne duljine
elektromagnetskog vala c = v X, došlo se do teorije valnog
i kopuskularnog svojstva elektromagnetskoga zračenja.
Kasnijim proučavanjem fotoučinaka i zračenja
crnog tijela došlo se do relacija koje potvrđuju korpuskularnu
prirodu elektromagnetskog zračnja. E = h v


Čestice svjetlosti, odnoso čestice bilo kojeg elektromagnetskog
zračenja koje imaju masu mirovanja nula,
nose količinu gibanja: p = h / X U navedenim relacijama
iskazana su dva temeljna zakona kvantne fizike, to jest
daje energija fotona (čestice svijetlosti) proporcionalna
produktu Planckovc konstante h i frekvencije elektromagnetskog
vala (vala svjetlosti), te daje količina gibanja
(impuls) jednaka kvocijentu Planckove konstante h
i duljine elektromagnetskog vala X.


U Bezakovoj funkciji rasta navodi se reducirana vrijednost
Planckove konstante h´ = h / 2n. Kako je impuls
"p" jednak produktu mase čestice i brzine gibanja, moguće
je valnu dužinu elekromagnetskog zračenja pisati:


X = h / m v.


Prema Bohrovim postulatima o kretanju elektrona
kružnim stazama, svi elektroni na istoj putanji imaju istu
energiju pa tako tvore energetsku ljusku. Prva ljuska
najbliža jezgri (n = 1) predstavlja najjače vezano energetsko
stanje, druga ljuska je na četiri puta većoj udaljenosti
od jezgre i nosi 3/4 energetskog potencijala
prve ljuske. Putanje elektrona, karakterizirane određenom
energijom, predstavljaju slike kvantnih stanja.
Stanje najniže energije je osnovno stanje, a sva ostala
stanja su pobuđena stanja. Atom svakog elementa ima
karakteristična energijska stanja. Najjednostavniji je
model spektra energijskih stanja vodika čija energijska
stanja elektrona na raznim razinama ljuske pokazuje
elektromagnetsko zračenje, koje odgovara spektru vidljive
ili nevidljive svjetlosti, odnosno zračenja nižih i
viših frekvencija.


Bohrov postulat također kaže da elektroni mogu
preskakati iz jednog u drugo energijsko stanje. Pri tim
prijelazima atom (iz više u nižu putanju) emitira ili apsorbira
(iz niže u višu putanju) energiju u obliku kvanta
elektromagnetskog zračenja (na primjer svjetlost). Izraženo
matematički, energija emitiranog, odnosno apsorbiranoga
kvanta iznosi : h vre = E, - Es.


7 Bezak, K.: Prigušene oscilacije fenomena rasta i prirasta praćene Levakovićevoim analtičkim izrazima, Zbornik o Antunu Levakoviću,
Vinkovci, 1992. Formulom odnosno funkcijom rasta za debljinski rast i prirast hrasta lužnjaka (Quercus robur L.) predstavlja izraz zakonitosti
kontinuiteta oscilatornih gibanja i unutarnjih biološih i fizioloških sila rasta i samoregulacijc rasta predstavljenih zakonitostima
diskontinuiteta kvantne fizike. Debljinski prirast hrasta lužnjaka iskazan je kao druga derivacija rasta. Ako je debljinski prirast izražen


fizikalnim izrazom kao prevaljeni put u jedinici vremena ( Ay/Ax = y´ ), zbrajajući (integriranjem) godišnje priraste dobije se rast promatranog
obilježja. Za tečajni godišnji prirast po debijinskim stupnjevima 10 cm daje se funkcija:


iđi„ = a + bd , odnosno d ´ = d " + bd, "a" i "b" su parametri linearne funkcije(pravca), d je debljinski rast (promjer stabla u prsnoj visini), d´
je debljinski prirast, a d "je druga derivacija rasta. Drugom derivacijom funkcije rasta ( y´) dobije se oblik funkcije koja u izjednačenom
obliku glasi:
d" = A e kl sin ( coot t- p
Aje pozitivna konstanta, zbroj pozitivih vrijednosti koeficijenta "a" iz linearne funkcije pravca prirasta, "e" je Eulerov broj (prirodni logaritam,
ln e = 1 ), "k" je koeficijent otpora rasta, "co"je frekvencija (kružna) gibanja, odnosno koeficijent elastičnosti sutava "p"jc faza pomaka
krivulje oscilatornih gibanja koja uzrouje prigušenja, a dobivenaje metodom iteracije (o, o5), aje konstanta fine strukture, ajednakaje kvocijentu
kvadrata električnog naboja ( s2) i umnoška Planckove konstante "h" s brzinom svijetlosti "c" i " t " je vrijeme (godina) rasta i prirasta
(a = 1/137).
Koeficijente "4a" i "b" iz funkcije pravca dobije se stvarnim mjerenjem tečajnog prirasta u različitim dobnim stanjima sastojine, različitog
debljinskog stupnja. Dobiju se statističkom metodom po metodi najmanjih kvadrata odstupanja obilježja od izjednačenog pravca. Naneseni
na koordinatni sustav čine pramen pravaca, koji na određenim vrijednostima sijeku os y, a to je vrijednost koeficijenta "a", različitog nagiba,
koeficijent regresije "b". Pokazana je zakonitost da regresijski koeficijent "b" sa starošću opada po eksponencijalnoj funkciji (logaritamska
funkcija), a koeficijent "a " slijedi liniju sinusoidnih prigušenih oscilacija s povećanjem starosti.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 33     <-- 33 -->        PDF

Zclić, . PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRZIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 8, CXXIV (2000), 5 1 5-53 I


Nakon nove potpune matematičko-analitičke metode
za računanje parametara Levakovićeve funkcije rasta,
Kovačić daje na temelju relevantnih brojevnih veličina
za promatrana obilježja stabla i sastojine prijedlog
numeričkog bonitiranja stojbine biljne asocijacije. Složene
čimbenike koje utječu na rast i razvoj stabla i sastojine
tijekom vremena (edafski, klimatski, orografski,
biotski) numerički obilježava karakterističnim vrijednostima
na krivulji rasta. Za indikatore boniteta predlaže
vrijednost promatranog obilježja (visina, promjer,
volumen) vrijeme kulminacije godišnjeg tečajnog prirasta
i prirasta ukupno (točka infleksije I na krivulji rasta)
i vrijeme kulminacije poprečnog dobnog prirasta
(točka kulminacije K na krivulji rasta). Kod toga je važno
istaci daje kulminacija poprečnog dobnog prirasta u
točki, kad je on jednak tečajnom dobnom prirastu (sjecište
krivulja tečajnog i poprečnog prirasta).


Analitičkim izjednačavanjem rasta i prirasta promjera
i visine za hrast pomoću Levakovićeve funkcije i
prema prirasno-prihodnim tablicama raznih autora
(Wim en au er, Parde, Jüttner, Klepac, Cestar,
Spi ranec, Trifunović )i utvrđivanjem točaka
infleksije za kulminaciju tečajnog godišnjeg prirasta
i točaka kulminacije poprečnog dobnog prirasta za pojedine
bonitete, došlo se do određenih zakonitosti.
Utvrđena zakonitost je prije svega u spoznaji da se može
točno numerički odrediti godina maksimalnog tečajnog
i poprečnog prirasta za pojedini bonitet i to po pravilu
da niži bonitet pokazuje kasniju godinu maksimalnog
tečajnog i poprečnog prirasta.


Analizirajući kretanje parametara a, b, c, d, nakon
izjednačenja visine i promjera srednjeg sastojinskog
stabla hrasta lužnjaka za navedene autore pri rasno - prihodnih
tablica postoji zakonitost da parametar "a" sa
sniženjem boniteta pada, parametar "b" i "d" raste a
parametar "c" pada. No ta zakonitost ne vrijedi za sve
prirasnoprihodne tablice i bonitete. Autor to opravdava
nedovoljno dobro odabranim i reprezentativnim uzorkom
promatranih obilježja visine i promjera po godinama
starosti. Analizom prostornih dijagrama kvadrata
odstupanja izraženih kao funkcija parametara a, b, c, d,
zaključuje da je parametre dobivene Levakovićevom


funkcijom nepoželjno upotrijebiti za indikatore boniteta.
Osobito se odbacuje prijedlog Lcvakovića (1938) da
se za za polazište numeričkog bonitiranja uzme umnožak
parametara axbxcxd,iliK = a/b.


Umnožak četiri parametra Levaković naziva "koeficijentom
prirašćivanja" naslućujući vezu medu njima.
Našim istraživanjima zaključit ćemo da je to ustvari
"koeficijent unutarnjeg rasta´(r) u linearnoj funkciji
Y = r y ( 1 - y ) rasta i prirasta. Analizrajući kretanje vrijednosti
1 < r < 3 (vidi slike 5, 6, 7, 8) predložit ćemo
upravo vrijednosti u tom rasponu za indikatore boniteta.


Zanimljivo je istaći da Kovačić metodom interpolacije
i ekstrapolacije (prognoze) izračunava rast i prirast
promatranih obilježja (promjera i visine), proteže
na 1000 i više godina ili vraća na prve godine starosti.


Značajno je da kod rasta i prirasta tih obilježja testiranih
Levakovićevom funkcijom vrijedi neprekinuti
kontinuitet, doduše prigušen tijekom vremena, te se na
određenoj točki rasta približava određenoj stabilnoj
vrijednosti.


Tako za hrast lužnjak na I. bonitetu po Wimenaueru
daje podatak da visina u tisućitoj godini doseže visinu
42,90 m, u 2000 - toj godini 43,50 m, ali i dalje u vremenu
teži asimptotski parametru "a" s izračunatom vrijednošću
44,0 m. U drugom promatranom obilježju
promjer slijedi drukčiju zakonitost prirasta i rasta, pa
tako u 300. godini ima 94,0 cm, u 1000. godini 190,0
cm, ali teži parametru "a", s vrijednošću 1216,72 cm.


Izravnata Levakovićeva funkcija rasta iterativnom
metodom računanja parametara pokazuje da parametar
"a" raste do stabilne, ravnotežne vrijednosti u odnosu na
promatrano obilježje (visina, promjer, volumen). Sila
unutarnjeg rasta data je genomom vrste s genom za biološku
starost. Oscilacije prirasta tjekom vremena ovise o
vanjskim čimbenicima koji s genotipom čine ckotip.


Uočavajući oscilacije u prirastu pa i rastu šumskog
drveća i sastojina Klepac (1975) i Bezak (1990),
daju tumačenje navedenih pojava.


Levakovićeva funkcija rasta obrađena metodom
K o v a č i ć a (1993) daje oblik poznate S- krivulje s točkama
infleksije i kulminacije tečajnog i dobnog prirasta.


U testiranju parametara Levakovićeve krivulje autor daje prilagođen računalni program temeljen na iterativnom matematičkom postupku
(postupku ponavljanja do željene vrijednosti). Za razliku od preporuke Levakovića da se za računanje parametara odredi sustav četiri linearne
jednadžbe s poznate četiri polazne točke (tako je računao N. Segedi), autor polazi od funkcije čija je suma kvadratnog odstupanja od izjednačene
funkcijske krivulje minimum. Kod toga u temeljnu funkciju rasta uključuje sve točke dobivene mjerenjem. No, za izračun su
potrebni početni parametri: A0 = 6 Y max, B„ = 2 x, C„ = x, D„ = 1, F(A(), B0 C„, D(J ). Izravnanje krivulje rasta obavlja se pomoću tzv. dopunjaka,
a iteracije se ponavljaju 100 do 200 puta.
Pomoću istog programa izračunava se maksimalni godišnji tečajni prirast, rast promatranog obilježja (Y,), vrijeme (godinu) maksimalnog
tečajnog godišnjeg prirasta (X,), vrijeme (godinu) kulminacije poprečnog prirasta (Xk) te iznos istraživanog obilježja (Yk). Za točku infleksije,
vrijednosti funkcije s maksimalnim godišnjim prirastom, je nulta točka druge derivacije odabrane funkcije. Isto tako za točku kulminacije
poprečnog dobnog prirasta definira se kao prva derivacija odabrane (Levakovićeve) funkcije. To je ustvari odnos Yk / Xk. Kulminacija
poprečnog dobnog prirasta nastupa kada je on jednak tečajnom godišnjem prirastu.
Karakteristične vrijednosti promatranih obilježja (visina, promjer, volumen srednjeg sastojinskog stabla) autor uzima za pokazatelje (indikatore
boniteta). Kao indikatori boniteta služe vrijeme kulminacije godišnjeg tečajnog prirasta (točka infleksije 1 ). i vrijeme kulminacije
poprečnog dobnog prirasta (točka kulminacije K).




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 32     <-- 32 -->        PDF

Zelić, J.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA. PRIRASTA I ODRZIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 8. CXXIV (2000). 515-53 1


U intervalu ( 3.8 < r < 4 ) postoje "prozori" koji pokazuju
područja reda u kaosu i područja kompleksnog
kaosa. Na tom intervalu ima bezbroj takvih "prozora".


U filozofiji prirode živog i neživog svijeta zanimljivi
su upravo ti "prozori" po kojima se determinira kontinuitet
svemira. Ako je devetnaasto stoljeće bilo u znaku
dovršetka zakona klasične fizike i filozofije determinizma,
sa slikom ireverzibilnog svijeta i pravca vremena,
dvadeseto stoljeće bilo je u znaku sumnje u svijet
determinizma i određenosti. Svijet se otkriva kroz diskontinuitet,
teoriju kvantnih, skokovitih promjena i
procesa. Objedinjena teorija elektromagnetskih svojstava
materije, elektromagnetno zračenje, u obliku elektromagnetskih
valova s različitom valnom dužinom i


frekvencijom koja pokazuje dualno svojstvo (val ili
čestica), ovisno o veličini frekvencije (v = c IX), biva u
dvadesetom stoljeću komentirana načelom neodređenosti
i stohastičkitn zakonima vjerojatnosti. Iako je
"vremenski pravac" ireverzibilan, dolazi se do vjerojatnosti
vraćanja u određeno, prvotno stanje nakon beskonačno
dugog tijeka vremena. Oscilatorna gibanja, titranje
oko moguće veličine u dimenziji vremena, pokazuju
veličine stabilnog reda kao "vrata" povezivanja
zatvorenih i otvorenih sustava, sustava mikrosvijeta i
njegovih zakonitosti sa sustavom makrosvijeta i životom
kao oblikom pojavnosti.


Moguću primjenu koeficijenta unutarnjeg rasta (r),
raspravit ćemo u drugom dijelu ovoga rada.


NEKE TEORIJE O ZAKONITOSTI RASTA, PRIRASTA U ŠUMARSKOJ ZNANOSTI
A theories about law of growth and increment in forest knowlege


U šumarskoj znanosti, ovim zakonitostima se intenzivnije
bavilo nekoliko znanstvenika. Najpoznatija je
funkcija Levaković a (1935), izvedena na temelju
eksponencijalnih funkcija S peta (1879), Mitschcr 1
i c h a ( 1919) i drugih. Levakovićeva funkcija rastenja
glasi:


Y=A[(xc/l +(b/xc)]d


Parametar A je imenovani broj i ima istu jediničnu
veličinu kao zavisna varijabla Y.
Parametar b Levaković naziva "kompenzator starosti"
izražen u jedinicama (godina).


Parametri c i d su eksponenti (neimenovani brojevi),
ako je c = 1, funkcija poprima jednostavniji oblik:
Y = A( 1 +b/x)J.


U teoretskom pristupu zakonitosti rasta i prirasta
Levaković je zaključio da grafički oblik funkcije rasta,
krivulja rasta ima oblik slova S, ima jednu točku infleksije
a nema kulminacijske točke, jer se na određenoj
vrijednosti približava asimptotski pravcu paralelnom s
osi X. Krivulja prirasta ima jednu kulminacijsku točku i
dvije infleksijske točke.


Levaković je u funkciju uveo fizikalne veličine, derivaciju
puta po vremenu kao prirast, Y, = dy/dx, te integriranjem
prirasta u vremenu dobiva funkciju rasta. Pored
dinamičkih fizikalnih veličina, kao temelja funkcije rastenja,
Levaković intuitivno naslućuje biološko-fiziološke
osnove rasta, kao nejednolično gibanje. Na ovaj rast
utječu biotski i abiotski čimbenici, koji se tijekom vremena
mijenjaju. Sile unutarnjeg rastenja pokreću rast tijekom
vremena a suprotne sile koče rastenje. Za ovu hipotezu
Levaković daje jednadžbu: Y, = k (s,/ s2), k je
konstanta proporcionalnosti, a izraz u zagradi je odnos
pogodnih i nepogodnih sila rastenja. Rastenje je ukupan
rezultat pogodnih i nepogodnih sila koje se ponašaju s linearnom
ili eksponencijalnom zakonitošću.


Složenost Levakovićeve funkcije rasta obrađivalo je
više šumarskih stručnjaka. Neke od njih navodimo5.


Kao značajne sljedbenike u dogradnji i inovaciji Levakovićeve
funkcije rastenja valja spomenuti Kovačića
(1993)6 i Bezaka (1990). Njihovi radovi s područja
fundamenatalnih zakona rasta, prirasta i razvoja
u biologiji i šumarskoj ekonomici tek će obilježiti šumarsku
praksu sljedećeg milenija.


5 Scgedi, N: Primjenjljivost Levakovićeve "Funkcije rastenja" uz današnje (tehničke mogućnosti), Zbornik o Antunu Levakoviću, HAZU,
Vinkovci, 1992. Autor u složenoj Levakovićevoj funkciji rastenja na elegantan način pomoću računala i osobnog pisanog programa izračunava
parametre A, b, c, d. Za četiri parametra autor postavlja četiri jednadžbe, uz uvjet određenih odnosa medu jednadžbama: y4 = y, k; y, = y2
k; y2 = Vi k. Ordinate y, i y4 su poznate, s pripadajućim apscisama x, i x4, kao početkom i krajem krivulje rasta, odnosno vremena početka i
završetka mjeranja. Koeficijent k = y4/y,. Po izračunatim parametrima autor daje grafički prikaz funcije rasta. Zaključuje daje oblik krivulje
S - oblika, bilo da krivulja počinje u ishodištu ili je pomaknuta udesno po xosi. Koristeći se literaturom u drugim prirodnim i društvenim
znanostima autor navodi: "Zakonu rasta u obliku S - krivulje nisu podložne samo vrste šumskog drveća i sastojinc. On vrijedi i za ostali živi
svijet, pa i za čovjeka.. .Sličan je zakon rasta magnetske gustine (fluksa) u elektromagnetu s jezgrom od mekog željeza... Neke od karakteristika
elektronskih cijevi i poluvodiča (kristalne diode, tranzistor) također imaju oblik slova S."
" Kovačić, Đ.: Zakon rasta i numeričko bonitiranje šuma, Glasnik za šumske pokuse 29, str. 77 - 132, Zagreb, 1993. Na temelju
Levakovićeve funkcije i krivulje rasta autor predlaže numeričko bonitiranje šumskih sastojina. Kao čimbenike koji karakteriziraju stojbinu
navode se edafske, klimatske, orografske i biološke. Premda razmatra rast i prirast modclnog srednjeg sastojinskog stabla i vrste drveća na
pojedinom bonitetu prirasno-prihodnih tablica različitih autora ističe se sljedeće: "S ekonomskoga gledišta nas ne interesiraju sve naprijed
opisane varijacije rasta pojedinog stabla u određenim vremenskim razdobljima. Predmet našeg interesa je prosječan rast cijelih sastojina
prema godišnjim prosjecima za intervale mnogo duže od jedne godine.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 31     <-- 31 -->        PDF

Zelić, J.: PRILOG RASPRAVI 0 TEORIJI RAS´I´A, PRIRASTA I ODRZIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 X, CXXIV (2000), 5 15-53 I


da umjesto jedne postoje dvije ravnotežne vrijednosti
IM,* i N2*, koje su čudnovato stabilne. Događa se da čim
populacija postigne u određenoj godini ravnotežno stanje
N,*, u sljedećoj godini će biti stanje N2*. Populacija
jednako titra (oscilira) između dvije stabilne vrijednosti.
Grafička funkcija je sinusoida s periodom T (između
dvije stabilne ravnotežne vrijednosti).


Aplicirajući naprijed iznesene vrijednosti linearne
funkcije na eksponencijalnu funkciju rasta ljudske populacije,
trošenje zaliha prirodnih resursa i energije u cilju
povećanja životnog standarda (kvaliteta života) mogu se
slikovito pokazati momenti ili točke stabilnosti i stanja
ravnoteže kao i momenti prijelaza u kaotično, nestabilno
stanje. Predočena slika 8 pokazuje funkcionalnu vezu između
koeficijenta unutarnjeg rasta (r) na apscisnoj osi i
stupnja vrijednosti, boniteta na osi ordinate, u relativnom
odnosu između 0 i 1 (1 i 100). Moglo bi se reći daje
ocjena boniteta u korelaciji s koeficijentom unutarnjeg
rasta (u ovom slučaju pretpostavljene populacije u zavisnosti
od kapaciteta i kakvoće životnog okoliša.


Na prikazanoj slici razlikuju se ravnotežne (stabilne)
vrijednosti za 0 < r < 3. Na tom intervalu postoji jedna
ravnotežna vrijednost. Kod r = 2.95 trend funkcije počinje
se cijepati u dvije ravnotežne vrijednosti. Za naše
razmatranje zanimljiva je vrijednost na osi ordinate (boniteta
života) u odnosu na vrijednost r = 2.781.. .(e). Važnost
tih veličina komentirat ćemo u dijelu rasprave o numeričkom
bonitiranju istraživanog obilježja.


Za vrijednosti r > 3.5 na slici 8 zorno se pokazuje nastanak
mnoštva stabilnih ravnotežnih točaka s dugim
periodama vremena za uravnoteženje. Slika oscilacija
između ravnotežnih stanja pokazuje kaotično gibanje.


Daljim povećanjem koeficijenta unutarnjeg rasta
(r), ponovno se uspostavlja red, a onda opet kaos još zamršenijeg
tipa, sve do vrijednosti r = 4.


Za koeficijent unutarnjeg rasta r = 1, razvoj promatranog
obilježja, odnosno populacije ima negativan
trend (pad), što pokazuje slika 3. O posljedicama takvog
događanja, kao moguću primjenu koeficijenta unutarnjeg
rasta (r) komentirat ćemo u drugom dijelu rasprave.


Zanimljivo je da se u procesu uspostavljnja ravnoteže
vodi borba dviju suprotnih tendencija, tendencije da
populacija ostane nepromjenjena (zatvoren sustav sa
samoregulacijom) i tendencija promjena kao evolucija
vrste i populacije uvjetovana višim, eksternim zakonitostima
izvan individue i vrste. Kad se ravnoteža poremeti,
uspostavlja se opet red na novoj razini (vidi slika
8). U konačnosti problem genetičke ravnoteže svodi se
na regulacijske procese, samoregulaciju, povratne sprege
i zakonitosti kibernetike. Promjena populacije moguća
je samo poremećajem genetičke ravnoteže prirodnim
ili umjetno izazvanim mutacijama, prirodnom ili
umjetnom selekcijom te "slučajnim" vanjskim i unutarnjim
čimbenicima.


koeficijent unutarnjeg rasta ( r )
Slika 8.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 30     <-- 30 -->        PDF

Zelić, J.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I OOR/1VOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 8, CXXIV (2000), 515-531




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 29     <-- 29 -->        PDF

Zelić, .1.: PRILOG RASPRAVI O TKORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRŽIVOG RAZVOJA Šumarski List br. 7 8, CXXIV (2000). 515-531


datnu stopu smrtnosti zbog nedostatka hrane i prirodnih
neprijatelja. Funkcija treba predstaviti razine povećanja
populacije brznom dok ne dostigne razinu ravnoteže.


Najjednostavnija jednadžba za izražavanje ovisnosti
funkcije o navedenim varijablama je modifikacija
gore navedene maltuzijanske funkcije u linearni oblik:


Ysi,cdcc,= ry(l-y)


U matematičkoj teoriji kaosa parametar r je tzv. koeficijent
unutarnjeg rasta populacije, a y je veličina, odnosno
gustoća populacije. Izraz u zagradi (1 - y), zadržava
rast unutar granica, jer dok y raste ( 1 - y ) pada ´.


Vezano za teoriju kaosa važni su i tzv. feedback procesi
karakteristični za samooorganizaciju promatranog
sustava pojave. Ovi procesi osobito su naglašeni u nelinearnim
sustavima (eksponencijalnim funkcijama promjena).
Za linearne sustave u kojima se primjenom matematičkih
metoda postiže veliki učinak promjena kao
zbroj malih promjena, koristi se poseban račun primjeren
nelinearnim procesima, poznat kao iteracija (ponavljanje),
u kojem matematička funkcija ponavlja izračunavanje
same sebe 4. Paralelno s iteracijama javljaju
se tzv. feedback procesi (procesi povratne sprege koji
obavljaju samokorekciju procesa u ravnotežno stanje).
Kako se obavlja proces samoregolacije (povratnom
petljom) pokazuje sljedeći račun, u kojem se za r uzima
veličina 3, a nezavisna varijabla kreće se između Oil ,
(0

0.0^0(1 -0) = 0


0.2-> 0.6(1 -0.2) = 0.48


0.4->1..2(l 0.4) = 0.72


0.5 ^ 1.5(1 0.5) = 0.75
0.6-» 1.8(1 0.6) = 0.72
0.8^2.4(1 0.8) = 0.48
1.0^-3(1-1) =0
Ako se nizovi "preslikavanja" prikažu grafički (na
skici), vidljivo je na dvocrtnom segmentu da se brojevi
između 0 i 0.5 preslikavaju na brojeve između 0 i 0.75.
Tako 0.2 postaje 0.48, a 0.4 postaje 0.72. Brojevi 0.5 i 1
preslikani su na isti segment ali u suprotnom smjeru.


H-H-H-H-)


H-H-H-H-l-H -> 0.0 0.4 0.7}7.5


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.4 0.7
Analogno postupku iteracije i feedback procesa može
se promatrati razvoj populacije po drugim putem izvedenoj
linearnoj jednadžbi koja glasi: Nn + , = r N0
( 1 - N0 / k ). U formuli N predstavlja broj jedinki u n + 1
godini u odnosu na početno stanje jedinki N0. Ako je početno
stanje N0 = 1 (2), a k = 100 može se za različite vrijednosti
veličine r ( koeficijent unutarnjeg rasta populacije)
pratiti razvoj populacije ). Prateći razvoj populacije
za tri razlčite veličine r (r = 2, r = 2,781...,
r = 3,3) i grafičkim prikazom veličina (slike 5, 6, 7) može
se spoznati čudno bogatstvo prirodnih fenomena povezanih
s determinističkim kaosom, procesima samokontrole
i samoregulacije (feedback procesi), stanjima reda i
nereda, kauzalnih odnosa i relacija ideterminizma.


Promatrajući veličinu r (koeficijent unutarnjeg rasta)
kao izuzetnu matematičku veličinu, primjerenu
brojnosti populacije, može se zakljčiti da se r kreće između
veličine 2 i 4 (2 < r < 4). Bez obzira na to kolika je
početna populacija N,„ a pod uvjetom daje (0 < N„ < k),
populacija će se uravnotežiti oko istog broja N*. Promatrajući
razvoj populacije za veličinu r = 2, može se
zaključiti (vidi slika 5) da je populacija N* stabilna i
uravnotežena. Za veličinu r = 2,781.. .(e), populacija ne
teži više jednoliko prema ravnotežnoj vrijednosti nego
putem oscilacija između dviju vrijednosti, tek nakon
protoka određenog vremena se stabilizira oko jedne
vrijednosti (vidi slika 6). Za r = 3,3 (slika 7) vidljivo je


3 Kako se oblik eksponencijane funkcije prevodi u linearni, pokazat će primjer rasta i veličine populacije insekta (napr. gubara).Komentira
se članak objavljen u časopisu "Priroda", br. 74, studeni, 1984, Legović Tarzan: Kako se rađa kaos u ekologiji ?
Ako se po jednom kukcu ( N0) odloži (b)jajašaca iz kojih se izleže(a)novihjcdinki, tada će broj jedinki po jednom kukcu prošle godine biti
(N|), odnosno N,= a N0, nakon druge godine N2 = aN, ili N2 = a: N„, nakon n - te godine, N„ = a" N„. Ako je srednji broj izleglih jedinki po
jednom organizmu prošle godine (koeficijent rasta) manji od jedan, a < 1, populacija će se eksponencijalno smanjivati, ako je a = 1, populacija
se neće u vremenu mijenjati, ako je a > 1, populacija će rasti eksponencijalno po Maltusovom zakonu.
Odstupanje od eksponencijlnog rasta po Maltusovom zakonu uslijedit će u momentu nastanka ograničenja hrane i porasta ugroze od drugih
okolišnih čimbenika. Otada će se broj jedinki u odnosu na prošlu godinu smanjivati, dolazi do redukcije populacije. Pod pretpostavkom da
se koeficijent (a) smanjuje srazmjerno broju jedinki prošle godine, a = ( 1 -N0 / k ), veličina k je koeficijent ukupnih okolišnih čimbenika koji
utječu na redukciju populacije, i daje slučaj kada je N = k, tada je a = r (koeficijent unutarnjeg rasta populacije).
Ako se modificira eksponencijalna funkcija za prvu godinu reprodukcije populacije N,= a1 N0u linearnu funkciju u kojoj je a1 -r( 1 - N„/k ),
tada će funkcija n + 1 godini imati oblik:
Nn+1=rN„( 1 -N„/k)
J Ako se kao primjer uzme funkcija F (y) = 3 y, iteracija se sastoji u tome da se ponavlja množenje po koracima "preslikavanja" y ^ 3y; 3y —»
9y; 9y —> 27y itd. Općenito se može reći da se fukcija koja se sastoji od množenja (y) s konstantnim brojem (k) piše: y —» ky. Vrlo jednostavna
iteracija koja se često nalazi u nelinearnim sustavima, a stvara bogatstvo složenosti funkcija je upravo navedena funkcija u kojoj se
konstanta ( k) označava s (r) : Y —> r y ( 1 - y ). To je upravo jednadžba koju koriste ekolozi za izračunavanje rasta populacije, a naziva se i
"jednadžba rasta". Važno je napomenuti da u jednadžbi nezavsna varijabla (y) ima vrijednosti između 0 i 1, ( 0 < y < 1 ) . Ako se u
matematičku funkciju uvrštava za (r) vrijednost između 2 i 4, ( 2 < r < 4 ), dobiva se sve bogatstvo i složenost funkcije. Složenost se posebno
pokazuje u području gdje (r) poprima vrijednosti blizu broja 4. U kaotičnom neredu se ponovno javljaju područja reda, što je vjerojatno u
vezi s pojavom samoorganizacije sustava putem feedbacka.




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 28     <-- 28 -->        PDF

Zelić, J.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRZIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7-8, CXXIV (2000), 515-531


oblik S krivulje. Takav oblik matematičke funkcije je
univerzalan i odnosi se npr. na procese kristalizacije minerala,
rasta i prirasta životinja i biljaka, debljinski i volumni
prirast stabla drveća. Slične su zakonitosti utvrđene
u društvenoj i ekonomskoj sferi čovjeka, industrijskoj
proizvodnji, monetarnoj sferi i drugdje.


U poslijednje vrijeme o zakonitostima rasta i prirasta
u prirodi raspravljaju i ekolozi. To je posebno značajno
za praćenje populacija životinja. Po maltuzijanskom
scenariju, prezentiranom gornjim matematičkim funkcijama,
funkcija eksponencijalnog rasta neprekidno se
uspinje. Taj proces vrijedio bi za nežive sustave, slijedeći
zakonitosti termodinamike, međutim u živim sustavima
proces rasta, prirasta i redukcije rasta i prirasta
slijedi druge zakonitosti.


O značenju matematičkih veličina, brojeva i relacija
te općenito matematičkih metoda pri formuliranju prirodnih
zakona vođene su tjekom povijesti rasprave ma


tematičara, fizičara, biologa i filozofa. Navodimo neke
od rasprava.2


Da bismo mogli analizirati rast i razvoj pojava u živoj
i neživoj prirodi te socijalno - ekonomskim realnostima,
nužno je razlikovati fundamentalne zakonitosti
koje dijele živi od neživog svijeta. Te fundamentalne
prirodne zakonitosti treba razlučiti na rast i razvoj jedinke
(individue), rast i razvoj vrste (populacije) i zakonitosti
koje vladaju u mikrosvijetu karakterističnom po
načelu neodređenosti. U tom smislu komentirat će se
nekoliko karakterističnih primjera vezanih za biologiju
i šumarstvo.


Da bi pratio rast i razvoj vrste, odnosno populacije
životinja (npr. insekata), biologu ili ekologu potreban je
matematički alat, jednostavna matematička funkcija,
kojom će obuhvatiti jednu varijablu, a njome stopu reprodukcije
(razmnožavanja), varijablu koja predstavlja
stopu prirodne smrtnosti, varijablu koja obuhvaća do


: Poincare Henri: La science et 1´ hypothese, Paris 1920, prijevod (Znanost i hipoteza) Globus, Zagreb, 1989., pogovor Ncnad Sesardić.
Navodimo citat: "Kakva je priroda matematičkog zaključivanja? Da lije ono zaista deduktivno kao što se obično misli? Temeljitija analiza
pokazuje da nije tako, da ono u stanovitoj mjeri dijeli prirodu induktivnog zaključivanja i daje upravo stoga plodno. Ono ništa manje ne
zadržava svoje obilježje apsolutne strogosti i upravo to treba najprije pokazati.
Poznajući sad bolje jedno od sredstava što ga matematika stavlja u ruke istraživača, moramo analizirati jedan drugi temeljni pojam, pojam
matematičke veličine. Nalazimo ga u prirodi ili smo mi ti koji ga unosimo u prirodu? (istaknuo J. Z.). A u ovom drugom slučaju ne izlažemo
li se opasnosti da sve krivotvorimo? Ako uspoređujemo sirove podatke naših osjetila i taj izuzeto složen i istančan pojam koji matematičari
nazivaju veličina, doista smo prisiljeni uvidjeti nesklad. Taj okvir u koji bismo htjeli smjestiti sve, upravo smo, dakle, mi sami stvorili. No
nismo ga stvorili slučajno, stvorili smoga, tako reći, po mjeri; baš zato možemo u nj unositi činjenice a da ne izopačimo ono što im je bitno".
Šikić Zvonimir: Kako je stvarana novovjeka matematika, Slolska knjiga-Zagreb 1989, u poglavlju: Stoje novija filozofija matematike piše:


I. Matematika je paradigmatski primjer sigurne spoznaje i time ona postaje mjesto na kojem se iskušava svaka teorija spoznaje (epistemologija).
II. Matematika je paradigmatski primjer spoznaje čija se sigurnost mora opravdati jednom sveobuhvatnom teorijom spoznaje. Tu je
sama ta sigurnost upitna.
Prvi je pristup karakterističan za filozofe koji misle o matematici. Drugi je pristup krakterističan za matematičare koji misle filozofski.
Lelas Srdan: Promišljanje znanosti, Hrvatsko filozofsko društvo, Zagreb, 1990, raspravlajući o eksperimentu piše: "Za djelatne teoretske i
eksperimentalne fizičare, ne za njihove filozofirajuće kolege, matematika je sredstvo, ponekad elegantno, ali svakako pouzdano i moćno
sredstvo. Istina je, postojalo je vrijeme kada su fizičari vjerovali daje svijet struktuiran matematički i da stoga matematički oblik teorije
izravno korespondira sa strukturom svijeta".




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 27     <-- 27 -->        PDF

Zelić. J.: PRIIJXi RASPRAVI O TEORIJI RAS I A. upKASTA I ODR/IVOG RAZVOJA Šumarski liši br. 7 X, CXXIV (2000). 5 I 5-53 1


Bez obzira što se šumom gospodari po načelu potrajnog
gospodarenja, trend smanjenja zaliha šumskih
površina sličan je kao na slici 3.


Energija se dobiva iz prirodnih neobnoljivih resursa
i obnovljivih resursa (npr. šuma). Napretkom znanosti,
tehnike i tehnologije moguće je pratiti potrebe za energijom,
moguće je regulirati tzv. održivi razvoj. Čovječanstvu
nije problem proizvodnja energije, nego posljedice
koje proizvodnja uvjetuje katastrofalnim zagađenjem
okoliša, svih oblika. U tom slučaju čovjek mora
naći optimalnu veličinu regulacije između dvaju prirodnih
zakona, sile entropije (drugi zakon termodinamike)
koji vrijedi za zatvorene sustave neživog svijeta i


fundamentalnog zakona rasta i prirasta živog svijeta
(biljke, životinje, čovjek).


Uzevši u obzir naprijed navedeno, a izrazivši matematičkim
oblikom, nužno je da hiperbola prijeđe u trend
krivulje parabole oblika: dN/dt = ßN2. Koeficijent regresije
(ß) je regulator prirasta, odnosno redukcije prirasta.
Prikaz navedenih zakonitosti vidlijv je na slici (4).
Rast se stabilizira, uravnotežuje na određenoj razini.


Promatrajući pojave i procese u prirodi i društvu u
kojima postoji rast i prirast, može se zaključiti da u vremenskom
trajanju proces slijedi S krivulju rasta. Na predočenoj
slici vidljiva je točka infleksije, kulminacija
rasta i poželjna točka održivog rasta, a krivulja poprima




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 26     <-- 26 -->        PDF

Zelić, J.: PRILOG RASPRAVI O THORIJI RASTA. PRIRASTA I ODRŽIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7 X. CXXIV (2000), 5 I 5-53 I


U našim analizama rasta, prirasta i razvoja polazimo
od općcpoznate funkcije rasta koja se primjenuje u biotehničkim,
ekonomskim i društvenim znanostima:


G„ = Gue""
G„ je vrijednost glavnice nakon n-te godine
G0 je početna vrijednost glavnice
e je Eulerov broj, 2,718281..., s vrijednošću priro


dnog logaritma 1
p je postotak prirasta glavnice
n je broj godina neprekidnog ukamaćivanja
Vrijednost broja e = 2,718281..., iskazana kao pri


rodni logaritam je broj 1. ´
Navedenu funkciju kao eksponencijalnu relaciju zanimljivo
je pratiti u rastu i razvoju populacija. Medu ostalim
populacijama, populacija svjetskog stanovništva


Znakovito je daje do sada s porastom broja stanovništva
istu zakonitost (hiperboličan oblik rasta) slijedio
porast potrošnje energije (slika 2). Matematička funkcija
za smanjenje zaliha neobnovljivih prirodnih resursa
ima oblik eksponencijalne funkcije oblika: y = e- ´",
ili y = 1 / e "´. U slučaju da umnožak eksponenata a i t
(stopa smanjenja zaliha u određenom vremenu) imaju


tijekom vremena ima karakteristike eksponencijalnog
rasta. Upravo zbog eksplozije rasta svjetskog stanovništva,
te iskorištenja obnovljivih i neobnovljivih prirodnih
resursa javlja se pojam ekonomije okoliša u kontekstu
održivog razvoja i životnog standarda ljudske populacije.


Zbog karakteristike broja e = 2, 781... kao veličine
neprekidnog ukamaćivanja, rasta određenog obilježja,
dat ćemo mu posebnu pozornost kod određivanja koeficijenta
unutarnjeg rasta u prirodnim populacijama.


Na temelju dosadašnjeg hiperboličnog rasta broja
stanovnika zemlje, moguće je da bi tim trendom ubrzo
uslijedio kaos i katastrofa (slika 1). Očito je da čovjek
kao svjesni regulator spoznatih procesa mora odabrati
drukčiju varijablu prirasta, kako bi zaustavio negativan
trend, i regulirao održivi rast.


veličinu 1, vrijednost y (zalihe neobnovljivih resursa)
imat će vrijednost 1 /e ( 1 / 2,718...) 0,3678. Grafički
prikazano navedena eksponencijalna funkcija "jaši" na
sinusoidi prigušenih oscilacija (slika 3), odnosno dodiruje
vrhove prigušenih pozitivnih amplituda u nTcijelih
perioda.


1 Eulerov broj e = ( 1 + l/m) ".m—> co , Biirgi uzima za m = IO4 i dobiva e približno točno na tri decimale. Eulerov broj koristi se u eksponencijalnoj
funkciji za neprekidno ukamaćivanje ili prirodni rast. Za prirodni rast karakteristično je da se prirast odnosno kamate pribrajaju
vrijednosti glavnice u beskonačno malenom trenutku. Primjer: Ako se dcbljinski prirast stabla promjera d pribraja prethodnom svakog m-
tog dijela godine, vrijednost promjera za godinu dana bit ćed ´ = d( 1+ 1 /m* 100 )", a za n godina d´m„=d( 1+ I /m* 100 ) "".Ako u tu formulu
stavimo p/ 100m= 1 /x ili m = px / 100, izlazi
d ´m„=d [(l+l/x)*]" p ´"" .Ako —» co , onda i x —> oo,paje D = de ´"´ "´".
Broj c može se izračunati i pomoćubinomnogpoučka: lim (1+ 1 /n ) "= 1 + 1 + 1 /2 ! + 1 /3 ! +... + 1 /p+..., n —> oo,i daje p+ 1 > n >
Prirodni logaritam In x = X dx / x, za 1 do x. Prirodni logaritam od e je 1, a gledano geometrijski granični prijelaz na prirodne logaritme je prijelaz
na površinu ispod hiperbole
y = 1 / x A x . Prirodni logaritmi dobiju se iz dekadskih tako da se dekadski logaritmi pomnože brojem
1 / loge = 2, 302 585..., obrnuto se dekadski logaritmi dobivaju se iz prirodnih, ako se oni pomnože brojem 1 /ln 10 = 0, 434 294...




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 25     <-- 25 -->        PDF

PREGLEDNI ČLANCI - REVIEWS Šumarski list br. 7 -X, CXXIV (2000), 5 1 5-53 1
UDK 630* 569 l 611


PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRZIVOG RAZVOJA


A CONTRIBUTION TO THE DISCUSSION ABOUT THE GROWTH,
INCREMENT AND SUSTAINABLE DEVELOPMENT THEORY


Juraj ZELIĆ*


SAŽETAK: Analiziraju se neka dosadašnja istraživanja teoretskog i primijenjenog
karaktera na području rasta i prirasta šumskih vrsta drveća i šumskih
sastojina.


Posebna pozornost poklanja se Levakovićevoj funkciji rastenja, istraživanja
i računanja parametara funkcije koja daje temeljni odnos istraživanog
obilježja (visina, promjer, volumen) u protjecanju vremena. Razmatra se fundamentalna
zakonitost rasta i rastenja kao integralni rezultat sila rasta i otpora
rasta, uz oscilacije tijekom vremena. UBezakovojfunkciji rasta drveća, po
zakonitost prigušenih oscilacija i dualnog svojstva tvari, analiziraju se temeljne
fizikalne i kemijske veličine koje su vezane za gibanja.


U dijelu fiziologije rastenja šumskog drveća povezuju se relacije iz kvantne
fizike, fizikalne kemije, bioenergetike, biološke i genetske osnove rastenja.


Analizom relacija između otvorenih i zatvorenih, živih i neživih sustava,
ukazuje se na odlučujući utjecaj razmjene energije između sustava i okoline.
Za iskazivanje funkcionalne ovisnosti odabrane su primjerene matematičke
metode. Osobito je razmatrana eksponencijalna funkcija rasta, neprekidno
ukamaćivanje, Eulerov broj (e) kao baza prirodnog logaritma.


Traženjem načina numeričkog bonitiranja okoliša i sastojina pomoću
kvantiteta prirasta i rasta u određenom vremenu, odabran je koeficijent unutarnjeg
rasta kao numerički indikator boniteta ispitivanog obilježja. Koeficijent
unutarnjeg rasta testira se usporedbom s dosadašnjim veličinama numeričkog
bonitiranja sastojina i sastojinske strukture.


Primjenjujući istraživane zakonitosti rasta i prirasta na živim sustavima,
jedinkama i populacijama, daje se numerička veličina kvalitete, boniteta, u za


visnosti od veličine koeficijenta unutarnjeg rasta. Tim numeričkim veličinama


diskutira se o primjenjivom rasponu veličine koeficijenta unutarnjeg rasta.


Ključne riječi: rast, prirast, održivi razvoj, keficijent unutarnjeg rasta,
otvoreni sustav, razmjena tvari i energije, numeričko bonitiranje.


UVODNE NAPOMENE - Introduction


Za uspješno gospodarnje šumskim resursima odlulisnih
uvjeta, posebno značenje imaju rast-i prirast šumčujuće
je optimalno iskorištavanje proizvodne sposobskih
vrsta i sastojina. Za proizvodnost je vezan pojam
nosti biljnih zajednica, šumskih vrsta drveća vezanih boniteta stojbine i vrijednosnog prirasta određene šumza
određeno stanište. U iskorištavanju optimalnih oko-ske vrste. Pored uporabne vrijednosti šuma, neprocjenjiva
je vrijednost globalnog šumskog ekosustava. Posebno
nas zanimaju granične vrijednosti rasta i prirasta


* Mr. sc. Juraj Zelić, dipl. ing. šum., "Hrvatske šume",
u datim okolnostima.


Milke Tmine 2, Požega




ŠUMARSKI LIST 9-10/2000 str. 40     <-- 40 -->        PDF

Zclic. J.: PRILOG RASPRAVI O TEORIJI RASTA, PRIRASTA I ODRŽIVOG RAZVOJA Šumarski list br. 7-8, CXXIV (2000), 5 I 5-53 1


sili rastu (S,/ S2) kreće između 4 i 1. Ostala obilježja
(promjer i volumen ) ne slijede ovu logiku. Odstupanje
tumačimo činjenicom što se za predstavnika boniteta
uzima teoretsko srednje plošno stablo, koje nije dobar
predstavnik svih sastojina istog boniteta. Analizom parametara
važno je primijetiti da parametar "a" predstavlja
granicu rasta promatranog obilježja, a parametar "b"
je regresijski koeficijet koji pada sa starošću stabla ili
sastojine. Parametri "c" i "d" su neimenovani brojevi i
korigiraju odnos a / b. Mi smo utvrdili da se numerička
veličina boniteta ispitivanog obilježja određuje približno
formulom r = [(a / b) x c] + d.


Povezujući spoznaje za rast i prirast s koeficijentom
unutarnjeg rasta, kao rezultantom sila rasta i sila otpora,
s bonitetom promatranog obilježja, priložili smo sliku
8., koja za različite koeficijente unutarnjeg rasta pokazuje
numeričku vrijednost boniteta promatranog
obilježja. Iz slike 8. može se očitati daje za r = 2,5 bonitet
(y ) = 60 ili (60/100 = 0,6), a za r = 2,781... bonitet


(y) = 64,0417.
Za r = 1, slučaj kada je sila rasta jednaka sili otpora
rasta, promatrano obilježje će s vremenom padati do
neke minimalne razine (slika 3). Kao minimum boniteta
promatranog obilježja uzet ćemo točku u kojoj se nje-


LITERATURA:


gova veličina približava recipročnom odnosu 1/ e, tj.
1/2,781...= 0, 3595, što odgovara koeficijentu unutarnjeg
rasta r = 1, 5165. Do istog rezultata dolazi se i preko
Bezakove formule prigušenih oscilacija Y = A e -kI * sin
(CD t + D), u kojoj je odnos koeficijenta elastičnosti sustava
(w) i sile otpora (k) jednako 1,5165, (co/k= 1,5165).


Za razmatranje temeljnih zakonitosti rasta i prirasta
nužno je bilo obuhvatiti neka dosadnašnja saznanja šumarskih
znanosti, fizikalne i kemijske zakone, zakone
fizikalne kemije, biokemije, bioenergetike i fiziologije
rasta te neke ekonomske zakonitosti. Kao alat koristili
smo odabrane matematičke modele. Za daljnje istraživanja
nužno je upotrijebiti najnovija saznanja iz molekularne
biologije, fiziologe i genetike, a u interpretaciji
rezultata nužno je služiti se metodama moderne matematike
(teorija sustava i procesa, kibernetska logika,
teorija informacija, matematika kompleksnih brojeva,
teorija trajektorija i oscilacija, atraktora, fraktalna geometrija,
teorija kaosa, teorija binarnih mreža ...). Iduće
stoljeće će tražiti točke ograničenja u rastu i razvoju
zbog iscrpivosti prirodnih dobara, porasta svjetskog
stanovništva i globalnih klimatskih promjena.


Adekvatno odgovoriti na izazove može se samo ako
se odaberu adekvatna sredstva i metode.


- References:
Apscn , B. 1964, 1966: Repetitorij više matematike,
Tehnička knjiga, Zagreb
Ayer, A.J. 1990: Filozofija u dvadesetom vijeku, Svijetlost,
Sarajevo.
Barker , S. F. 1973: Filozofija matematike, Nolit,
Beograd.


B e z a k, K. 1992: Prigušene oscilacije fenomena rasta i
prirasta praćene Levakovićevi analitičkim izrazima,
Zbornik o Antunu Levakoviću, Vinkovci.


Böhm , D. 1972: Uzročnost i slučajnost u savremenoj
fizici, Nolit, Beograd.


Denffer, D. i Ziegler, H. 1991: Udžbenik botanike
za visoke škole, Morfologija i fiziologija, Školska
knjiga, Zagreb.


Dubravec,KD. i Regula, I. 1995: Fizilogijabilja,
Školska knjiga Zagreb.
Fey nm an, R. 1991: Osobitosti fizikalnih zakona,
Školska knjiga, Zagreb.


Figurić , M. 1996: Rasprava o koncepciji održivog
razvoja i njenom utjecaju na utvrđivanjae vrijednosti
šumskih resursa, Šumarski list 1 - 2, str. 9-18.


Francois , J. 1978: Logika živog, Nolit, Beograd.
Capra , F. 1998: Mreža života, Novo znanstveno razumjevanje
živih sustava, Liberta, Zagreb.


C indro, N. i Col ić P. 1990: Fizika, Titranje, kvanti,
struktura tvari, atomska jezgra, Školska knjiga,
Zagreb.


G1 e i c k, J. 1996: Kaos, Stvaranje nove znanosti, Izvori,
Zagreb.
Grul, H. 1985: Jedna planeta je opljačkana (Zastrašujući
bilans jedne politike), Prosveta, Beograd.


He rak, J.1986: Struktura tvari, (Fizika I), Sveučilište
u Zagrebu, Farmaceutsko-biokemijski fakultet,
Zagreb.


Herak , J. 1990: Fizika, osnove za kemijski i biokemijski
studij, Školska knjiga, Zagreb.


Herak, M. i Kušec, Lj. I Marković, M. i Petreski,
A. iŠkorić,K. iGalas,D. 1980: Osnove
fizikalne kemije, Školska knjiga, Zagreb.


Juretić , D. 1997: Bioencrgetika, rad membranskih
proteina, Informator, Zagreb.


K 1 e p a c, D. 1963 : Rast i prirast šumskih vrsta drveća i
sastojina, Nakladni zavod, Znanje, Zagreb.


Klepac,D. i Kovačić,Đ. 1993: Još jedna mogućnost
primjene jednadžbi funkcije rasta, Anali za
šumarstvo 18/2, str. 41 - 53 (1 - 13),Zagreb.


K o v a č i ć, Đ. 1993: Zakon rasta i numeričko bonitiranje
šuma, Sveučilište u Zagrebu, Šumarski fa