DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 32 <-- 32 --> PDF |
FUNKCIONALNI PAPIR ZA VOLUMNI PRIRAST (Special logarithmic paper for the volume increment / d. b. h. relationship) Dr. ing. Borivoj Emrović 1. Grafikon zavisnosti jednogodišnjega volumnog prirasta (jednog stabla) i prsnog promjera ima oblik blago zakrivljene S-linije (vidi: Kle p a c [1]). Ta je S-linija tako blage zakrivljenosti, da se u svom srednjem dijelu — a taj je dio uglavnom interesantan za praksu — može dosta dobro aproksimirati pravcem, kako je to predložio Klepac. Ipak se može reći, da je pravac tek prva aproksimacija te linije, i da bi se bolja aproksimacija mogla postići kakvom S-krivuljom. Za materijal, koji je istraživao K 1 e- p a c [1] u jelovim šumama Gorskog Kotara, mogla bi se upotrebiti jedna od Levakovićevih (vidi: Levakovi ć [2]) formula rastenja, kao na pr.: (b + xj (1) gdje bi bilo y = zT = jednogodišnji volumni prirast jednog stabla u kubnim me trima (m3) x = d = prsni promjer u centimetrima (cm) a, b, c = parametri jednadžbe (konstante) Na 8 pokusnih ploha, na kojima je K 1 e p a c [1] odredio volumne priraste, veličina parametra b, izračunata iz grafički izjednačene krivulje metodom odabranih točaka (vidi Levakovi ć [3], iznosi 1. Ruhač b = 52 5. Stari Zaturni . . . b = 27 2. Lisičine . . . . b = 25 6. Belevine ... . b = 13 3. Kupjački vrh . . . b = 58 7. Jasle II . . . . . b = 5 4. Crna Sušica . . . b = 28 8. Javorov Kal . . . b = 26 Prve četiri pokusne plohe nalaze se na vapnenaekoj podlozi, a druge četiri na silikatnoj, pa bi se prema tim podacima moglo reći, da je na vapnencu (preborni tip šume) veličina parametra b cea 2 do 3 puta veća, nego na silikatu. Odabrat ćemo međutim samo jedan b iznos za svih osam ploha i to b = 20 (geometrijska sredina svih osam b iznosa je 23, koja je još zaokružena na 20). Ako se taj b -iznos uvrsti u formulu (1), dobivamo jednadžbu a(2) [ 20+ x) koja se može anamorfozirati. Logaritmiranjem jednadžbe (2) izlazi: log y = log a + c log (^QT,?—) (3) 398 |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 33 <-- 33 --> PDF |
Pišemo li umjesto log y -i), log a = A, log ( 20 + jt ) = š izlazi IJ»A + C5, (4) a to je jednadžba pravca u koordinatnom sistemu, Š, i]. Prema tome može se konstruirati funkcionalni papir, na kojem će zavisnost godišnjega volumnog prirasta i prsnog promjera (za jelu u Gorskog Kotaru) biti približno pravac. Na slijedećoj strani prikazan je takav papir, koji je umanjen kod kliširanja. Originalna veličina tog papira iznosi 21 x 29 cm, a jednadžba skala \´— — 85 cm log r-QXh \ , v = 9 cm log y 2. Kod problema, gdje se na temelju mjerenih podataka mora konstruirati linija izjednačenja, potrebno je, da bude dovoljno podataka, t. j . dovoljan broj točaka, da bi se krivulja mogla ucrtati. Potreban je toliki broj točaka, da se pouzdano može odrediti i oblik i položaj linije izjednačenja. Ako je oblik linije zadan, onda je potrebno odrediti samo položaj, a za to je već dovoljan i manji broj podataka. Ako je pak ta linija pravac, onda je posao još sigurniji, a osim toga se u slučaju, kad je linija izjednačenja pravac, može primijeniti i jednostavna — te prema tome i jeftina — metoda računskog izjednačenja. Najjeftinija metoda izjednačenja je grafičko (okularno) uklapanje linije izjednačenja u nanesene podatke (točke) na koordinatnom sistemu (na milimetar papiru). Za takav način izjednačenja potrebno je relativno dosta podataka, a osim toga rezultat je opterećen subjektivnom griješkom, t. j . ako jedna osoba izvrši izjednačenje (ucrta liniju izjednačenja), onda će se ta linija razlikovati od linije, koju će dobiti druga osoba. Da Be umanji taj subjektivni utjecaj, a poveća sigurnost, treba i više podataka, pa ako je način sakupljanja podataka jeftini (na pr. mjerenje visina za konstrukciju sastojinske visinske krivulje), onda taj grafički način — u praksi — zadovoljava. Najtočniji način izjednačenja je onaj, kod kojega se primjenjuje metoda najmanjih kvadrata, no taj je način uz današnju opremu (ručne računske mašine) veoma skup, te za praksu ne dolazi u obzir. Srednji put bio bi primjena t. zv. metode sredina. To je metoda, kod koje ima relativno malo računskog posla, a nema subjektivnog utjecaja, te je radi toga dovoljan i manji broj podataka. No, da bi se ta metoda mogla upotrebiti, mora biti poznat analitički oblik linije izjednačenja, i on mora biti takav, da se linija može anamorfozirati, t. j . da se može dovesti na oblik pravca. Metoda sredina zahtijeva nešto više posla, nego obično grafičko izjednačenje. Prema tome, ako je problem takav, da se može prikazati pomoću pravca na nekom od već uobičajenih funkcionalnih papira (logaritamski papir, polulogaritamski papir) ili na specijalno konstruiranom funkcionalnom papiru, koji za dotični specijalni slučaj treba posebno konstruirati, i ako je ušteda, koja nastaje uslijed manjeg broja potrebnih podataka veća, no što je povećanje troškova obrade podataka (troškovi izjednačenja po metodi sredina veći su od troškova izjednačenja običnim grafičkim putem), onda je korisno primijeniti metodu sredina. Određivanje |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 34 <-- 34 --> PDF |
volumnog prirasta pomoću izvrtaka takav je problem, kod kojega se isplati povećanje troškova obrade uz smanjenje potrebnog broja izvrtaka, jer je vađenje izvrtaka relativno skup posao [velikim dijelom radi visoke cijene Presslerovih svrdala). 3. Kod upotrebe papira bio bi način rada slijedeći: Izvrći — izrađeni Presslerovim svrdlom — sortiraju se po debljinskim stepenima (širina stepena 2 cm ili 5 cm). Za svaki debljinski stepen izračuna se prosječna širina zadnjih 5 godova, a iz toga prosječni godišnji debljinski prirast (koji još treba korigirati obzirom na prirast kore — ako se želi dobiti točniji rezultat). Množenjem debljinskog prirasta s derivacijom tarifne linije* izračunava se volumni prirast (prosječni jednogodišnji volumni prirast jednog stabla u dotičnom debljinskom stepenu). Volumne priraste treba nanijeti na funkcionalni papir kao ordinate pripadnih prsnih promjera (sredinama debljinskih stepena); u tako nastali sistem točaka treba uklopiti liniju izjednačenja. No, kako se ovdje radi o pravcu — jer je funkcionalni papir tako konstruiran, da linija izjednačenja bude pravac — to se pravac može uklopiti računskim putem pomoću t. zv. metode sredina. Metoda sredine sastoji se u tome, da se podaci razdijele — s obzirom na nezavisnu varijablu x — u dvije po prilici jednake grupe. Podaci se poredaju s obzirom na nezavisnu varijablu tako, da na prvom mjestu bude podatak s najmanjim x iznosom, pa se nastavi po redu, kako raste x, te se pronađe ona x vrijednost, ispod koje ima po prilici polovina svih podataka. Ako su podaci grupirani u klase, i ako se radi sa sredinama klasa, onda se mogu uzeti u obzir i brojevi komada u klasi kao težina. Od podataka svake grupe izračunaj u se koordinate težišta, t. j . aritmetička sredina apscisa i aritmetička sredina ordinata. Kod toga treba držati na umu, da se mora raditi s varijablama, koje daju pravac. U našem slučaju jednadžba glasi y = a( V (5) V 20 + x / * Kod izrade tarifa .ili kod već gotovih tarifa trebalo bi — uz drvnu masu — tabelirati i derivaciju tarifne linije. To se može učiniti na jednostavan način pomoću formule / d y\ _ yn + i — yn—i _ ldxji = x Sn + l - in-1 n Ta formula bazira na pretpostavci, da su x iznosi u tabeli ekvidistantni (t. j . xn , , — x = x — x =6 , što je gotovo uvijek slučaj, te da je kroz tri susjedne "" n n n — 1 točke s koordinatama (x y \ . (x y \ i C x , y„ .^ položena parabola n> n/ n n \ n — I, n—\) V V — *» — / s jednadžbom y = a + bx + cx2. Derivacija te parabole u točki x = xn dana je onda gornjom formulom. Kako su iznosi drvne mase u tabelama tarifa zaokruženi brojevi, biti će poželjno, da se podaci dy/dx — dobiveni pomoću gornje formule — još jedamput grafički izjednače (t. j . nanesu na milimetar papir kao ordinate pojedinim x-iznosima i izjednače glatkom krivuljom). |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 35 <-- 35 --> PDF |
no tek anamorfozirani oblik te jednadžbe log y = log a + c log (—^r—) \ 20 + x / r! = A + c l (6) ima oblik pravca, pa prema tome treba računati koordinate težišta prve grupe *--NT2 * = iJr2l0<-2öW) * - ir * =Frs^y v i koordinate težišta druge grupe (8) ^ = ^^=ir2l0K^rr)»^=N^=^-21ogy t. j . upotrebiti varijable anamorfozirane jednadžbe i = l = log^oTx" ^ 1°gy (x = prsni promjer, y = volumni prirast). Koordinate težišta tih dviju grupa nanesu se na grafikon (na funkcionalni papir) i kroz te dvije točke položi se pravac. Tako dobiveni pravac zadovoljava uvjet, da je suma odstupanja od linije izjednačenja jednaka nuli, te je time — na dosta jednostavan i jeftin način — postignut jedan od uvjeta dobrog izjednačenja. Drugi uvjet — t. j . suma kvadrata odstupanja je minimum — nije tom metodom postignut. Taj uvjet postiže se samo pomoću metode najmanjih kvadrata. No i postignuće prvog uvjeta (2A — 0) znači već, da je izjednačenje dosta dobro provedeno, jer se i taj uvjet — kod grafičkog rada — postiže tek približno*. Osim toga metoda je jednoznačna, ako su grupe dobro formirane (t. j . ako se držimo principa da medijana x-iznosa bude granica), pa je prema tome bez subjektivnih griješaka, moguća je kontrola i t. d. Uvrštavanjem koordinata težišta dviju grupa [vidi jednadžbe (7) i (8)] u jednadžbu pravca (6), dobili bismo dvije jednadžbe za dvije nepoznanice A loga i c, pa bi se te jednadžbe mogle riješiti i tako izračunati iznosi parametara A i c. No za praksu će biti jednostavnije, da se koordinate težišta nanesu na funkcionalni papir (vidi strana ) i kroz te dvije točke položi pravac, pomoću kojeg se onda mogu očitati izjednačeni volumni prirasti za srednje promjere pojedinih debljinskih stepena. Da bi se koordinate težišta mogle nanijeti, nacrtane su na funkcionalnom papiru i linearne skale i i r\. Kod računanja koordinata težišta [vidi jednadžbe (7) i (8)] za određivanje iznosa TJ — log y treba upotrebiti logaritamske tablice na 3 ili * U našem slučaju nije zapravo ni prvi uvjet potpuno zadovoljen, jer se metodom sredina dobije 2 (log y — log Y) = 0, a ne 2 (y — Y) = 0 No ako rasipanje podataka oko pravca izjednačenja nije veliko — a u našem slučaju možemo pretpostaviti, da ne će biti preveliko, jer su volumni prirasti računati pomoću aritmetičke sredine debljinskog prirasta u pojedinom debljinskom stepenu, onda ni razlika između ta dva uvjeta ne će biti velika (Vidi na pr. Emrovi ć [4]). 401 |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 36 <-- 36 --> PDF |
najviše na 4 decimale, a za određivanje i = log I ^—r—I iznosa dajemo slijedeće dvije tabele: Tabela 1 X ? = log(´20 +-x ) X 5 ~ log ( 20 + x) X t Ivwif X 11 l0g \ 20 + xl 10 12 14 16 — 0,477 — 0,426 — 0,385 — 0,352 42 44 46 — 0,169 — 0,163 — 0,157 72 74 76 — 0,106 — 0,104 — 0,101 18 20 22 — 0,325 — 0,301 — 0,281 48 50 52 — 0,151 — 0,146 — 0,141 78 80 82 — 0,099 — 0,097 — 0,095 24 26 28 — 0.263 — 0,248 — 0,234 54 56 58 — 0,137 — 0,133 — 0,129 84 86 88 — 0,093 — 0,091 — 0,089 30 32 34 — 0,222 — 0,211 — 0,201 60 62 64 — 0,125 — 0,121 — 0,118 90 92 94 — 0,087 — 0,085 — 0,084 36 38 40 — 0,192 — 0,184 — 0,176 66 68 70 — 0,115 — 0,112 — 0,109 96 98 100 — 0,082 — 0,081 — 0,079 Tabela 2 X ^ = 1°s( 2ÖT~xJ X § = Ioš ( 20 + x) 15 — 0,368 12,5 — 0,415 20 — 0,301 17,5 — 0,331 25 — 0,255 22,5 — 0,273 30 — 0.222 27,5 — 0.237 35 — 0,196 32,5 — 0.208 40 — 0,176 37,5 — 0,186 45 — 0,100 42,5 — 0,167 50 — 0,146 47,5 — 0,153 55 — 0,135 52,5 — 0,140 60 — 0,125 57,5 — 0,130 65 — 0,116 62,5 — 0,121 70 — 0,109 67,5 — 0,113 75 — 0,103 72,5 — 0,106 80 — 0,097 77,5 — 0,100 85 — 0,092 82,5 — 0,094 90 — 0,087 87,5 — 0,089 95 — 0,083 92,5 — 0,085 100 — 0,079 97,5 — 0,081 |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 37 <-- 37 --> PDF |
4. Primjer . U prva dva stupca tabele 3 prepisani su podaci za pokusnu plohu Jasl e II (vidi Kl ep a c [1]. tabela 5 str. 10) i to izmjereni i još neizjednačeni podaci za godišnji volumni prirast. Kako u spomenutom članku nije naveden broj izvrtaka u pojedinom debljinskom stepenu, pretpostavljeno je, da je taj broj podjednak u svim debljinskim stepenima. Grupe su formirane tako, da su u prvu grupu uzeti podaci debljinskih stepena 20 do 55, a u drugu 60 do 95. Tabela 3 X X z„ V log ,— 20 + x log z„ V 2; 1 z ;_ 1 KV 20 25 30 35 40 45 50 55 0,0116 0,0209 0,0315 0,0400 0,0489 0,0593 0,0688 0,0775 — 0,301 — 0,255 — 0,222 — 0,196 — 0,176 — 0,160 — 0,146 — 0135 — 1,935 — 1,680 — 1,502 — 1,398 — 1,311 — 1,227 — 1,162 — 1,111 0,0135 0,0218 0,0306 0,0400 0,0486 0,0575 0,0670 0,0750 + 0,0019 + 0,0009 — 0,0009 0,0000 — 0,0003 — 0,0018 — 0,0018 — 0,0025 2 — 1,591 — 11,326 — 0,0045 60 65 70 75 80 85 90 95 0,0868 0,0935 0,0988 0,1056 0,1100 0,1143 0,1171 0,1167 — 0,125 — 0,116 — 0,109 — 0,103 — 0,097 — 0,092 — 0,087 — 0,083 — 1,061 — 1,029 — 1,005 — 0,976 — 0,959 — 0,942 — 0,931 — 0,933 0,082 0,090 0,097 0,103 0,110 0,115 0,120 0,126 — 0,005 — 0,004 — 0,002 — 0,003 — 0,000 + 0,001 + 0,003 + 0,009 2 — 0,812 — 7,836 — 0,001 U trećem stupcu tabele 3 upisani su log f Miznosi (izvađeni iz tabele 2), 20 + x . V 20 + x J a u četvrtom stupcu logaritmi volumnog prirasta s mantisama od 3 decimale (logaritmirati se može na tri decimale točno i pomoću logaritamskog računala). Iznosi u trećem i četvrtom stupcu tabele 3 sumirani su za svaku grupu, te su iz tih suma i broja debljinskih stepena u svakoj grupi izračunate aritmetičke sredine (koordinate težišta pojedinih grupa) — 1,591 — 11,326 = —0,199 W — 1,416 0,812 — 7,830 0,101 w = _ = — o,979 8 Točke s tim koordinatama nanesene su na funkcionalni papir (vidi str. ) pomoću pomoćnih skala | i n (vidi konstrukciju naznačenu crtkanim linijama). Kroz te dvije točke povučen je pravac, kojem su onda očitane ordinate pripadajuće sredinama debljinskih stepena i unesene u tabelu 3 — stupac peti — kao izjednačeni volumni |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 38 <-- 38 --> PDF |
prirast (z;). U šestom stupcu upisana su odstupanja A = z; — zv. Suma tih odstupanja nije nula kako bi trebalo biti, no razlike nisu velike (uzrok je griješka uslijed grafičkog očitanja ordinate pravca i zbog rada s logaritmima) i nisu značajne za praksu. Neizjednačeni volumni prirasti naneseni su na funkcionalni papir križićem. Očito je, da ti križići ne leže baš na pravcu, i da bi se izjednačenje dalo bolje provesti jednom krivuljom, koja je blago zakrivljena i konkavna prema dolje. Razlog je tome taj, što je upotrebljen funkcionalni papir s b = 20, dok za Jasle II, b iznosi 5. 5. Na istom papiru naneseni su neizjednačeni podaci s pravcem izjednačenja za pokusnu plohu Javorov Kal (vidi: Kiep ac [1] str. 11, tabela 6). Naneseni su također (i spojeni slomljenom crtom) podaci za volumni prirast hrasta na pokusnoj plohi »Krstovi « (vidi: Klepa c [5], strana 613, tabela 7). Ta slomljena crta dobro bi se dala izjednačiti pravcem, što izaziva pomisao, da bi se predloženi funkcionalni papir možda mogao korisno upotrebiti za određivanje volumnog prirasta i ostalih vrsta drveća, a ne samo jele u Gorskom Kotaru. Nadalje se na tom grafikonu vidi, da svi pravci imaju jednak nagib (isti iznos parametra c), to bi se taj nagib mogao na funkcionalnom papiru unaprijed fiksirati (t. j . na papiru bi već bio nacrtan jedan pravac s tim nagibom). Za konstrukciju volumno prirasnog pravca neke određene sastojine potrebno bi bilo odrediti samo jednu točku, kojom bi se onda provukle paralele s pravcem unaprijed određenog nagiba. Koordinate te točke odredile bi se na isti način kao koordinate težišta grupa, t. j . na bazi izvrtaka izračunali bi se volumni prirasti za pojedine debljinske stepene, a nakon toga bi se svi ti podaci uzeli kao jedna jedina grupa, pa bi se izračunale koordinate težišta E i iq fformula (7)]. Kako bi kod tog načina bilo dovoljno, da se odredi samo jedna točka (na koju bi se samo »objesila« već unaprijed određena šablona = pravac određenog nagiba), to bi za cijeli postupak bilo možda dovoljno i manje podataka (izvrtaka)), što bi pridonijelo daljem pojeftinjenju. Ipak pretpostavka, da su parametri b i c [vidi jednadžbu (1)] konstantni, ne zadovoljava niti za tako, relativno, jednoliku grupu sastojina, kao što je »jela u Gorskom Kotaru«. Konstantni iznos parametra b znači, da je dovoljan jedan jedini funkcionalni papir [u našem slučaju papir s funkcionalnom skalom na apscisnoj osi jednadžbe | = —85 cm . log I 2o + x/> t. j . b = 20], na kojem bi sve volumno prirasne linije morale biti pravci. Konstantnost parametra c znači, da bi svi ti pravci morali biti paralelni. Međutim volumno prirasne linije za spomenutih osam pokusnih ploha niti su pravci, niti su paralelni pravci, t. j . sve je to tek približno. Možda bi bilo dobro, da se pretpostavi nekoliko iznosa parametra b — na pr. b = 5, 10, 20, 50, 100 — a isto tako i nekoliko c — iznosa, t. j . da se konstruira nekoliko funkcionalnih papira i na svakom papiru po nekoliko pravaca s unaprijed određenim nagibom ( = iznos parametra c), pa da se za konkretnu sastojinu odabere papir i na njemu nagib pravca, koji toj sastojini najviše odgovara. Za to bi pak bilo potrebno istražiti, što sve utječe na veličine parametara b i c. Već je na početku spomenuto, da je veličina parametra b na vapnencu (= preborni tip) približno 2—3 puta |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 39 <-- 39 --> PDF |
405 |
| ŠUMARSKI LIST 11-12/1958 str. 40 <-- 40 --> PDF |
veća, nego na silikatnoj podlozi (~ prijelaz sastojine od jednodobnog tipa na preborni). Prema tome može se reći, da će se na temelju strukture sastojine po broju stabala moći nešto zaključiti o veličini parametra b. Nadalje na veličinu parametra b i c vjerojatno utječu i ostali faktori kao: vrst drveća, ukupna temeljnica po hektaru, bonitet i starost (za jednodobne šume), a to su veličine, koje su već određene i poznate na objektu, kad se na njemu određuje prirast. Svi ti faktori vjerojatno utječu na veličinu parametra b i c, ali njihov utjecaj već sada naji moguće ustanoviti, jer nam na raspolaganju stoji premalen broj izmjerenih pokusnih ploha. Kad bude izmjeren i poznat veći broj podataka (kad bude snimljeno dovoljno pokusnih ploha u sastojinama sa različitim vrstama drveća i različitih boniteta i načina uzgoja), možda će se moći odrediti utjecaj tih faktora i pronaći način, da se iz veličine tih faktora odrede iznosi b i c, pomoću kojih bi se onda odabrao najprikladniji funkcionalni papir i nagib pravca. LITERATURA [1] Klepa c D., Funkcionalni odnos između godišnjega volumnog .prirasta i prsnog promjera za jelu u prebornoj šumi, Šum. list, 1/2 1959. 02] Levakovi ć A., Analitički oblik zakona rasterija, Glasnik za šumske pokuse, br. 4, 1935. [4] Emrovi ć B., O izjednačenju pomoću funkcije, koja se logaritmiranjem daju svesti na linearni oblik, Glasnik za šumske pokuse, br. 11, 1935. [5] Klepa c D., Utvrđivanje prirasta po metodi izvrtaka, Šum. list, 11/12. 1955. SUMMARY The graphical representation of the interdependence of annual volume increment and d. b. h. is in the form of an S-line. If, for this S-line, we take the equation of growth function after Levakovi ć ]2] [see the equation (1) y = zv = one-year increment of one tree in cu. m.; x = d. b. h. in cm.; a, b, c = paremeters of the equation (= constants)], and assuming the parameter b to take an average value e. g. b = 20, then, after equation (3) obtained by means of anamorphosis, i. e. the logarithmation of the equation (1), it is possible to design a special functional paper on which the plotted volume-increment lines will approximately be represented by straight lines. In practice the straight line can be plotted by the use of the method of x averages. For the computation of the amounte 1 = log are given tables 1 20+ x and 2. In order to make possible a plotting of the average coordinates of groups, there were drawn on the paper also the linear scales I and JJ. On the original paper sized 210/297 m. m. (see its reduced picture on page ) were plotted data of the volume increment of two selection-type stands from the Fir forests of »Gorski Kotar« (mountainous region in South-western Croatia) as v/ell as the data of an even-aged stand of Pedunculate Oak from the lowlands (along the Sava river) (see Klepa c [1] and [5]). These data lie only approximately on the straight lines, for the value of parameter b does not amount exactly to 20 in all cases. It is possible to assume the probability that the kind of tree species, stand structure according to the number of trees (the silvicultural system), site quality, and age (in even-aged forests) influence the maguitude of parameters b and c. Should the influence of these factors on the magnitude of the parameters be examind (this has not yet been possible because of lack of a sufficient number of experimental plots), then it will parhaps be possible to assess from the amounts of these factors — in a given stand — the amounts of b and c. In this case it might be possible tk> design many such functional papers (fer several different b-amounts). and chose in a concrete instance the most convenient one. . |