DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 7-8/1973 str. 35 <-- 35 --> PDF |
IZJEDNAČENJE PODATAKA METODOM NAJMANJIH KVADRATA BEZ GAUSSOVIH NORMALNIH JEDNADŽBI Mr VLADIMIR HITREC, asistent, Zagreb 1. PROBLEM Parove točaka T; (x;, y{); i = 1, 2,..., N) možemo izjednačiti standardnim metodama samo funkcijama koje pripadaju jednoj relativno uskoj familiji krivulja. Familiju možemo proširiti sa još nekim funkcijama koje možemo logaritmiranjem svesti na pogodan oblik. Poznato je da kod takvih transformacija dolazi do grešaka koje se djelomično ispravljaju Meyerovom korekturom. Elektronski računari dozvoljavaju da se familija funkcija koje se dadu izjednačiti metodom najmanjih kvadrata proširi i da izjednačenje bude po volji točno, tj. da greška izračunatih parametara bude po volji mala. 2. MATEMATIČKE OSNOVE Dano je N parova točaka T, (xi( y,) i proizvoljna funkcija y = A f (x, B) kojom želimo izjednačiti zadane točke. A i B su parametri koje treba odrediti tako da suma kvadrata odstupanja SS = S* [y, -C -A f (Xi, B)]t bude minimum. C je proizvoljna ali fiksna konstanta. Za funkciju f (x, B) se pretpostavlja da je definirana na svim točkama između najmanje i najveće vrijednosti od X; (i = 1,2 ... N). Kvadrirajmo izraz za SS: SS = S(y; — C)ä — 2 A S(y; —C) . f (x,, B) + h? S [f(xi( B)p (1) Za konstantni B izraz za SS je parabola sa nezavisnom varijablom A. Minimum veličine SS će se nalaziti iznad krivulje koja je projekcija tjemena tih parabola u ravnini (AOB). * S upotrebljavamo umjesto velikog grčkog slova sigma, a označuje sumu. |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/1973 str. 36 <-- 36 --> PDF |
Parametri A i B dakle moraju zadovoljavati uvjet S (y; — C) . f (Xi, B) A = (2) S[f(Xi, B)]2 Stavimo li izraz (2) za A u relaciju (1) dobivamo poslije sređivanja [S(y;-C) . f(Xi, B)]2 SS = S(y;-C)2 S[f(Xi, B)]2 Vidimo da će suma kvadrata odstupanja imati minimum za onu vrijednost od B za koju izraz [S(yi —C) f(Xi, B)]2 Z (B) = (3) S[f(xi; B)]t ima maksimum. 3. PROGRAM Da bi se za zadanu funkciju f (Xj, B) izračunao B za koji veličina Z (B) ima maksimum, odnosno parametri A i B za koji je suma kvadrata odstupanja najmanja sastavili smo program za elektronski računar. Pretpostavka računa je da funkcija Z (B) ima samo jedan maksimum. Pretpostavka je vrlo vjerojatno zadovoljena za široku klasu funkcija. Teoretski bi tu klasu bilo teško odrediti no za praksu to nije od bitnog značenja. Stroju se zadaje slijedeće: — funkcija f (x, B) — parovi točaka T; (xj, y0 — parametar C — BP — početna vrijednost parametra B. Početna vrijednost parametra B može općenito biti bilo koji broj, no zbog kratkoće računa poželjno je da bude približno jednaka traženoj vrijednosti od B. — DB — Početni interval za promjenu veličine B. — EB — relativna greška koju želimo tolerirati u izračunavanju parametra B. — veličine P, Q, R koje služe za tabeliranje izjednačene funkcije. P je početna vrijednost varijable x od koje želimo tabelirati funkciju. Q je konačna vrijednost varijable x do koje želimo tabelirati funkciju. R je korak (interval) za tabeliranje. Izlaz iz stroja: — A i B — izračunati parametri — SS — minimalna suma kvadrata odstupanja — Tabelirana funkcija y = C + Af (x, B) Osnovni princip rada stroja je slijedeći: |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/1973 str. 37 <-- 37 --> PDF |
Počevši od početne zadane vrijednosti parametra B stroj računa veličinu Z (B) za vrijednosti B + DB, odnosno za vrijednosti B + DB/2n (n = 1, 2,. ..), gdje se B stalno mijenja sve dok promjena B koja bi povećala vrijednost izraza Z (B) ne postane manja od EB. Sa posljednjom vrijednost B stroj prema (2) izračuna A i prema (1) SS. Program je sastavljen u FORTRAN-u i testiran. 4. PRIMJER Navedenom metodom smo izjednačili podatke za visinsku krivulju. Od mr. Ane Pranjić dobili smo na raspolaganje materijal koji je ona prikupila i izjednačila logaritamski funkcijom B H = 1.3 + Ae D Izjednačene su dominantne visine 90-godišnje sastojine hrasta lužnjaka u Lipovljanima. U tabeli 1 navedeni su parametri koje je dobila Ana Pranjić (1) u usporedbi sa parametrima dobivenim ovdje izloženom metodom. Tabela 1 parametri izjednačenjelogaritmiranjem izjednačenje metodom opisanom u ovom radu ABSS 33.067 8.375 38.3577 33.308 8.607 37.9057 Komparacija parametara Uočimo da je SS — suma kvadrata odstupanja — dobivena izjednačenjem novom metodom manja od odgovarajuće sume kvadrata odstupanja dobivene logaritamskim izjednačenjem. Primijetimo, također, da to nije slučajno, jer nova metoda minimizira SS zavisne varijable, dok logaritamska metoda minimizira SS logaritama zavisne varijable, što nije isto. Metoda opisana u ovom radu daje uvijek najbolja rješenja u smislu metode najmanjih kvadrata. U Tabeli 2 dane su komparativno visine izjednačene logaritamskom metodom (Hj) i visine izjednačene novom metodom (H). U koloni (4) Tabele 2 navedene su razlike d = H—Hj. Odmah uočavamo da krivulja dobivena logaritamskim izjednačenjem nije cijela ispod optimalne krivulje. Nadalje vidimo da su razlike između krivulja veće na njihovim krajevima. |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/1973 str. 38 <-- 38 --> PDF |
Smatramo da će razlike biti znatnije kod izjednačenja tankih stabala kao i kod izjednačenja prebornih sastojina gdje su razlike između najtanjeg i najdebljeg stabla velike. Daljnja istraživanja trebala bi te razlike ispitati. Tabela 2 (1) (2) (3) (4) D Hi H d 26 25.26 25.22 —0.04 28 25.82 25.79 —0.03 30 26.31 26.30 —0.01 32 26.75 26.75 0.00 34 27.15 27.16 0.01 36 27.50 27.52 0.02 38 27.83 27.86 0.03 40 28.12 28.16 0.04 42 28.39 28.44 0.05 44 28.64 28.69 0.05 46 28.86 28.92 0.06 48 29.07 29.14 0.07 50 29.27 29.34 0.07 52 29.45 29.53 0.08 54 29.62 29.70 0.08 56 29.77 29.86 0.09 58 29.92 30.01 0.09 60 30.06 30.16 0.10 62 30.19 30.29 0.10 Usporedba izjednačenih visina 5. POOPĆENJE Do sada smo u funkciji y = C + Af (x, B) parametar C držali fiksnim. Problem se može poopćiti tako da se i parametar C varira. Postupak je analogan svemu što je ovdje već izneseno . Također smo sastavili i testirali program za računar koji računa parametre A, B, C tako da suma kvadrata odstupanja SS = S [Vi — C — Af (xi( B)]2 bude minimalan. |
| ŠUMARSKI LIST 7-8/1973 str. 39 <-- 39 --> PDF |
6. DODATAK Navest ćemo neke funkcije koje se upotrebljavaju u šumarstvu (2), a koje je pogodno izjednačiti ovdje navedenom metodom: Y = AxB y = AeBx Ax Ax2 y = y = C + Bx (C + Bx)2 LITERATURA 1. Pranji ć A.: Sastojinske visinske krivulje hrasta lužnjaka, Šumarski list br. 7—8, Zagreb 1970. 2. Proda n M.: Forest Biometrics, Oxford 1968. Summary DATA SMOOTHING BY THE METHOD OF LEAST SQUARES WITHOUT NORMAL GAUSSIAN EQUATIONS Functions of the A . f (x, B) form may serve for smoothing data by the method of least squares irrespective of the form of the function f (x, B). A and B are parameters that may be computed with any desired degree of accuracy using an electronic computer. Presented is an example in which the results obtained through logarithmic smoothing by means of the function B D H = 1,3 + e were compared with the results obtained by the method described in this paper. |