DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 42 <-- 42 --> PDF |
Ing. Borivoj Emrović (Zagreb): GRAFIČKA PRIMJENA LEVAKOVIĆEVIH FORMULA Godine 1935 publicirao je prof. Levaković svoj »A nalitički oblik zakona rasten ja« i »A nalitički izraz za sastojinsku visinsku krivulj u«1. U tim radovima Levaković predlaže za jednadžbu sastojinske visinske krivulje ovu formulu: y = __ = a >+." 6 + gdje je: y = nadprsni dio visine = totalna visina stabla umanjena za visinu prsnog promjera = (h — 1,3) m; x = prsni promjer; a, b, c, d, T konstante (parametri). Uz pretpostavku 6 = / i c = 1 izlazi jednostavnija formula y = / \đ \ 1 + x I Levakovićeve formule nisu dosad korištene u praksi, jer šumarska praksa traži brze i jednostavne metode — grafičke metode. Međutim i spomenute formule mogu se grafički koristiti na način, koji bi za praksu bio pogodan. " Logaritmira li se jednadžba 2, dobije se log y = log a + ,d log 1 + x a to je jednadžba pravca u koordinatnom sistemu sa shodno anamorfoziranim skalama. Prema tome može se konstruirati takav specijalni logaritamski papir, na kojem bi se svaka krivulja, koja zadovoljava jednadžbu 2, pretvorila u pravac. Skalu na ordinatnoj osi treba konstruirati na taj način, da se u pogodnom mjerilu nanesu logaritmi izraza (h — 1,3) m, i tako dobivene točke odilježe sa A (= totalna visina stabla u metrima), a skalu na apscisnoj osi tako, da se nanese log . iog {—L__j = hg i-iog[i + -jLJ ~o-iog .(i + L] 1 + X , 1 + X 1 Levakovi ć A.: Analitički oblik zakona rasten ja, Glasnik za šumske pokuse br. 4, Zagreb 1935, str. 189—253; L evako 148 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 43 <-- 43 --> PDF |
također u pogodnom mjerilu, te tako dobivene točke obilježe sa x (= prsni promjer u cm). Budući da se nanosi — logl / + — ], to će os ordinate biti .. desnoj strani grafikona. Mjerila se odabiru tako, da na grafikonu zadane na dimenzije stane još najmanji potrebni promjer i visine u potrebnim granicama za konkretni slučaj (gornju granicu za visine potrebno je nešto proširiti) . . A9 i 0 30 4 o fO 6o io toe L10 ^ Qrafikon 1 —Miti #::») = -H±-3F umu to -60 X % prsni premjer-cm. ±tizp: [iiiiij SS-y* visina -*.y/n.-/e/e t smreke |l||§ = -SS po ourićevim tablicama ==== ==Ul SC--SO mjerilo : na apscisi : log 40»±$ocmi IIP na ordinate :(o<} *ot 4ocm iis: jfrtjfr ´if ZZ~ — ~ 33"-±:iinU -IS iiwf-"mili —"i TS ^ ü? 3K Xllrv 1 I J i X zis.-Ji´i ili -^JI^J II L istu 1 II - mffj II I´ initDf-J«f J 1441 tjljl 1 JUJH isSh Nil II ftl "ti" hm H I i! "ilj > 1im ffl 11 if i li III . 111 II 9 jf 9 8 « i li I I i i 7 7 II 1 i o cm -prsni porn/er X > J 0 4 9 $0 Lo &>/Ä» uo I , Na tako konstruiranom papiru (vidi grafikon /) svaka sastojinska visinska krivulja morala bi biti pravac. Ako se za demonstraciju uzmu podaci iz Šurićevih jednoulaznih tabela za jelu i smreku (Mali šumarsko-tehnički priručnik str. 152), i nänesu na papir, opaža se, da ne ispadaju pravci, već 149 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 44 <-- 44 --> PDF |
krivulje. Pojednostavljena formula 2 ne daje dobre rezultate, a razlog je tome premalen broj parametara, odnosno nedozvoljena pretpostavka b = 1, c = /. Prema tome potrebno je raditi sa formulom 1. logy = loga + d log ( ´C L´ .) Sada je mnogo teže konstruirati skalu na apscisnoj osi, jer su nepo5: nati parametri b i c, koji su još osim toga različiti za pojedine bonitete i za različite tipove sastojina. Formula 2 vrijedi općenito — za sve vrste drveća, za sve tipove i sve bonitete, ali ne daje zadovoljavajući rezultat. Formula 1 upotrebljiva je na užem području — tj. za stanovitu vrstu drveća, za određeni tip, i određeni areal (na pr. preborne šume četinjača Gorskog Kotara). Za demonstraciju neka opet posluže podaci Šurićevih tabela. Za taj određeni materijal treba sada računati parametre b i c za. svaki bonitet. Račun bi se mogao provesti po metodi najmanjih kvadrata, no to je dugotrajan posao, a tolika točnost nije ovdje ni potrebna. Parametre treba računati na elementarni način (Levakov i ć)2 tako, da še podaci za pojedini bonitet nanesu na milimetar papir i grafički krivuljom izjednače. Sa krivulje se očita četiri para koordinata, jer jednadžba ima četiri parametra. Te se vrijednosti uvrste u jednadžbu 1, te se na taj način dobiju četiri jednadžbe koje treba riješiti, kao da su parametri nepoznanice. Kod grafičkog izjednačavanja korisno je najprije nacrtati prirasnu krivulju (krivulja diferencija = krivulja prve derivacije) i najprije nju izjednačiti. U tom slučaju može se upotrijebiti i način računanja sa 3 para koordinata (vidi2 str. 305— 306). Elementarni način računanja također j-e mučan i dugotrajan, no moguća je konstrukcija naročitih grafikona pomoću kojih bi se računanje parametara moglo provesti na laganiji način, a ipak sa većom sigurnošću, nego što je daje elementarni način, te sa dovoljno točnosti za ovakove svrhe.3 Na takav približan način treba izračunati parametre b i c za svaki bonitet, i nakon toga odrediti prosječnu vrijednost. Tako je konstruiran grafikon 2, gdje je uzeto b = 500 000, c == 3,0 — što se osjetno razlikuje od pretpostavke za formulu 2 (b = 1, c = 1). Na grafikonu 2 vidi se, da se je visinska krivulja za I bonitet gotovo sasvim približila pravcu, dok je za ostale bonitete, a naročito za V. bonitet još uvijek krivulja konkavna prema dolje. Anamorfoza je međutim ipak mnogo uspješnija nego na grafikonu 1. Još se bolji rezultati mogu postići, ako se za svaki bonitet uzmu posebni parametri. Iznos parametra, kako je već spomenuto, ne ovisi samo o bonitetu, već i o tome kakova je sastojina (jednodobna, preborna, čista, mješovita i t. d.). Imade mnogo faktora, koji uzrokuju varijacije — no radi se o srednjim vrijednostima za dani areal. Šurićeve jednoulazne tabele daju takove srednje vrijednosti za vrlo veliko područje. Krivulje su kod tih tabela konstruirane grafički, prostoručno, na već uobičajeni način, te sMjkod 2 Levakovi ć A.: Metode ubrzanog izračunavanja parametara za neke novije funkcije rastenja, Šumarski List, Zagreb 1939, str. 299—309. t 3 Taj način opisat ću u slijedećem članku. 150 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 45 <-- 45 --> PDF |
I toga sigurno nije pazilo toliko na jednaki oblik, koliko na ekvidistantnost (a mala se promjena oblika odmah osjetno odražava na iznosu parametra b). Radi toga i veličine parametra 6 i c za Šurićevu smreku i jelu nisu u strogoj funkcionalnoj ovisnosti od boniteta, ali je tendenca očita, Kod toga ŽO 30 iO SO 60 JO 80 100120 treba uzeti u obzir i to da je i račun parametara približan. Veličine parametara za pojedine bonitete iznose: I bonitet c = 3,0, b = 400 000 II „ c = 3,0, b = 440 000 III „ c= 3,4, 6 = 1750 000 IV „ /=, 3,3, b= 680 000 V. „ c= 3,7, 6= 2800 000 151 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 46 <-- 46 --> PDF |
152 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 47 <-- 47 --> PDF |
Ako Se sada na apscisnu os nanesu boniteti u povoljnim ekvidistantnim razmacima, a kao ordinate pojedini iznosi parametara b i c, te tako dobiveni diagrami točaka izjednače pomoću pravca ili pravilne krivulje, mogu se očitati ispravljene veličine parametara za pojedini bonitet. Sa tim ispravljenim i izjednačenim parametrima konstruiraju se sada skale na apcisnoj osi za svaki bonitet. Nanesu li se pripadne ordinate, dobiva se pet grupa točaka, koje leže na pet pravaca. Točke koje pripadaju istim prsnim promjerima treba spojiti krivuljarom, te eventualno ispraviti neka mala odstupanja. Tako nastala mreža harmoniziranih krivulja ima istu svrhu, kao vertikalna mreža na grafikonima / i 2. Na taj način konstruiran je grafikon 3 t. j. logaritamski papir sa krivocrtnom koordinatnom mrežom, na kojem svih pet boniteta zadovoljava uvjet pravca sasvim dobro. * Koje bi bile koristi za praksu od ovako konstruiranih papira: 1, Visinska krivulja postaje visinski pravac, a pravac se lakše uklapa u sistem točaka. Potreban je manji broj mjerenja za istu sigurnost te je dovoljno izmjeriti nešto više visina tanjih stabala i nešto više visina debljih stabala, dok nekoliko izmjera visina srednje debelih stabala može služiti kao kontrola, da li postoji neko naročito odstupanje od pravca. Dakako svaka visinska krivulja ne će biti točan pravac, jer je papir konstruiran za srednje vrijednosti (srednji — karakteristični oblik) nekog areala, pa su varijacije razumljive i vjerojatne. 2. Kao indikator stojbine uzima se u praksi obično srednja sastojinska visina. Mnogi autori predlažu međutim visinu dominantne grupe stabala (na pr. srednju visinu 10% najjačih stabala ili kako drugačije definiranu gornju granicu visine u sastojini). Kod prebome šume, prašume i prelaznih tipova ni taj način ne zadovoljava potpuno. U Americi preporuča se kao indeks boniteta za preborne šume t. zv. asimptotička vrijednost visinske krivulje (Bruce-Schumacher) 4. Ta asimptotička vrijednost je visina koju bi imala vrlo debela stabla (matematski: stabla sa beskonačno1 velikim prsnim promjerom). Kod formule / i 2, to je vrijednost parametra a, jer je I xc \d lim y = Hm a = a 1 = a x->oo x-+ °° \ b + xcI Na grafikonu je to odsječak, što ga čini pravac na osi ordinati. Za x = °°, c ... = /, a log 1 = 0, t. j . ishodište koordinata, U toj točki y = a xc b + odnosno log y = log a- Na skali se taj iznos može odmah očitati u antilogaritmu, no budući da je skala obilježena sa visinama od tla, a ne od prsnog promjera, to je očitanje zapravo: (a + 1,3) m. Parametar a dobar je indikator i za jednodobne sastojine, jer ima karakter visine. Krivulje za boni 4 Bruce-Schumacher: Forest Mensuration, 1942 New York. 153 I |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 48 <-- 48 --> PDF |
« tiranje kod jednoulaznih drvnogromadnih tabela, te kod prihodnih tabela konstruiraju se tako, da se pojas visina podijeli na toliko ekvidistantnih razmaka, koliko se želi boniteta. Ta se ekvidistantnost može zamisliti i do u beskonačnost. Prema tome parametar a mogao bi u praksi dobro poslužiti kao numerički indikator boniteta stojbine za sve tipove, a sa grafikona se dobiva jednostavnim očitavanjem bez ikakvog računanja, Sastojinska visinska krivulja ima u većini slučajeva t. zv, S oblik kao i krivulja rastenja (koja je funkcija starosti), pa se za prednju svrhu mogu upotrebiti i neke ostale funkcije rastenja5. Neke su funkcije i neprikladne kao na pr. Levakovićeva x 1 \d 3-parametarska funkcija y = a ~7~ " . koja nije pogodna za izradu grafikona radi \ b + xl toga, jer se pravci koji nastaju anamorfozom krivulja za pojedine bonitete, međusobno sijeku, a da se to izbjegne bilo bi potrebno za svaki bonitet posebno mjerilo na apsc^snoj osi. Grafički s e primjenjuju u novije vrijeme funkcije izrađene na bazi Gauss-ov e zvonolike krivulje6.7, koje su pogodne za primjenu radi toga, šo se može upotrebljavati već gotovi papir (Wahrscheinl´chkeitspapier, probability paper), koji ima skalu na ordinatnoj osi obilježenu sa postotcima prema Gaussovo m zakonu. Ako se na takovom papiru na apscisnoj osi uzme obična logaritamska skala za starost (odnosno u našem slučaju za prsni promjer), onda se krivulja pretvara u pravac. Poteškoća i slaba strana tog načina je u tome, što se ordinate nanašaju u postotcima konačne vrijednosti (asimptotičke vrijednosti) koja je nepoznata i koju prema tome treba unaprijed procijeniti, Levakovićev a 4-parametarska funkcija najjednostavnija je mnogoparametarska funkcija i najbolji do sada poznat´1 analitički izraz zakona rastenja, elastična je, dobro se prilagođuje podacima i zadovoljava sve nužne formalne uvjete funkcija rastenja, a ipak je relativno jednostavna. Weck 7 joj priznaje sva ta svojstva, ali tvrd: da ima formalan karakter te da je »Probierfunktion«, pa da je prema tome nesposobna za ekstrapolaciju, već samo za sigurnu interpolaciju između opažanih podataka. Istodobno Wec k propagira Bac k ma no v zakon6 kod čijeg je praktičnog primjenjivanja potrebno procijeniti vel´činu konačne vrijednosti — a to znači maksimum samovoljne ekstrapolacijei. Mi haj´lov 8 navodi, da je Levakovićeva funkcija nesavršena sa teorijskog gledišta, jer joj krivulja prirasta (krivulja prve derivacije y po x) izlazi iz sihodišta tangencijalno na apsc´snu os samo onda, kada je umnožak parametara c d > 3, a za istinske krivulje rastenja takvi slučajevi nasu česti (vidi cit. Zbornik str. 13). Međutim taj prigovor nije opravdan, jer je sasvim dovoljno da bude c d > 2, pa da je udovoljeno gornjim uslov´ina, a to je u praks-´ gotovo uvijek slučaj. Kod primjene funkcije rastenja na sastojinsku visinsku krivulju ,može se dogoditi, da krivulja prirasta ne ide tangencijalno iz apscisne os´, već ´"z ordinatne osi, ili pod kutem (na pr. kod šuma panjača). Levakovićeva će se formula odmah tomu prilagoditi iznosom c-d<2, što je čini naročito prikladnom i univerzalnom za analtički prikaz sastojinske 5 Detaljan pregled za šumarstvo važn´h funkcija rastenja donosi: P e s c h e 1, W,: Die mathematischen Methoden zur Herleitung der Wachstumsigesetze von Baum und Bestand und die Ergebnisse ihrer Anwendung. Tharandter Forstl. Jahrbuch str. 169, 1938. Također: Mi haj lov, vidi pod 8, a (iscrpan pregled literature po tom pitanju u Levakovićevim radovima *. 6 Backman , G.: Wachstum und Organische Zeit. Bios, Band 15, Leipzig 1943. 7 Weck , J,: Über die Brauchbarkeit von Wachstumsgesetzen als diagnostisches Hilfsmittel der Waldwachstumskunde, Forstwissenschaftlitches Centralblatt, Heft 10, 1950, Berlin. 8 Mih a j lov,´I. S.: Matemat´čko formiranje na zakonot za rastenjeto na šumskite drva i nasadi, Godišen zbornik na zemjodelsko-šumarskiot fakultet na univerzitetot — Skopje, 1949. 154 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 49 <-- 49 --> PDF |
visinske krivulje. Eksponencijalne funkcije su u takovim slučajevima nepodesne. Čak i kod krivulja rastenja kao funkcije starost: eksponencijalne funkcije su neprikladne donekle baš radi toga, što su im sve derivacije u ishodištu jednaike muli Krivulja se na tom mjestu naročito usko priljubljuje uz apscisnu os, a to se osjeća i u bl´z nj ishodišta. Ako je takova funkcija još osim toga jednostavna t. j . sa malo parametara, pa prema tome i neelastična, nepodatljiva onda će se takova krivulja moći prilagoditi podacima samo na kraćem potezu. Autori takovih funkcija dijele onda krivulju raste-´ nja na pojedine segmente (cikluse života) Terezaki 8 , Bro d y10. Kod grafičke primjene Levakovićeva pojednostavljena funkcija sa dva parametra (formula 2), nepodesna je za upotrebu, jer se krivulje dovoljno ne približuju obliku pravca, već ostaju krivulje i nakon anamorfoze. Ta zakrivljenost naročito je osjetljiva kod večih prsnih promjera, što naročito nepovoljno utječe na mogućnost ekstrapolacije i značaj parametra a kao indikatora boniteta. Potpuna 4-parametarska funkcija sasvim zadovoljava, samo bi izrada papira bila dosta teška i komplicirana. Potrebno bi bilo snimiti dovoljan broj sastojinskih visinskih krivulja u danom arealu i na različitim bonitetima, te za svaku krivulju izračunati parametre. Uz pretpostavku da je parametar a najprikladniji kao indikator boniteta — ostala tri parametra trebalo bi staviti u funkcionalnu ovisnost sa parametrom a, te izjednačiti grafički pomoću pravca ili pravilne krivulje. Uz pomoć tako dobivenih podataka mogao bi se konstruirati logaritamski papir, te uzeti u obzir, uz dosad rečeno, da je parametar đ koeficijent smjera jednadžbe pravca dobivene logaritmiranjem formule 1, t, j . đ = tangens kuta što ga čini pravac sa apscisnom osi. Kod toga treba paziti na eventualna različita mjerila na apscisnoj i ordinatnoj osi (različite log. jedinice). Možda bi se čitav postupak mogao provesti i statističkim računom kao multiple korelacija. Srednji put t. j . način upotrebijen kod grafikona 2 biti će po svoj prilici najpogodniji za praksu. Na nešto većem broju sastojina, koje se približno nalaze na prosječno srednjem bonitetu, trebalo bi izmjeriti dovoljan broj prsnih promjera i pripadnih visina. Iz svih tih podataka trebalo bi izraditi jednu krivulju i iz nje odrediti parametre b i c, koji su mjerodavni za oblik kriyfilje. Moglo bi se mjeriti visine na svim bonitetma, no kod toga bi trebalo paziti, da se mjeri i na najlošijim i na najboljim bonitetima podjednaki broj i tankih i debelih stabala. Budući da se radi samo o jednoj krivulji, računanje parametara moglo bi se provesti po metodi najmanjih kvadrata na način prikazan po L e v a k o v i ć u1 (uzevši u obzir dakako samo sredine za svaki debljinski stepen). Sa tako dobivenim srednjim vrij ednostima parametara b i c konstruirao bi se logaritamski papir sličan grafikonu 2, Takav papir pokazivao bi neka odstupanja za najbolji i najlošiji bonitet, ali bi to bilo u podnošljivim granicama i možda za praksu dovoljno točno, . 8 Terezaki , W,: No-tes on the Analytical Interpretation of Growth Curves for Single Tree and Stands and on Application for the Construction of Yield Table for Sugi (Cryptomeria Japonica), Extracts from the Bullet´n of the Forest Exper´ment Station, Meguro, Tokyo, 1915. 10 Brody , S.: Growth and Development III, University of Missouri. Agricultu-v ral Experiment Station, Research Bulletin 97 Columbia, Missouri 1927. r ´ 155 |
| ŠUMARSKI LIST 3-4/1951 str. 50 <-- 50 --> PDF |
Kod upotrebe logaritamskog papira t. j. kod uklapanja pravca u sistem točaka treba držati na umu, da papir ima logaritamsku skalu za ordinate. Uklapanje pravca u sistem točaka je grafičko izjednačavanje, a to je dobro provedeno onda, ako je suma odstupanja pojedinih točaka od pravca jednaka nuli (suma odstupanja od pravca točaka koje se nalaze iznad pravca mora biti jednaka sumi odstupanja ispod pravca). Kod grafičkog izjednačavanja to se radi od oka i nakon toga kontrolira sumiranjem odstupanja. Na logaritamskom papiru sa logaritamskim ordinatama, odstupanja koja se vide jesu razlike logaritama, a ne razlike numerusa. Da se ta greška eliminira, potrebno je pravac položiti tako, da bude 2 y (log f — log y) = = 0 (gdje je log f = or dina ta pravca na papiru, log y = ordinata točke na papiru, y = numerus ordinate točke). Drugim riječima svakoj točki treba zamisliti »težinu« (u smislu složene aritmetičke sredine) u iznosu njezinog numerusa ordinate — t. j . pravac treba već od oka položiti nešto više fPirani-Runge)12. Napomeni a: Brigadom izrade klišeja potkrala se je manja greška, talko da su mjerila — t. j . logaritamske jedinice — cea 10% manje nego što je to na igraifiilkomiima iskaizaino. Kod praktične primjene potrebni su 2 dot 2V, puta veći grafikoni t. j1. mjerilo za ordinate treba đa je log 10 = 20 — 25 cm. GRAPHISCHE ANWENDUNG DER FORMELN VON PROF. LEVAKOVIĆ Im Jahre 1935 publizierte Prof. Levaković seine Arbeit unter dem Titel »Anailitischer Ausdruck für die Bestandeshöhenkurve« (Levaković1). Vorliegende Arbeit hat den Zweck Levaković´s Funkt´onen / und 2 auf graphischem Wege für die Praxis anwendbar zu machen. Logarithmiert man die Formel 1 oder 2, so ergibt sich ein Ausdruck, welcher der Gleichung der Geraden änlich ist Nach bekannter Methode der Streckung ivon.Kurven (Anamorphosis) kann man mit ´Benutzung passender Skalen eine Verzerrung des ganzen Bildes bekommen, so dass jede Höhenkurve_in die Höhengerade verwandelt wird. Zu d´esem Zwecke eignet sich die vereinfachte Formel 2 nicht, weil die Streckung der Bestandeshöhenikurven in unvolkommenem Grade erzielt wird, sondern nur die 4-parametrige Formel 1. Diese ist aber verwendbar nur für ein bestimmtes Areal, weil die Paramete b und c von der Bonität und vom Bestandestype abhängig sind. D:e Gerade ilässt s´ch bequemer in dem Punktdiagram einpassen als die Kurve. Ausserden der Parameter a sollte ein guter Bom´itätsindiikator sein, weil er einen Höhenkarakter besitzt. Aus dem Grafikon kann er diireckt abgelesen werden, weil lim y = a. Da die Bestandeshöhenkurve gewöhnlich die sogenannte S — Form hat, ähnlich w´e andere Wachstumsfünktionen, so kann man dafür auch andere solche Funktionen verwenden. Aber Levaković´s 4-parametrige Funktion eignet sich dazu am besten. Die Konstruktion nach Grafi/kon 2 sollte für die Praxis genügen. Das he´sst: Berechnung von Mittelwerten für die Parameter b und c für Gegebenes Areal und dann die Konstruktion des geradlinigen Vertilkalnetzes anstatt des Krummlinigen Vertilkalnetzes im Grafikon 3. (Bei der Krischeeverfertigung sind die Gralfiikons etwas zu klein ausgefallen. Die Mlasstabangaben sind deshalb umexaet. Die Logeincheiten sind cea W/o kleiner als die dort angegebenen.) 12 Pi ran´-Runge : Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik, 1931 Leipzig Sammlung Göschen, 156 |