DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 33     <-- 33 -->        PDF

In Tafel / und Figur 3 ist der Ausdruck 1) mit den Ausdrücken B) verglichen.


Wenn systematische Fehler der Berechnung mit dem Rechenschieber auch in
Betracht gezogen werden, so wird das Fehlerfortpflanzungsgesetz ungünstiger- Wenn
man mit % den systematischen relativen Fehler ´bezeichnet und mit X den zufälligen,
so gewinnt man als Fehlerfortpflanzungsgesetz den Ausdruck 2), welcher für % = 0,15%»
und X = 0,67%o in Tafel // dargestellt und in Abbildung 5 mit den Ausdrücken B) verglichen
ist.


Aus 50 gewöhnlichen Multiplikationen an den Grundleitern eines weiteren (neuen)
50 cm langen Rechenschiebers der Firma Faber gewann der Autor einen mittleren
Fehler von + 0,25%» und aus 50 Berechnungen von Koordinatenunterschieden einen
mittleren relativen Fehler von + 0,42%o. Bei folgenden Berechnungen wurde die Zunge
dos Rechenschiobers in umgekehrter Stellung gebraucht, so dass die Sm-Leiter (sonst
an der Rückseite der Zunge) neben der unbeweglichen Grandleiter zu stehen kam und


als —;—Leiter gebraucht wurde. Dadurch werden etliche systematische Fehler elimi-


Sltl


niert. Leider hat die Sm-Leiter des genannten 50 cm langen Rechenschiebers zu grosse


Interwalle. Bei kleineren Interwallen würde die Schätzungsgenauigkeit grösser.


In Tafel /// ist der Ausdruck 2) für . = 0 und X — ± 0,42%o, für % = 0,10%o und
X = 0,40%o und für % — 0,05%» und . = ± 0,25fl/00 ´berechnet. Die Abbildung 6 gibt die
Vcrgleichuug etlicher Spalten der Tafel /// mit den Ausdrücken B).


Der erste Teil der Abhandlung wird mit den Ausführungen beschlossen, dass im
Forstwesen ein 50 cm langer Rechenstab zur Berechnung von Koordinatenunterschieden
in Polygonzügen gut zu brauchen sei, weil die Züge gewöhnlich lang sind, kurze
Seiten haben und die Seiten optisch vermessen: werden, was den Gebrauch des Rechenschiebers
begünstigt.


In der Katasteranweisung ist es vorgeschrieben, dass man Koordinatenunterschiede,
welche mit den Log-Tafeln oder mit der Rechenmaschine berechnet wurden,
auch noch zur Kontrolle nach einer anderen Art zu berechnen hat (Koordinatentafeln).
Zulässige Unterschiede dabei sind 2 bis 4 cm., ausnahmweise 5 cm. Der Autor ist der
Meinung, dass man bei diesen Kontrollberechnungen den Rechenschieber gut brauchen
könnte, aber dass man die zulässigen Unterschiede etwas erhöhen müsste.


In Zweiten Teile wird hauptsächlich vom Reduzieren schief gemessener Längen
gesprochen und die Genauigkeit der Berechnung der Formeln 3), 4) und 5) einerseits
mittels Schieber 21 Z, andererseits mittels Tafel V und ähnlichen Tafeln erörtert.


99




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 32     <-- 32 -->        PDF

d´27t


kružnu plohu -..— Desni je naime indeks odmaknut od srednjeg logarit


mički za iznos V~ , prema tome je kod srednjeg indeksa na osnovnoj


d i d \2
-—-/ — \ .2 -rr


V


1 ana kvadratnoj i/_4_ = —.— . Tu temelj


niču možemo na kvadratnoj skali odmah množiti sa dužinom trupca,
da dobijemo njegovu kubaturu.


Da ispitam s kolikom je točnošću skopčano ovakovo kubiciranje trupaca
na računalu 21, zadao sam si 10 zadataka (tablica VII) i izradio ih
na računalu. Utrošak vremena je bio 3 minute. Dužine su trupaca hotice
zadane vrlo različite i kao da su premjerene do na centimetre točno. U
tablici su navedene i ispravne kubature. Pojedinačno su kubature u srednjem
za ± 2%o netočne. Za širu praksu je ta točnost posve dovoljna.


Desni i srednji indeks na pomicaljki služe — kako sam prikazao —
za izračunavanje temeljnica (odnosno obratno za izračunavanje promjera
iz zadatih temeljnica) i kubiciranje valjaka. Naprotiv desni i lijevi indeks
služe za pretvaranje konjskih sila u kilovate i obrnuto.


D. ZAGLAVAK.
Logaritmar je ne samo praktično računsko već i pedagoško pomagalo
u nastavi iz geodezije. Ta nastava mora biti više manje individualna


t. j . takova, da svaki student sam riješi niz zadataka (problema). Istraživanje
je sistematskih i slučajnih pogrešaka također važan problem, u koji
se svaki slušač meže najjednostavnije uputiti tako, da istraži rad na vlastitom
logaritmaru.
Zusammenfassung.


Zuerst wird der Schieber Nestler 21Z, System Darmstadt-Zagreb, beschrieben.
Aus 50 Multiplikationen an den Grundleitern (Länge 25 cm) gewann der Autor einen
mittleren Fehler von ± 0,50%o und aus Berechnung von 50 Ausdrücken A y = d sin
und Ax = deosv (wo 100,00 < d < 300,00) einen mittleren Fehler von ± 0,67%o
{0,000 67 = /).


Weiters werden die Gesetze, nach welchen sich die Fehler der Berechnung der
Koordinatenunterschiede in Polygonzügen fortpflanzen, untersucht. Unter Voraussetzung
gleicher Zugsseiten und nur zufälliger Beobachtungsfehler wird der Ausdruck 1) gewonnen;
L bedeutet die Länge des Zuges, n die Zahl der Polygonseiten und . den
linearen Abschlussfehler.


Nach den iugoslavischen Katasteranweisungen sind für die linearen Schlusswüdersprüche
in Polygonzügen die Ausdrücke A) als maximal zulässig vorgeschrieben.
Werden aber die Seiten mittels der gewöhnlichen optischen Distanzmesser gemessen,
so ist eine 50%-Erhöhung der für III-Kategorie des Terrains vorgesehenen Beträge
zulässig, was der Autor als IV Kategorie bezeichnet. Aus den Ausdrücken unter .)
sind jene unter B) mittels Teilung durch 3 gewonnen. Mann kann also die Beträge ß)
ungefähr als mittlere Schlusswüdersprüche betrachten.


98




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 31     <-- 31 -->        PDF

možemo visinske razlike računati i na računalu 21 na slijedeći način:
Formula za te razlike glasi h = D sin a cos a. Na skali < sin namjestimo
a, na osnovnoj se nepomičnoj onda nalazi sin a, a na skali cos pripadni
cos a. Na nepomičnoj se kvadratnoj nalazi sin2 a, koji množimo sa 2D, da
najprije dobijemo redukciju za dužinu. Kod toga je množenja početna crtica
osnovne pomične skale zapravo naravnana na sin a osnovne nepomične.
Pošto se ispod indeksa na skali cos nalazi cos a, očitamo ga i pomicaljku
naravnamo na taj iznos osnovne pomične skale. S time je izmnoženo sin «
cos . To onda još treba da dalje na osnovnim skalama izmnožimo sa D,
pa je dobivena i visinska razlika.


Kod katastra se direktno mjerene dužine reduciraju na horizontalu


a A2
pomoću visinskih razlika h po formulama r = h tang-^´\ r = ~2~.., gdje ]e
r iznos redukcije, D kosa dužina, d horizontalna, a a visinski kut izračunali


h


iz jednadžbe sin « = -jr. O tom načinu redukcije, koji se u šmarstvu rjeđe


upotrebljava i o pomagalima za tu redukciju govoriti ću drugom prilikom.
Naravno da i te redukcije možemo računati na računalu 21.


C. KUBICIRANJE TRUPACA.
Želim ovdje još samo da razmotrim, s kakovom se točnošću na računalu
21 mogu da kubiciraju trupci. Na pomicaljki se računala osim
srednje crte (indeksa) nalazi još jedna crta desno (i jedna lijevo). Ako
desni indeks (ispod njega piše d, si. 2.) naravnamo na promjer d osnovne
nepomične skale, čitamo na nepomičnoj kvadratnoj ispod srednjeg indeksa


Tablica VII.


Kubatara Odstupanje


Promjer dužina


Opaska


d . 0/


sa 21 točna V


/ti


3 3 3


cm m mmm


45 12,52 1,990 1,9912 — 0,0012 0,60
38 8,24 0,936 0,9345 + 15 1,61
64 4,98 1,600 1,6021 — 21 1,31
105 2,86 2,470 2,4764 — 64 2,58
47 7,52 1,310 1.3064 + 36 2,74
26 10,84 0,578 0,5755 + 25 4,35
72 3,96 1,609 1,6123 — 33 2,05
52 4,00 0,850 0,8495 + 5 0.59


48


3,64 0,659 0,6587 + 3 0,46
58


4.53 1,198 1,1969 + . 0,92
Zbroj : 13,200 13,2035 — 0,0035 : — 0,26


Srednja pogreška pojedine kubature
apsol. ± 0,0028 m3
Srednja pogreška pojedine kubature
relat. ± 2,08 °/00
Relativna pogreška zbroja od svih
10 kubatura — 0,26 %o


97




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 29     <-- 29 -->        PDF

Tablica je V sastavljena za « do 30° od 10´ do 10´. S takovom sam
tablicom — kako rekoh — izradio primjere iz tablice IV. Srednja je pogreška
pojedinog rezultata također ispala ± 1 cm. Potrebno je vrijeme
nešto duže nego li sa računalom 21 (9 : 7 vremenskih minuta). Konstruirao
sam na logaritmičkom papiru i zaseban nomogram, iz kojeg se mogu čitati
za razne a i razne D pripadne redukcije r. Znatno je umanjeno, taj nomogram
prikazan u slici 8. U originalu je bio 17/25 cm velik. Za redukciju
je dao podatke, koji su označeni u tablici IV. Srednja pogreška ± 7 cm.
S ovakovim nomogramom doduše brže dolazimo do rezultata, ali daje te
rezultate manje točno. Slika 8 prikazuje — kako je već rečeno — znatno
umanjen taj nomogram. Iz njega odmah vidimo, koliko cijelih mjesta ima´
u pojedinom slučaju redukcija, odnosno, gdje treba da je decimalna točka.
Dakle taj grafikon možemo iskoristiti i kod računanja sa 1 o g a r i t m a-
r o m. Jednim pogledom u njega možemo odmah zaključiti, gdje nađeni
rezultat treba da ima decimalnu točku.


Da razmotrimo i redukciju dužina, koje su mjerene običnim optičkim
daljinomjerima (letva vertikalna). Poznato je, da onda horizontalna dužina
iznosi:


d= Kl COS2a + k COS a 4)


gdje je l odsječak na letvi, a visinski kut, K t. zv. multiplikaciona (obično
100), a k adicioua konstanta instrumenta. Poznato je i to, da se izraz 4)
obično aproksimira ovako:


ll = (K l + k) COS2a.


Kod običnih daljinomjera je ta aproksimacija posve dopustiva. Ako
je K = 100, iznos u zagradi izračunamo napamet t. j . umnošku 100 l jednostavno
dodamo malu konstantu. Označimo K l + k = D´. Onda se radi


o tome, da se izračuna izraz:
d = D´ cos2a,


koji s logaritmarom 21 možemo lako dobiti. Da povećamo točnost, možemo
računati i razliku


D´ — D = D´ (1 — cos´-a) = D´ sirfa 5)


i tu razliku onda odbijati od kosih dužina. Iznos 5) možemo s logaritmarom
dobiti za obične slučajeve sa srednjom pogreškom od cea jednog centimetra,
što nesamo da zadovoljava, već je obzirom na netočnost običnog
optičkog mjerenja dužina gotovo i previše točno.


Tablica VI daje 10 primjera za D´ms2«, odnosno D´sin´a. Izračunani
su računalom 21, zatim tahimetričkim logaritmarom (stariji model iz drva
sa skalama na nalijepljenom papiru) i Jordanovim tahimetričkim tablicama.
S obzirom na točnost ispala je komparacija u prilog reduciranju po
formuli 5) sa računalom 21. Kod toga je utrošak u vremenu bio jednak
utrošku kod upotrebe Jordanovih tablica.


Kod optičkog se mjerenja duljina u šumarstvu (kod mjerenja poligona)
obično ne određuju i visinske razlike između točaka. U takovom
slučaju vrijedi ono, što je malo prije rečeno. Ali, ako su nam iz bilo kojeg
razloga potrebne i visinske razlike, onda je rad sa specijalnim tahimetričkim
logaritmarom brži, a sa Jordanovim tablicama točniji. Doduše mi


95




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 24     <-- 24 -->        PDF

Kompl.
kuta


nagiba


ö © o o o ö o ö o o o o
ö ö o o ö


SSSS2


CO CO lO^COCNH iO TP CO GM i-*
in .. CO CM i-H


L4


© o o o o -CO TU
ocsoocot»


CO 00
Ci 00 00 00 00


O CO C- tN 00 OS CO P- CM CD i—( CO i-i O CM 00 TH o CD CM OS iO CM
O i-l rt CM CO CO CO .. TP Tp iO iO CD CD D-C> 00 00 CT5 Oi O^ i-i


o


o


1—1 i-H .. I—t i—( i—i


ö


© CO CD IM CA CO
OS CM CD 05 CO


09


o




CO


co o TP os .. oo CM D- (M I> CO GO TP O CD CM 00 ..
.. iO O *0 CO CO


I> tr- 00 00 CiGi
o


HrlnHrt


o


1-1


H H (MCMCO


©


.* CO H iO O ^


omcot-t-


CM CM CO CO CO ..
.. ^iOiOCOcD CO L~.- CO 00O5 OS O i-H — CM W


CO


O Ti rt
T-i i— i—1 i—< T-H


o
o" CD"


o


03300(0 CO «DQNiOCO i-H IO OS CM CD . IO OS ^ CO CO 00 CO 0O .. OS iO ^H
l>


O —< rt CM CM CM CO CO CO Tp Tp Tp iO IO CD
CD CO t> O 0000 Cft OS O O i-l CM


o
.....
o


V-i
o"


o


OtMiQOO CM .* t> O CO CO OS CM CO OS CO .-
i—( iO OS TH CO CO CO CO 00 CO 00 TP


O .. rt CM CM CM CO CO CO CO .* .. TU iO >o CD CD CO r> t- 00 OS OS O O rH
.—1 o


CD
oo


O
HHI


c5


o


o cxi iCer» * C* OC0 CO O CO l> r-1 tO OS CO oo CM D- TH CD ^ CO
lO CM CM CM CM CO CO CO ^^^lO O LO CO CD CD D- D-CO os es O OO rt o cc i-H TH
.—1


o


c5


©


© co ..^.... o .... .


o ^ i-H CM CM CM CM CO
tO vO CD CD CD t4-
L-
CO CO OS OS OS
CO COTHTK^IO
.—i


o o
d


O 03 -^ 00 (M CO O CM -.. .- OS CM -*t>ococo tO CS TP 00 CM
CO CO CO CO .. .. TP


O T-l T-l CM CM CM CM CM iO »O iO CO «C CD c-D-D- CO 00 OS
i—1 o


o


d
o


CO OOOfMiOr-OS CM .. D-O CO CD OS CM id OS CM
O T-I iH r-l CM CM CM CM CM CO ...... TP TU rdoiOioco CD CD t> D- 00 CO


IM


rt


o
o
o


8 d


=0


»O C-OJrHOrjiO
.- CS i-H TP I> CS .. »O CO — T* c-o .. .--—-..^ 00
CM CM CO CO CO CO CD


rH H H
DJ IM CM .^ TH TP IO »O iCS CD CO t> D- l>


o o
O


T-I d
ö o


Cl


O rt CO CO CT5 .. iO l> OS O CM Tp O OS TH CO D-CO -H CO CD OS CM 1 o T-t r-l i—1 i-i CM CM CM CM CM COCO CO CO ^ ^. .. ^* LQ iO CO CD CD D


O


O


o
G) o" ö


O rt CO lO CO CM ^fiOOCßO CM .^ CD 00 O CM
TH l>- OS i-( .*< .-OS CM tO CO —´ TP


o T—| HHHiHCN CM CM CM CM CO CO CO CO CO TP Tt* T)H .. LO tO IO CD CD [
05 O
o


V. d
cT
©
rt CO ». 00 f. CM .. iO CO 00 O i-l CO iO r- CO O (MiOOOiH TP CD .. i-H ..~ l>
CM CM CM CM CM CM CO CO CO CO CO ..^ T?


.-. *-H i-H i—t T-I i-H
.. .. iO »O iO


oo
o o


o


c5


d


© rt IM ** t-O HCMCO^Ci D- COOCM viO
t^ 00 O CM TP CD i-H CO iO C4-O


O TH HHrIHr i i-l i-l CM CM CM CM CM CM CO CO CO CO CC TP Tf TP -^p LQ
c-O


o


d
o


© rti CO TP CD 00 OS —> er: mi>CSHfO


CO CO CO TP TP
cO o o
d cT


o T-f i—t l-f T—( r-t i—i i—i i-( CM CM
CM CM CM CM CM CO cc
O rt Ol CO IO O .......
CM CO 4* kO P- 00 OS O CM CO .. CO OS O (M .. »CS
T—it TH i-H i—(


o i-( i-f i-i i—
i-H {?» CM CM CM CM CM CO CO CO CO
o


o


d


a ^ r* efrn iO co c- t> oo os O i— i-l CM CO ..
.JO CDI>Q0OH CM CO TP CD D- CO


CM CM CMOJ CM CM


-*
o ©
O
d ö


O O rt (M CO TP iO iC3 CD CO l> P- .......^
i-l CM CO TP iO CD SD C-COQOH


©


CO
O


o ö4
d
© © rt rt rt CO CO CO .. TP TP iO O CD CO .- D-00 00 OS OS O o i-( (M CM CO .. ..
O i-H i-l i—l i-» i—i TH I-H i-l




8
o


<5


O O O r-t i-i r- CM CM CM CM CM CM CO CO CO CO Tfl .. .(< TH IO »O iO iO CD CD CD C* O
O o


rt


o
o


o"


o


s
Kut


nagiba


a


o o o o © o o ö o ö ö o o o o o o


CO CO
i-i CM CO TP iO


HCNCCJTIIIO
o


OHHOJfN TU CO
CO


Ö Ö Q O O


i—´ CM CO .. iO


90




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 23     <-- 23 -->        PDF

Tablica IV.


Redukcija r = D — D cos a = 31) sin´ —


Zadano
_..


2


*5


računalom 21 tablicom V nomogramom JM
a


ep


Vi


© i ´"5 ^ rt CD at a, eS


Q,


D a
S S s 3 a C


3


a r . © OJ r -. CD ta cc r ^ «i
OJ 00.. na EO «r—> oj ... 03" ..


CD g CD >o
´SP C


> O
> o


o
o


> . JS ° M
2 2


m m cm cmm cm CTO2 TO cm cmm


156.32 7» 24´ 1,31 + i 1,30 0 1,30 0 1,30
78,94 13» 35´ 2,22 2.20 — 1 2,10 — 11 2,21
+ i
128,84 12° 12´ 2.91
2,92 2,90 — 1 2,91


0
+ 1


35,15 2° 35´ 0,04
0,04 0,04 0 0,04


0
0


96,12 4° 18´ 0.27 0,28 0,26 — 1 0,27
188,13 19° 50´ 11,16 0
0
11,15 + 1 11,00 — 15 11,16
204,44 8» 36´ 2,30 2.30 — 1 2,20 — 10 2,30


0


177,85 14° 22´ 5,56 5,54
0 5,50 — 6 5,56


0


56.13 18° 10´ 2,80
2,79 — 2 2,75 — 5 2,80
190,35
5° 57´ 1,06 0 1,03 — 1 1,05 + 2 1,03
0


+ .
nmin. qwfn.
...:


Zbroj : 29,63 + 5 11 29,55 — 3 9 29,10 — 47 513 29,58


./~9~


. .. . , . m = \/_´— = + 1 cm


TO = V51-= ± 7 cm


m — \ = -4- 1 cm V io -*


V io


V io -^


SI, 8.


89




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 22     <-- 22 -->        PDF

između kose i vodoravne dužine r — D — d, koju onda naprosto treba od
kose dužine odbiti, da se dobije vodoravna. Imamo:


r = D — d = D — D cos a = D (1 — cos a) = 2 D sin1— . . . 3)


> a
Izraz 2 D sm-z- možemo na računalu 21 računati na slijedeći način. Nače
pamet raspolovimo kut a. Indeks namjestimo na taj iznos -~. i to na skali


<^sin. Onda je na osnovnoj nepomičnoj skali pripadni smr , a na nepo


mičnoj kvadratnoj pripadni sin´w. S pomičnom kvadratnom skalom se taj


iznos odmah dalje množi sa 2 D. O položaju decimalne točke vidi niže.


Ako dužine mjerimo lancem od 2Ü m ili 50 m, pa za svaki lanac
s kakovim padomjerom izmjerimo a, onda je 2 D = 40, odnosno = 100,


Ct


pa se redukcija za svaki lanac dobiva množenjem pripadnog sirf-z sa 40


a


.,


odnosno 100. Množenje je sin~-^ sa 2 I) na računalu naročito lako i brzo


kod stalne dužine, koja se reducira, dakle kod stalne dužine lanca ili letve,
s kojima se mjeri. Ali niti kod proizvoljnih dužina D to množenje ne predstavlja
nikakovu teškoću, jer D lako napamet dupliramo i na računalu


a
sin´^r s time izmnožimo. U glavnom je dovoljno naći duplu vrijednost od
a


,
Ü samo. u cijelim metrima i za taj iznos računati 2 I) sin´—-


Primjere, koji su u tablici IV iskazani, izračunao sam najprije s računalom
21. Redukcije su . ispale na ± 1 cm točno. To je točnost, koja
normalno posve zadovoljava. Dakle, ako mjerimo koso dužine i sa preciznim
daljinomjerima (letva vodoravna i okomita na vizuru), možemo ih
reducirati sa računalom 21.


Iste primjere izradio sam i pomoću zasebne tablice (V), koju sam
sastavio za redukcije r = D (1 — cos «. Ta tablica daje umnoške
D (1 — cos a) za D od 1 do 20 in. Ako je na pr. D = 156,32 a « = /2° 55´,
dobijemo iz te tablice redukciju na slijedeći način:


za 150 = 15 X 10 redukcija iznosi 3,79
za . . 0,15


Ukupno: 3,94


88




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 21     <-- 21 -->        PDF

Još nešto moram da spomenem. Gore je svuda uzeto, kao da faktori


. i X ne variraju na raznim mjestima računala. Međutim izvjesni dijelovi
sigurno variraju, o čemu će eventualno drugom prilikom biti govora.


Ako s logaritmarom i ne računamo izvorne koodinatne razlike, ipak
je on dobro pomagalo za kontrol u izvornog računa. Pravilnik o katastarskom
premjeravanju propisuje (II dio, član 47), da se ima »radi kontrole
da vrši računanje koordinatnih razlika na još jedan nezavisan način«.
Neslaganja smiju biti najviše »2 do 4 cm, a izuzetno . cm«. Taj zahtjev
smatram prestrogim. On u srednjem znači slaganje na ± 1 cm ili ± 2 cm.
To logaritmar, kome su skale 25 cm dugačke, ne može da dade; u glavnome
takova slaganja ne bi davao niti logaritmar 50 cm dugačak. Ako


na pr. .. iznosi 126,42, srednja pogreška ± 0,67%o .. iznosi ± 8 cm, a
i 0,42%o .. = + 5 cm. Član 47 Pravilnika ima u vidu vađenje kontrolnih
koordinatnih razlika pomoću zasebnih koordinatnih tablica. Obzirom na
upotrebu logaritmara propis bi toga člana eventualno trebalo izmijeniti.


}


Računanje s logaritmičkim tablicama ili mašinom.


Konačno da spomenem i vrijeme, koje je u glavnom potrebno za
računanje izraza d sin v i d cos v pomoću običnih 5-znamenkastih logaritmičkih
tablica. Pokusima sam konstatirao, da za 10 primjera d sin v
trebam 9,5 vremenskih minuta. To je nešto više nego duplo, koliko sam
trebao sa logaritmarom (4,5 minute).


Naravno je, da logaritmar ne može da konkurira mašini za računanje.
Za ri jesenje istih 10 zadataka na maloj ručnoj mašini Odhner trebao sam
5 minuta. To je prividno nešto više nego li sa logaritmarom. Kažem prividno
zato, jer kad se računa s tom mašinom, odmah se pribraja kocrdinatna
razlika prijašnjoj koordinati i tako dobiva (bez posebnog zbrajanja)
slijedeća koordinata. To kod 10 uzastopnih točaka sigurno predstavlja
uštedu od 0,5 vremenskih minuta. Prema tome je obična ručna mašina za
računanje jednako tako brza kao što je logaritmičko računalo, a k tome
u svim traženim decimalama sigurna! Za računanje su naravno potrebne
tablice prirodnih vrijednosti* sin i cos. Dvostruka mašina, kod koje se u
jednoj polovici stavi sinv, u drugoj cos*´, pa se oba iznosa istovremeno
množe sa d i pribrajaju ranijim ,v i ., daje naravno još veću uštedu
vremena.


Premda logaritmičko računalo ne može da konkurira mašinama za
računanje, ono ipak dolazi za računanje u obzir iz jednostavnog razloga,
što nam mašina ne stoji uvijek na raspolaganje, pošto joj je nabavna cijena
razmjerno visoka.


B. REDUKCIJA KOSIH DUŽINA NA HORIZONTALU.
Prelazim na upotrebu računala 21 kod redukcija koso mjerenih dužina
na horizontalu. Kosa dužina neka je D, vodoravna d (si. 7). Ako se
mjeri visinski kut a, onda je tražena vodoravna dužina d <=D cos a. Taj
izraz možemo računati na način, kako je u ranijem poglavlju prikazan kod
računanja koordinatnih razlika. Ali točnost redukcije možemo i znatno
povećati. Umjesto da izravno računamo D cos a, računat ćemo razliku


* Upotrcbio sam tablice: Dr. F. G. Gauss: Fünfstellige vollständige trigonometrische
und poligonometrische Tafeln für Mascbincnrechnen.
87




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 20     <-- 20 -->        PDF

na računalu Faberovom od 50 cm su u glavnome manji od srednjeg linearnog
odstupanja na kraju poligonskog vlaka, koje je po katastarskim pravilnicima
za m j e re n j e poligonskih vlakova dozvoljeno. Kod kratkih je
stranica dapače kod sviju kategorija terena (osim prve) u glavnome zadovoljeno
i drugom kriteriju t. j . o j e pretežno manje od polovice fs


Ponovno naglašavam, da izneseni podaci vrijede za moju osobu kao
račundžiju i za konkretna ispitana računala. Prosječne će sistematske i


slučajne pogreške varirati kod raznih računala i raznih opservatora. Dakle
su rezultati, koji su gore dobiveni, više subjektivne prirode. Svaki opažač
bi za sebe i za svoje računalo trebao da istraži odnos točnosti rada na
računalu spram fs. Ipak izgleda, pošto se u šumarstvu obično radi o razmjerno
dugačkim poligonskim vlacima sa kratkim poligonskim stranicama
kao i o terenima, koji nisu I kategorije, da bi se 50 cm dugačka računala
mogla u šumarstvu i općenito upotrebljavati za izračunavanje koordinatnih
razlika u poligonskim vlacima.


86




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 19     <-- 19 -->        PDF

mičnu skalu. Izmnožio odnosno izračunao sam 50 izraza cl sin v. Dužine
su bile uzete (kao i gore) od 100,00 do 300,00 m, a kutevi iz raznih mjesta
prvoga kvadranta zadani do na minute točno. Pojedine serije od po 10
opažanja dale su slijedeće sistematske, odnosno slučajne pogreške:


*i = -- 0,17%o Xx =-< ± 0,40%«


Ti = + 0,05%« X2 =< ± 0,39%«


.3 = + 0,10%o .,-= ± 0,34%«


.4 = - - 0,02%« -t« = ± 0,55%«


.5 ==a + 0.05%« *, = ± 0,39%«


. + 0,002%« . ± 0,42%«


Prosječna je sistematska pogreška ispala, neznatnom, ali je srednja
slučajna ispala znatno većom nego li kod običnog množenja na računalu
(0,42%o > 0,25%«). Razlog je u tome. što su pojedini najmanji dijelovi
skale sin mnogo širi nego što su pojedini najmanji dijelovi na osnovnim
skalama računala, pa je procjenjivanje dijelova intervala na skali sin teže
i netočnije. Držim da bi skale sin i sinltng trebalo providjeti sitnijim intervalima
odnosno ih po mogućnosti tako konstruirati, da bi točnost, ocjenjivanja
na njima bila približno jednaka točnosti ocjenjivanja osnovnih skala
računala. Možda bi se onda mogla dobiti točnost od cea 0.25%« u računanju
izraza cl sin v i cl cos v.


Tablica III.


r = 0,00%0 . = ±0,42°/.. * = 0,10%o . = ±0,40%0 * = 0,05°/.. /l = ±0.25°/00


L đ =
100 m
d =
200 m
d =
300 m
d =
100 m
d —
200 m
d =
300 m
d =
100 m
d —
200 m
d =
300 m
a a a
1 2 3 4 5 6 7 8 .! 9 10
km m m m m m m m m m
0,5 0.09 0.13 0,16 0,10 0,14 0,17 0,06 0,08 0,10
1,0 0,13 0,19 0,23 0,16 0.20 0.25 0,09 0,12 0,15
1,5 0.16 0,23 0,28 0,22 0,27 . 0.32 0,12 0.16 0,18
2,0 0,19 0.27 0,32 0,27 0,32 0,37 0,15 0,19 0.22
2,5 0,21 0.30 0,36 0.32 0,38 0,43 0,18 0,22 0.25
3,0 0,23 0,32 0,40 0,37 0,44 0,48 0,20 0,25 0,28
4,0 0,27 0.38 0,46 0,47 0,55 0,59 0,25 0,30 0,34


U prvom su dijelu tablice III iskazani iznosi o po formuli 2), izračunati
sat = O,O0oo i X = ± 0,42%n. U srednjem se dijelu tablice nalaze
analogni iznosi za * = 0,10%. i X =. ± 0,4%.. Konačno su u trećem dijelu
tablice izračunati iznosi * uz pretpostavku, kad bi računalo imalo sistematsku
prosječnu pogrešku t = 0,05°/oo a srednju slučajnu u izračunavanju
izraza cl sin v odnosno cl cos v od X — ± Q,25%o.


Iznosi iz rubrika 2, 4, 5 i 7 tablice /// uspoređeni su u si. 6 sa iznosima
fs Vidimo, da je na svim kategorijama terena zadovoljeno prvom
kriteriju, koji smo gore postavili, t. j. iznosi " za moje računanje


85




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 18     <-- 18 -->        PDF

koja imaju skalu S straga na izvlači, možemo to lako postići. Obrnemo
izvlaku i stavimo ju natrag obrnuto i to tako, da skala S dođe tik uz
osnovnu nepomičnu. Brojevi su onda doduše na skali S naopaki, a i sama
skala protusmjerna, ali to zapravo ne smeta. Takova skala onda predstavlja
recipročnu skalu logaritama sinusa, dakle recipročne sin-vrijednosti.
Ako želimo množiti d sin v, moramo nad d osnovne skale naravnati


v skale S, da ispod početka ili svršetka S — skale čitamo d: —.— =


sinv
d sin v. Takovo računanje traži, da su skale S i´S &.T dobro izrađene a
naročito, da su im početne i konačne crtice na ispravnim mjestima. Svakako
je potrebno, da firme izrade skale S i S &. T sa istom točnošću kao
i osnovne skale računala.


Novo računalo Faber 50 cm.


I sistematske i slučajne pogreške računanja mogu se smanjiti tako,
da se računalo poveća . Firma Faber u najnovije vrijeme izrađuje računala
iz posebnog materijala. Sasvim tanke drvene lamele su slijepljene,
pa je iz toga materijala izrezano računalo i na njega su nalijepljene celuloidne
bijele pločice sa skalama. Kabinet za geodeziju na Poljoprivrednošumarskom
fakultetu u Zagrebu nabavio je ovakovo jedno računalo 50 cm
dugačko. Računalu je bila priložena tiskanica, u kojoj se kaže, da je materijal,
iz kog je računalo izrađeno, ispitan u Bavarskoj obrtnoj školi u
Nürnbergu. Srednja čvrstoća na savijanje izmjerena je sa 2450 kg/cm´, a
u dužini skala kod raznih temperatura od —20" do +50° i raznih procenata
vlage zraka (od 0% do 95%) da je mikroskopski ustanovljena
razlika od samo ± 0,01 mm. Firma za takovo računalo kaže, da je
»Klimaständig«.


Računalo Kabineta za geodeziju ima na poleđini izvlake skalu sin,
koja je u protivnom smjeru crveno opisana kao skala cos. Osim toga se
na poleđini izvlake nalaze skale sinltng za kutcve od 34´ do 5°44´ te skala
tng (protusmjerno ctng).


S interesom sam pristupio ispitivanju točnosti rada na tome računalu.
Najprije sam na normalnim skalama obavio 50 množenja. Množio
sam naime 4-znamenkaste brojeve s 4-znamenkastima. Rezultate sam
usporedio sa ispravnim iznosima, koje sam dobio na mašini za računanje.


[trt


U pojedinim sam serijama od po 10 množenja dobio za -^ iznose:


_0,14°/oo, _o,025%o, +0,0877oo, -0,0237.. i_+_0,0747oo, ili prosjek iz


.1 . .


sviju tih iznosa * = -- 0,05%o. Naprotiv je \~^— iznosio u pojedinim
serijama: K = ± 0,25%o, Xa = + 0,14%o, h ~ 0,23%, l* — ± 0.337».,
.5 = ± 0,277oo ili iz sviju opažanja . = ± 0,25%». Moram naglasiti, da
su to zapravo prva moja računanja na tome računalu, dakle se vjerojatno
još ni nisam posve priučio na njegove skale.


Srednja pogreška ± 0,25%o je upravo polovica srednje pogreške,
koju sam dobio na Nestlerovom računalu 21 (0,50%o), koje je bilo samo
polovicu tako dugačko kao ovo Faberovo računalo (t. j . 25 cm).


Da ispitam novo Faberovo računalo za računanje koordinatnih razlika,
okrenuo sam izvlaku tako, da je skala sin došla uz osnovnu nepo


84




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 17     <-- 17 -->        PDF

Zapravo nam gore ± 0,67%o nije predstavljalo čistu slučajnu pogrešku,
već zajedno sa sistematskom. Pošto sistematska iznosi samo cea četvrtinu
apsolutnog iznosa srednje slučajne pogreške, uzet ćemo ovdje kao
da je čista slučajna pogreška upravo * — ± 0,000 67. Time zapravo
uzimamo previše, što kod ovakovih razmatranja kao što su ova — opreza
radi — ne može da škodi.


Slika 5 prikazuje grafički odnos o spram iznosa U. Prema prvom
kriteriju, koji je gore naveden, mogli bismo s takovim logaritmarom kod


stranica oko 100 m na svim kategorijama terena računati koordinatne
razlike, kod d = 200 m samo na II., III. i naravno IV. kategoriji,
a kod cl = 300 m općenito samo u slučaju optičkog mjerenja


dužina običnim daljinomjerima. Po drugom kriteriju [o < —] mogli bi


samo na terenu IV. kategorije računati vlakove s logaritmarom.
Iz svega vidimo, da sistematske pogreške igraju odlučujuću ulogu
kod računanja čitavih vlakova. Treba nastojati, da te pogreške budu^što
manje. Pogreška bi indeksa bila sasvim eliminirana, kad bi se skala < sin
nalazila na izvlacii i1 pomicala tik uz osnovnu nepomičnu. Kod računala.


83


i




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 16     <-- 16 -->        PDF

vrijede onda za završnu nesuglasicu iznosi iz tablice I. odnosno odnosi
iz si. 3.


Pređimo iz ekstrema D = 0 na ekstrem ispruženog vlaka t. j . D = L.


Onda je ? = iL. Za * = —0,000 15 i razne L to daje iznose:
L/km = 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
f/m = 0,075 0,150 0,220 0,300 0,375 0,450 0,525 0,600


Kombinacija slučajnih i sistematskih pogrešaka.


Ako je slučajna pogreška na kraju poligonskog vlaka definirana


XL
izrazom V= ,/—— , a sistematska izrazom ? = ^L, onda je rezultanta


. li


iz oba izvora pogrešaka


r -. I 1% T.i . I li


2)


Tablica II. daje iznose po toj formuli i to za ^ = 0,00015,
. = ± 0,67%o i d = 100 m, 200 m i 300 m, L — 0,5, 1,0 4,0 km.


Tablica II


d = 100 m d = 200 m d = 300 m


L
a


hm m m ».


0,25 0,11 0,15 0,18
0,50 0,16 0,22 0.27
1,00 0,26 0,34 0,40
1,50 0,34 0,44 0,50
2,00 0,42 0,52 0,60
2,50 0,50 0,60 0,69
3,00 0,58 0,69 0,77
4,00 0,73 0,85 0,94


82




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 15     <-- 15 -->        PDF

—0,167oo, —0,22°/ÜO, —0,13°/.. ili prosječno —0,15%o. Ovdje je karakter
predznaka između pojedinih serija opet očit.


Uzmimo da su skale same po sebi ispravne, a nađene sistematske pogreške da
su prouzrokovane u glavnom samo ličnom pogreškom opažaoca te pogreškom indeksa
(<5). Ako lično za L sistematski pogrešno procijenjujem, svako namještanje i svako
čitanje, onda kod običnog množenja zapravo trostruka takova pogreška ulazi u rezultat,
dvije pogreške namještanja i jedna očitavanja. Dakle prema gornjim podacima


3 L + 0 . = — 0,11%.. Kod vađenja samo sinusa djeluje na rezultat jedamputa L na
skali dakle 2 L + . = — 0,042%o. Kod vađenja cosinusa djeluje jedamput L u protivnom
pravcu, jer je skala < cos protusmjerna, zatim jedamput na osnovnoj nepomično;
skali sa svojim prijašnjim predznakom, a osim toga im se pridružuje ., dakle treća
jednadžba bi glasila — L + L + (5 = — 0,009%o. Analogno se dobiva iz gornjih podataka
t. j . izračunavanja d sin v četvrta jednadžba 4 L + . = — 0,15´}°o. Za -izračunavanje
iznosa L i . imamo dakle 4 jednadžbe t. j. :


.. + 0(5 = — 0,11


2 L + 1. = — 0,042


0 e 4-1 . =. ~ 0,009


4 L -. 1 . = — 0,15


Iz tih se jednadžbi po teoriji najmanjih kvadrata izračuna L = — 0,036%o i
..: = + 0,005%o. Pošto pogrešci od 0,1 mm na 25 cm dugačkoj logaritmičkoj skali odgovara
cea 1%., iznosu od — 0,036%o odgovara — 0,0036 mm. Za toliko sistematski
procijenjiujem na svom računalu prenisko. Iznosu . odgovara još manja vrijednost.
Dakle je indeks na konkretnom računalu razmjerno vrlo točno smješten. Nažalost se
to ne može da kaže za sva logaritmička računala. Računala imadu nakon dulje upotrebe
često kose indekse. Osim toga sam na više računala, koja imadu straga na izvlači
skale S i S & T, kad sam izvlaku tako obrauo, da je skala S došla uz osnovnu nepomičnu
opazio, da je čitava skala prekratka ili predugačka. Ovakove se nesuglasice
prostim okom nikako ne bi smjele dati ustanoviti.


Iz gornjih pokusa dakle izlazi sistematska pogreška od cea


— 0,15%o = . = —0,000 15 u računanju izraza d sin v. Uzmimo zbog
jednostavnosti, da su s istom sistematskom pogreškom opterećeni i iznosi
.. = d cos v. Kakav upliv ima takova pogreška na završnu linearnu
nesuglasicu u vlaku? Ako je prva razlika apscisa pogrešna za TJJCI, ordinata
za .... druga za i&Xi, ...2 itd., onda je linearna nesuglasica na
kraju prvog para koordinatnih razlika prije izravnanja


/(TAs^ + Myi)2 = . yrd?>


na kraju drugog para


....., + Ax2y + .* {AVl -f Ay2)* itd.,


a na kraju čitavog vlaka


Izraz pod korjenom zapravo označuje linearnu udaljenost D između za


vršne i početne točke u vlaku (si. 4).


Ako je D = 0 t. j. , ako se radi o vlaku, kome je završna točka ujedno


početna, dakle o vlaku, koji svršava sam u sebi, sistematske pogreške


nemaju upliva na završno linearno odstupanje u vlaku. Kod takovog vlaka


81




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 14     <-- 14 -->        PDF

1—2—1, dok srednja ne pripada sasvim točno logaritmu aritmetičke sre


dine 1—2—0—5. Razlika u logaritmima je


log 1-2-0-5 - ^.^.. = m)0 0037.


Analogna razlika na najdužem intervalu računala t. j . intervalu između


4—0—0 i 4—0—5 je


log 400° log 4050


log 4025 -+-= 0,000 0084.


Konačno na kraju računala na pr. između 995 i 1000 imamo:


5 tog 1Q0°


tog 9975 -i^ 9 ± = 0,000 0014.


Ovim iznosima odgovaraju procentualne pogreške numerusa: 4 = 0,008°V
K = 0,02%o i 4 = 0,003%o, dakle upravo neznatne veličine.


Da ustanovim, kolik je sumarn i upli v sviju sistematskih pogrešaka
kad računam na svome računalu 21, dakle i instrumentalnih i
mojih Hčnih, razmotrio sam najprije već spomenutih 50 primjera množenja
na osnovnim skalama računala. Primjere sam razdijelio u 5 serija od po
10 množenja. Zbroj sviju promilnih odstupanja u prvoj seriji dakle [»]
iznašao je —1,13%o, u drugoj — 1,32%., trećoj —1,32%., četvrtoj —0,56°/oe
i konačno u petoj —1,32%.. Odmah se vidi, da iznosi » nemaju posve slučajan
karakter. Opterećeni su sistematskom komponentom. Prosječnu
sistematsku pogrešku dobivamo, ako zbroj: (—1,13) + (—1,32) +


+ (—1,32) + (—0,56) + (—1,32) razdijelimo sa brojem opažanja t. j . sa
50. Dobivamo —0,11%.. Dakle kod običnog množenja mogu očekivati sistematski
za 0,11%. premalene rezultate. Vrlo vjerojatno ja lično -procjenjujem
na logaritmaru prenisko.
Nadalje sam si zadao 50 primjera za vađenje sin v (bez množenja
sa cl). Za iste kuteve izvadio sam na računalu i cos v. Pri tome sam operirao
samo iz skale < sin odnosno < cos na osnovnu nepomičnu skalu. Pri


[v]
mjeri za sin v opet razdijeljeni u 5 serija od po 10 primjera dali su za -——


ti


unutar pojedinih serija ove iznose: + 0,20%o, —0,22%o, 4- 0,032%o


— 0,16%o, — 0,066%o. Prosjek iz sviju 5 serija — 0,042%o. Iz varijabilnosti
se predznaka između pojedinih serija može zaključiti, da ovdje karakter
sistematske pogreške nije tako jasan i određen, kao kod pokusa sa običnim
množenjem. Naglašavam, da sam kod primjera za vađenje sin v hotice
izbjegavao kuteve manje od 5" (a kod cos v kuteve veće od 85").* Primjeri
[v]
za cos v dali su unutar pojedinih serija slijedeće iznose za ~


ft


—0,048%o, —0,061 %o, —0,026700, +0,0257,,,., -4-0,066?/«,. Proječno — 0,0097..
Po predznacima opet vidimo, da karakter sistematske pogreške nije posve
očit.


Konačno je naprijed spomenutih 50 primjera za izračunavanje iznosa


d sin v dalo za pojedine serije slijedeće iznose: —rv- : —0,12%o, —0,12%.,


* Kako sam već rekao, računanja sam izveo na svome računalu Nestler \>x. 21,
a ne na računalu 211. Usput spominjem, da sam na nekim računalima 211 opazio, da
su im konstante za sin 1°, sin 1´ i sin 1" dosta netočno smještene.
80




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 13     <-- 13 -->        PDF

Sistematske pogreške.


Što je gore rečeno o odnosu završnih odstupanja u poligonskim vladina
vrijedi: 1) samo za konkretno računalo i moju osobu
ka o raču n džij u i 2) uz bitnu pretpostavku da nema sistematskih
pogrešaka u računanju (a naravno ni grubih).


ad 1) Analognim ispitivanjem kao gore može si svatko sam odrediti
svoju srednju pogrešku i njen odnos spram fs .
ad 2) Pitanje je sistematskih pogrešaka vrlo važno. Ako ih ima,


XL


onda više ne vrijedi razmjerno povoljan zakon 77=^. Moramo dakle da


razmotrimo: kolike sistematske pogreške računanja na računalu možemo
očekivati. Te pogreške u glavnom izviru iz 3 izvora: iz samog računala,
iz vanjskih okolnosti na pr. iz osvjetljenja i konacnq iz nas lično.


Medu sistematske pogreške samog računala spadaju pogreške
aproksimacije računanja sa iznosima sin /", sin 1´, sin 1", pogreške uzimanja
najmanjih skalnih intervala kao da su unutar sebe homogeni (što
kod logaritmičkih skala zapravo nije slučaj), pogreške indeksa, pogreške
podjeljenja itd.


Aproksimacija sin v° = vft sin f proizvodi sistematsku pogrešku
v° sin f — sin v° za


v«= 0,5° 1° 2° 3° 4° 5°


-.,06%. 0,0 -0,11% , — 0,38»/oo — 0,75°/oo — l,20°/oo


Dakle, ako neki ispruženi vlak, kome su smjerni kutevi stranica baš svi
nešto malo manji od 5°, računamo sa računalom 21 t. j . sa konstantom
sin 1" = 0,01745, odstupat će \A y\ u vlaku samo uslijed tog izvora pogrešaka
za 7,20%o [. .]. Uz pretpostavku, da su apscisne razlike bespogrešne,
odstupat će zadnja točka vlaka za isti iznos. Zapravo su kod smjernih kuteva
manjih od 5° iznosi &y razmjerno maleni tako, da će i iznos /,2°/oo
[^ y\ biti također razmjerno malen. Pošto se kod ispruženog vlaka može
približno uzeti [..] = L sin v, izlazi kao maksimalna pogreška završne
točke uslijed promatrane sistematske pogreške: /,2°/o« L sin 5" —
= /,2%o L 0,087 = 0,105°/. L, dakle na 1000 m ( = L) 0,1 m. To je maksimalna
pogreška uslijed aproksimacije v° sin l" = sin v° t. j . za najnepovoljniji
slučaj, kad vlak ide sav upravo u onome smjeru, gdje je ta pogreška
najveća. Potpuno isto vrijedi za . .], kad vlak ide u smjeru od
cea 85°. Sistematska pogreška računanja po formuli v°
sini" eliminirana je gotovo posve kod onih računala,
koja za vađenje sinusa od 34´ do 5°44´ imadu posebnu
skalu, redovno označenu slovima S&7. Takove se skale
kod običnih računala redovno nalaze na stražnjoj strani izvlake. Ako sa


skalama S i S & . kod takovih računala želimo računati izraze dsin v i
dcos v kao i sa računalom 21, moramo izvlaku izvući, obrnuti, opet uvući
i tako upotrebljavati za računanje đ sin v i d cos v. Ö tome će još kasnije
biti govora.


Sistematska pogreška uslijed uzimanja homogenosti skalnih intervala
nastupa na slijedeći način. Ako je na pr. indeks na sredini između
crtica T— 2—0 i 1—2—1, uzimamo da je čitanje 1—2—0—5. Zapravo nije
toliko, jer mlada crtica pripada logaritmu od 1—2—0 a starija logaritmu


79




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 12     <-- 12 -->        PDF

Poznato je, da postoji vjerojatnoča od 997°. da u nizu opažanja konkretna
pogreška neće prekoračiti trostruku srednju. Kod povećanja srednje
pogreške na 1,12 njenog prvotnog iznosa postoji vjerojatnoča od 993%o,
da ista ona prvotna granica (kod nas A) neće biti prekoračena. Ako se
zadovoljimo s ovakovim kriterijem, onda bi mogli — uz pretpostavku, da


kod rada s računalom nema sistematskih (a naravno ni grubih pogrešaka



računati koordinatne razlike u poligonskim vlacima:
a) u slučaju IV. t. j . optičkog mjerenja dužina običnim daljinomjerima;
b) na terenu III. kat. kod vlakova dužih od cea 2 km i stranica
kraćih od
cea 200 m (dužine u vlaku mjerene vrpcom od 20 m);
c) na terenu II. kat. tek kod vlakova preko cea 3 km.


78




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 11     <-- 11 -->        PDF

daljinomjerima. Poznato je, da optički mjerene dužine ne bi smjele da
prelaze 1,3 do 1,5 multiplikacione konstante daljinomjera u metrima,
dakle, ako je K = 100 ne bi smjele da prelaze cea 130 do 150 m. Prema
tome se kod običnog optičkog mjerenja dužina redovno radi o kraćim


stranicama, za koje od prilike vrijedi najdonja krivulja u si. 3 za
a najgornja za /


Tablica I.


Dažina Stranice u vlaku dugačke Kategori a terena
vlaka đ = 100 m d = 200m d = 300 m I II III IV
L . f.
hm m m m m m m >.
0,5 0,15 0,21 0,26 0,19 0,23 0,27 0,41
1.0 0,21 0,30 0,37 0,32 0,39 0,45 0,67
1,5 0,26 0,37 0,45 0,43 0,54 0,62 0,93
2,0 0,30 0,42 0,52 0,56 0,68 0,79 1,18
2.5 0,33 0,47 0,58 0,68 0,83 0,96 1,44
3.0 0,37 0,52 0.63 0,80 0,97 1,13 1,69
3.5 0,40 0,56 0.69 0,91 1.12 1.29 1,94
4,0 0,42 0,60 0,73 1,03 1,27 1,46 2,19
4,5 0,45 0,64 0,78 1,15 1,41 1,63 2,44
5,0 0,47 0,67 0,82 1,27 1,55 1,79 2,70


Možemo se pitati za kriterij, po kome bi se odlučili na računanje
koordinatnih razlika logaritmarom. Netko na pr. može reći: računat ću
u onim slučajevima, u kojima mogu uslijed rada s računalom očekivati
manje ili najviše približno jednake srednje pogreške nego li iz ostalih
izvora pogrešaka, dakle imanje od/s. Usvojimo li taj kriterij, to bi se
koordinatne razlike mogle računati logaritmarom u glavnom kod sviju
kategorija terena uz iznimku I. za vlakove ispod cea 1,7 km i II. za vlakove
ispod cea 0,8 km. Ali propisi A) su nastali uz pretpostavku, da se
koordinatne razlike računaju logaritmima ili mašinom za računanje, a ne
logaritmičkim računalom. Ako dakle usvojimo malo prije spomenuti kriterij,
morali bi zapravo povećati maksimalno dozvoljene iznose A). Ali
pošto šire dopustive granice mogu i da prikriju koju grubu pogrešku u
radu, rade ćemo postaviti stroži kriterij: neka je dozvoljeno računati
koordinatne razlike logaritmarom u slučajevima, gdje se iz toga može
očekivati mnogo manja recimo samo od prilike pol a tako velika srednja
pogreška, nego što se može očekivati iz ostalih izvora pogrešaka. Time
pogreška uslilj´ed rada s logaritmarom postaje tako rekući drugostepena


veličina. Pošto tražimo da je u glavnome najviše . = -z" > rezultanta od


najvećeg . i / će iznositi


.7.7 -.^-+/*2=. .^. =. V1-25 = .2 h


.




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 10     <-- 10 -->        PDF

Što je (uz inače jednake okolnosti) veći broj poligonskih stranica,
to će uz pretpostavku da nema sistematskih pogrešaka, završna pogreška
u odnosu spram dužine čitavog vlaka biti manja. Kratke stranice su sa
gledišta računanja koordinatnih razlika logaritmičkim računalom povoljne
u dva smjera: 1) manjim relativnim odstupanjem na kraju vlaka i
2) manjim apsolutnim pogreškama rada s logaritmarom unutar vlaka (jer
su stranice kraće, pa je s njima točnije množenje.


Kriterij za računanje koordinatnih razlika logaritmarom.


Kratke su stranice i vlakovi s mnogo točaka čest slučaj u šumarstvu,


.


pa nastaje pitanje, u koliko spomenuto odstupanje V= ..~— -^na pr. sa


. ih


A = 0,67%o odgovara zahtjevima obzirom na točnost poligonskih vlakova.
Po Pravilniku o katastarskom premjeravanju dozvoljeno je maksimalno
linearno odstupanje na kraju teodolitom mjerenog vlaka:


za I. kategoriju terena />.. = 0,01 / 4 L -f 0,005 IPza
II. » » /ma*s = 0,01 .. L + 0,0075 L*>. . . A)
za III. » » /«,*, = 0,01 V8L + 0,01 I> j
Kod optičkog mjerenja dužina običnim daljinomjerima na terenu III.


kategorije dozvoljeno je 50% više, dakle 0,015 / 8 L + 0,01 L\
To su maksimalno dozvoljena odstupanja. Za s r e d nj a
odstupanja se može uzeti da iznose trećinu, dakle:


I . . . . .; = 0,0033 /4L + 0,005 -L2
. . . . . f, = 0,0033 VWL -f 0,0075 L* ß )
. . . . ./„ = 0,0033 VTL + O.Ol L2
IV ... . /, = 0,005 VS L + 0,01 L*


Usporedimo te iznose sa iznosima V = \.— L. Uzmimo pritome


najprije, da su stranice u vlaku po 100 m dugačke zatim po 200 m i konačno
po 300 m. Poredenje je prikazano u tablici I. i grafički u slici 3.
Vidimo, da je za kratke stranice t. j . za cea d = 100 m . u glavnom
stalno manje od srednje pogreške, koja izvire iz ostalih izvora pogrešaka
i to kako kod I. tako i kod II. i III. kategorije terena, da o IV. i ne govorimo.
Kod d = 200 m je V manje od /srednje na I. kategoriji terena tek
kod vlakova dužih od cea 800 m, dok je za sve ostale kategorije terena
u glavnom manje od/š. Kod d = 300 m je . manje od/s na I. kat. terena
za vlakove duže od cea 1,6 km, na II. kat. za vlakove duže od cea 800 m,
na III. kat. za vlakove duže od cea 400 m, dakle praktički na potonjoj
kategoriji terena za sve vlakove, a naravno da je . manje od /» za
d = 300 m pogotovo za slučaj IV. t. j . optičkog mjerenja dužina običnim


76




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 9     <-- 9 -->        PDF

brojevi (preko 100,00 a manji od 300,00 metara) izražene do na centimetre
t. j . na dvije decimale, kakove i dolaze kod računanja koordinatnih
razlika u poligonskim vlacima. Poređenjem ispravnih iznosa dsinv sa
iznosima, koje sam dobio logaritmarom, dobio sam srednju relativnu
pogrešku + 0,67°/oo. Za izračunavanje serije od 10 primjera đsin v trebao
sam pri tome svega oko 4,5 vremenske minute.


Pretpostavka da se radi samo o slučajnim pogreškama.


Ako se dakle zadovoljavam time, da mi pojedine koordinatne razlike
u poligonskom vlaku budu unutar cea 3 : 0,67%o = ± 2%o netočne,
mogu upotrebiti računalo 21 za računanje. U protivnom ću ga upotrebiti
samo za kontrolu računanja koordinatnih razlika.


Srednja pogreška ± 0,67°/oo = ± 0,000 67 — A dobivena je za po jedin
e koordinatne razlike (100,00 < d < 300,00). Pitanje je sada,
kolika se uslijed toga izvora pogrešnosti može očekivati završn a li nearna
pogreška odnosno završno linearno odstupanje
na kraju čitavog poligonskog vlaka? Završno odstupanje
ovisit će o dužini i broju poligonskih stranica odnosno o dužini
i obliku poligonskog vlaka, a naravno u velikoj mjeri i o tome, kolik dio
od A ima karakter sistematskih pogrešaka. Ovdje ćemo najprije pretpostaviti,
da je A sav čisto slučajna pogreška.


Neka su stranice u poligonskom vlaku dr, 4.... d , a njihovi smjerni


kutevi ili! t. zv. »nagibi«: Vi, v 2 .. . v„. Uz pretpostavku, da se radi o slu


čajnim pogreškama rada sa računalom, srednje pogreške pojedinih
apscisnih razlika bit će XAxv .... ..., a pojedinih ordinatnih AAyu
XAy2- -AAyn. Srednje linearno odstupanje poligonske točke na kraju prvog
para koordinatnih razlika bit će:


....^. + .....* = X VAX\ + Jy\ ´ = A Vdf,


na kraju drugog para:


X .{.... + (äyty + (A*)* + (...* = X Vd\+d\


i


itd. Završno srednje linearno odstupanje poligona uslijed tog izvora po


grešaka bit će dakle:


n = . VW+W+ :77^l.


Uzmimo, da su stranice unutar vlaka međusobno jednako dugačke,
dakle dt — đ* .... dn. Onda je:


-1 XL
m=z + XV nd* = + X n d 77— = + 77— 1)
— . n . n
gdje je nd = L dužina čitavog vlaka, a n broj poligonskih stranica.
75




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 8     <-- 8 -->        PDF

t. J. crveni 70 na < fos-skali, jer je sin 20° = cos (90ft—20°) == cos 70".
Ako dakle želimo dobiti cos v, namjestimo indeks na v crvene < cos-skale
i na osnovnoj nepomičnoj čitamo pripadni cos v. Potonji se
ovdje odmah može dalje da množi na pr. sa cl da se dobije clcos v. Izrazi
se dsin v i dcos v u geodeziji vrlo mnogo upotrebljavaju.
Iz skale < sin na skalu cos, koja se nalazi tik ispod osnovne nepomične,
možemo čitati cos. Isto tako iz skale < cos na skalu cos možemo
čitati sin. Time možemo povećati točnost sinusa ili cosinusa. Kad
je kut manji od 45°, preporuča se vaditi s i n iz skale < sin na skalu sin,
a kad je veći od 45°, onda iz skale < cos na skalu cos. Obratno c o s,
kad je kut manji od 45°, iz skale < cos na skalu sin. Ali pošto sa veličinom, koja je na cos-skali, ne možemo
odmah dalje automatski množiti, prelazim zasada preko upotrebe
skale cos.


Na skalama ali su dijeljeni dekatski. Za izvjesne geodetske potrebe bi možda
bilo bolje, da je stupanj dalje dijeljen seksagezimalno. Seksagezimalne se
minute pretvaraju u desetinke stupnja tako, da se podijele sa 6. Naprotiv
je za računanje busolnih vlakova, koji su mjereni običnom busolom bolje,
da je seksagezimalni stupanj dijeljen dekatski, jer je i na samoj busoli
najbolje očitavati u desetinkama stupnja.


Kad je kut manji od 5ft, može se uzeti, kao da je približno sin v" =
= v° sin 1" ili sin v = v´ sin /´, odnosno sin v" = v" sin 1". U tu su
svrhu konstante sin 1°, sin 7, sin 1" crvenim crticama posebno označene
na nepomičnoj osnovnoj skali računala 21 Z i opisane sa 1°, ., 1".
Zapravo je sin 1" = 0,01745, sin i = 0,000 2909, sin 1" = 0,000 00484$,
dakle prva konstanta ima —/, druga —3, a treća —5 cijelih mjesta.


Da za svoju osobu ustanovim točnost mog primjerka računala 21,
najprije sam na osnovnim skalama izmnožio 50 raznih produkata. Sve
same tro- odnosno četveroznamenkaste brojeve sa tro- odnosno četveroznamenkastima.
Pojedine sam rezultate zatim točno izračunao i sa mašinom
za računanje. Razlike sam između točnih rezultata i rezultata na
računalu izrazio u promilama (*>) ispravnih rezultata. Sumiranjem kva


1/ [vv]


drata |wj tih promilnih odstupanja i uzimanjem »»= .— — izračunao


sam srednju relativnu pogrešku pojedinog množenja na
osnovnim skalama računala. Za moju je osobu izašlo kod spomenutih
pokusa, da je m = ± 0,50°/o». Dakle je moja srednja pogreška množenja
tolika. Maksimalna bi onda bila (bez obzira naravno na grube pogreške)
od prilike trostruko tolika, dakle cea ± /,5%». To znači općenito na tri
do 4 znamenke točan rezultat.


Zatim sam si zadao 50 raznih primjera za izračunavanje izraza
dsin v, kako bi vidio, kolike ću relativne pogreške dobiti i da li se takovo
računalo* može upotrebiti za računanje koordinatnih razlika u poligonskim
vlacima. Kutevi su bili uzeti iz raznih mjesta prvoga kvadranta, o
čemu će još i kasnije biti govora. Dužine d bili su sami 5-znamenkasti


* Zapravo moje računalo, koje sam. kod toga upotrebio, nije bilo 21 Z, već
Nestler 21 t. i. bez posebnih crvenih oznaka za sini", sini´, sini".
74




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 7     <-- 7 -->        PDF

Rekao sam kvadratna skala, kubusna itd. a zapravo su to logaritmičke
skale, ali opisane sa pripadnim argumentima. Sa osnovnim se skalama
i recipročnom množi i dijeli, iz osnovne se na kvadratnu kvadrira,
odnosno obratno vadi se drugi korjen, iz osnovne se na kubusnu vade
treće potencije i obratno treći korjeni, iz osnovne na log.-skalu mantisc
dekatskih logaritama i obratno antilogaritmi. Iz skala < sin (^< tang (< ctg) na osnovnu (sin) ili recipročnu odnosno na skalu cos
vade se pripadni sin, cos, tang, cotng.


Računanje izraza dsin v i dcos v.


Nas naročito interesira vađenje sin i cos na računalu 21. Slika 2 pokazuje
pomicaljku (Läufer) tog računala. Namjestimo li srednji indeks
pomicaljke na kakav broj nepomične osnovne skale, na skali < sin čitamo
pripadni arcsin u stupanjskoj mjeri t. j . kut, čiji je to sinus Namjestimo
li obratno indeks na koji kut skale < sin, čitamo na osnovnoj nepomičnoj
skali pripadni sin. Zato uz osnovnu nepomičnu skalu i piše sin. Na < sinskali
naneseni su logaritmi sinusa kuteva od 5° do 90° i opisani samim
argumentom (kutem). Ako dakle iz skale < sin na skalu sin čitamo
pripadni s i n, onda taj sinus ima 0 cijelih mjesta za kuteve od 5°44´ do
90°, jer je sin 5°44´ = 0,1, a sin 90° =1,0. Prednost je dispozicije skala


< sin i sin u tome, što se sa nađenim sin v može odmah dalje (bez njegovog
očitavanja) da množi. Umnožak se cl sin v na računalu izračuna na
slijedeći način: Indeks se postavi na v skale < sin. Na osnovnoj se nepomičnoj
skali onda isod indeksa nalazi pripadni sin v, koji! se pomicanjem
izvlake odmah množi sa cl.
Skala < sin je u suprotnom pravcu opisana crveno kao < ras-skala
«{čitaj arceos) . Na pr. brojci 20 na < sm-skali odgovara komplement


73




ŠUMARSKI LIST 3/1941 str. 6     <-- 6 -->        PDF

Dr. NIKOLA NEIDHARDT (Zagreb):


RAČUNANJE KOORDINATNIH RAZLIKA U
POLIGONSKIM VLACIMA KAO I NEKIH
DRUGIH IZRAZA LOGARITMIČKIM
RAČUNALOM


(BERECHNUNG DER KOORDINATENUNTERSCHIEDE IN
POLYGONZÜGEN SOWIE ETLICHER ANDERER AUSDRÜCKE
MITTELS DES RECHENSCHIEBERS)


A. RAČUNANJE KOORDINATNIH RAZLIKA
Računalo 21 Z


Logaritmičko računalo (logaritmar) je vrlo praktično računsko pomagalo.
Prigrlili su ga naročito građevinski, mašinski i geodetski inženjeri
za svoje kalkulacije. Među inženjerima šumarstva i poljoprivrede
nažalost još nije toliko u upotrebi. A ipak može da bude vrlo koristan
i za ove struke. Stoga sam pod predmetom geodezije na Poljoprivred.nošumarskom
fakultetu u Zagrebu uveo i kratku obuku o tom čarobnom
štapiću računanja. Mislim, da bi bilo korisno, kad bi se takova obuka
uvela i u srednje škole. Srednjoškolci rade s logaritmima, logaritmiraju,
riješavaju brojne zadatke i kad to sve svrše, nije im pravo
jasno, čemu su logaritmi stvoreni. U njima ostaje kao neki dojam, da su
pronađeni samo zato, da srednjoškolcu otežaju život. Na logaritmičkom
računalu se jednim pogledom očituje sva prednost logaritama, upravo bih
rekao sva njihova matematička elegancija. Za srednje škole bi se mogla
izrađivati mala računala iz kartona u celuloidnim oklopima, kakova su
na pr. neke firme dijelile za reklamu. Takovim bi računalima bila jeftina
nabavna cijena, a opet bi se s njima postigla svrha.


U nastavi iz geodezije na Poljoprivredno-šumarskom fakultetu u Zagrebu
preporučam slušačima, da si nabave računalo Nestler br. 21 Z. To
je računalo sistem Darmstadt, izrađeno po predlozima Tehničke visoke
škole u Darmstadtu a na predlog nastavnika Tehničkog fakulteta u Zagrebu
g. Ing. Borisa* Apse na nadopunjeno oznakama za sin f,
sin 1´ i sin 1". Računalo se zato i zove 21 Z, što će reći »Zagreb«. Općenito
je uvedeno na zagrebačkom-Tehničkom fakultetu.


Računalo 21 Z ima ove skale (si. 1): 1) osnovnu nepomičnu (uz nju
piše sin); 2) osnovnu pomičnu; 3) recipročnu (protusmjernu); 4) pomičnu
kvadratnu; 5) nepomičnu kvadratnu; 6) kubusnu; 7) skalu za
vađenje logaritama; 8) milimetričko mjerilo; 9) cos-skalu; 10) < sinskalu
(odnosno u protivnom smjeru crveno opisanu (suprotno crveno < cotng). Osim toga se na poleđini. izvlake nalazi.
12) skala označena sa ex.


71