DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 33 <-- 33 --> PDF |
U općoj jednadžbi gospodarskog ravnotežja: Au -f Da 10p«—a + = (JB + V) (1,0 p» — 1) -f C 10j>« stoje veličine . «*, p međusobno u takvom odnosu, da se jedna veličina kao nepoznanica može ustanoviti računo m iz drugih dviju poznanica, a ne procjenom. Ove tri veličine jesu ekonomski o s n o v za vođenje šumskog gospodarstva. Na osnovi gore izloženog može svaki šumarski stručnjak dobiti osvjedočenje, da je dosadanji naziv »Računanje vrijednosti šuma« dobar, da on potpuno odgovara sadržini ove nauke, te da nema opravdanog razloga da se uvađa novi naziv »Procjena šuma«. RESÜMEE. Es besteht bei uns in neuester Zeit eine Bestrebung, die »Waldwertrechnung « mit dem Ausdrucke »Waldschätzung« umzutaufen. Der Verfasser äussert sich hier dagegen. Prof. Dr. A. LEVAKOVIĆ (Zagreb): O NEKIM FORMULAMA ZA PROSJEČNI POSTOTAK PRIRASTA (ÜBER EINIGE FORMELN FÜR DAS DURCHSCHNITTLICHE ZUWACHSPROZENT) I. Kao što je poznato, postotak godišnjeg prirasta u osnovnoj formi nije ništa drugo, već sto puta uzeti omjer između godišnjeg prirasta i same one veličine, koja se je u godini dana za dotični iznos prirasta povećala. Ovaj osnovni izraz za postotak prirasta glasi dakle : p = 100 . — (1) v gdje z označuje iznos godišnjeg prirasta, a v iznos veličine, koja je za taj iznos prirasta porasla, dakle iznos, što ga je ova veličina imala na početk u dotične godine. Ova osnovna postotna formula upotrebljuje se u svim granama narodne privrede, kad treba da se ustanovi, sa kolikim se procentom ukamaćuje iz godine u godinu kaka v bil o kapital, koji odbacuje izvjesnu sumu godišnjih kamata. Kao što je poznato, godišnjim kamatima novčani h kapitala odgovara u šumarstvu godišnji prirast, dakle s jedne strane prirast drvne mase, s druge strane prirast vrijednosti, a s treće prirast skupoće. Ja ću ovdje direktno govoriti samo o prirastu drvn e mas e i njegovom procentu, jer što vrijedi za ovaj procenat, vrijedi u glavnom i za procenat drugih vrsta prirasta. Kad bismo za svaku pojedinu godinu mogli iznos z ustanoviti s dovoljnom točnošću i kad pojedini z- iznosi ne bi iz godine u godinu tekli vrlo nepravilno, onda bismo postotak prirasta mogli uvijek da izračunavamo po gornjoj vrlo 215 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 34 <-- 34 --> PDF |
jednostavnoj formuli. No naročito spomenuti, vrl o nepraviln i to k prirasta (pa prema tome i prirasnog postotka) iz godine u godinu razlogom je, da nas faktično ni ne zanima zbiljn i procenat godišnjeg prirasta, već samo prosječn i iznos godišnjeg procenta, a prema faktičnom stanju u zadnjih nekoliko godina (5 ili 10). Iz ovoga neposredno izlazi, da bi izraz za izračunavanje toga prosječnog prirasnog postotka imao prema svojedobnoj Schiffelovo j načelnoj formulaciji (Centralblatt für das gesamte Forstwesen 1910, str. 11—13) da glasi: .(. + p2 + +pn) (2) 100 . + ++ n n »0 V, gdje n naznačuje ukupni broj zadnjih nekoliko godina, brojnici zn z2,- apsolutn e iznose prirasta za pojedine od tih n godina, a nazivnici v0, v17 t>%- drvne mase na početku pojedinih dotičnih godina ili — što je isto — na koncu pojedinih predidućih godina. Prema ovoj Schiffelovoj formulaciji izlazi dakle prosječni godišnji postotak unutar periode kao aritmetička sredina od svih pojedinačnih prirasnih postotaka (godišnjih naravski) unutar iste periode. Na žalost ova po sebi vrlo jednostavna, pa i posve ispravna Schiffelova formula praktički je neupotrebiva (kako je to na spomenutom mjestu istaknuo i sam Schiffel), jer je zapravo nemoguće — osim kadšto kod visinskog prirasta — sa dovoljnom točnošću ustanoviti pojedine njezine komponente. Stoga se mjesto nje s pravom primjenjuju izvjesne formule, koje imaju jedno važno praktično svojstvo : da naime pored broja godina (») sadrže u sebi samo one drvne mase, što ih je stablo (sastojina) imalo na početk u i na konc u prirasne periode, t. j . drvne mase: v0 = v ; vn — V (3) Među ovakove formule spada u prvom redu jedna od najstariji h formula za prosječni godišnji postotak prirasta t. j . Leibnitzov a formula: . = .» (yplr -x ) (4) koja definira prosječni godišnji procenat kao diferenciju između varijabilnog w-t°g korjena i jedinice. Pored nje okupirat će ovdje glavni moj interes najmlađ a formula ove vrste t. j. Tursky-eva formula: 100 . V p == Log — (5) = 100 -Log J — koja, kao što vidimo, definira prosječni godišnji procenat kao naravn i toë logaritam varijabilnog n- korjena. Ova formula ugledala je svjetlo svijeta istom nakon rata i to u Rusiji. U našu literaturu prenio ju je g. prof. Senši n (Uređenje šuma, Beograd 1934, str. 21—24). Presslerova formula i formule, koje se naslanjaju na nju, neće ovdje biti predmetom raspravljanja, pa ih stoga ni ne navodim. 216 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 43 <-- 43 --> PDF |
je poznato, geometrijsk a sredina nejednakih međusobno iznosa manja je od aritmetičk e sredine. Aritmetička sredina od izraza nalaznih gore pod znakom korjena t. j . 100/^+ UV ^ + ^ r ++ i ´ 100, 100/. . l A = . . (40) n može neznatnom transformacijom da se vrlo ujeđnostavni, pa dobiva oblik : A - i _i_ Pl + ^ d bfe — 1 4_ ^ .4. 4 -M ..." -1 + ".. " ^1´ Ona dakle nije ništa drugo, već za 1 uvećana stotinka Schiffelovog procenta. Ako sada primijenimo spomenuto pravilo, da je aritmetička sredina veća od geometrijske, pa ako dosljedno tome postavimo nejednadžbu: l + _^Ü>(l+ ^ Ü (42) ^ 100 / * \ ^ 100 / { ´ onda iz nje neposredno izlazi : PS>PL (43) čime je dakle dokazana prijašnja tvrdnja, da je srednji procenat po Leibnitzu manji od srednjeg procenta po Schiffelu. Samo na žalost nije moguće formulirati dotičnu diferenciju tako, da bismo je — kao što je to slučaj kod formule (30) — mogli izračunati bez poznavanja zbiljnih godišnjih procenata. Pošto je, kao što vidjesmo iz formule (30), procenat po Turskome manji od procenta po Leibnitzu, to je on još u jačoj mjeri manji od procenta po Schiffelu. Poznato je, da je geometrijska sredina jednaka aritmetičkoj samo u slučaju, da su svi sastavni članovi tih sredina jednaki međusobno. U takovom dakle slučaju, t. j . kad bi svi zbiljni godišnji procenti bili međusobno jednaki, dala bi Leibnitzova formula potpuno isti rezultat kao i Schiffelova. Rezultat Turskyeve formule naprotiv bio bi i u tom slučaju niži od rezultata onih drugih dviju formula. Moja razmatranja u ovom članku mogu da se rezimiraju ovako : Turskveva formula, baš zato što se osniva na infinitezimalnom računu, može svojoj zadaći — što se tiče točnosti — da udovolji u slabijoj mjeri nego Leibnitzova formula, koja među svim praktički upotrebivim formulama drži u tom pogledu još uvijek prvenstvo. ZUSAMMENFASSUNG Der Verfasser behandelt hier die drei bereits bekannten Formeln für das durchschnittlichjährliche Zuwachsprozent, uzw. die Formel von Schiffe 1, die Formel von Leibnitz und die Formel von Tursky . Alle diese drei Formeln wurden vom Verfasser in deutschen Zeitschriften bereits behandelt: die Formel von Schiffe l und Leibnit z im Centralblatt für das gesamte Forstwesen 1923, S. 209 ff., die Formel von Tursk y im Forstwissenschaftlichen Centralblatt 1927, S. 555 ff. Hier wird die Formel von Tursk y von einigen ganz charakteristischen Gesichtspunkten aus betrachtet, welche es ermöglichen, zu zeigen, dass dieselbe in nahen Verwandschaftsbeziehungen steht einerseits mit der Formel von Schiffe l und anderseits mit der Formel von Leibnitz , dass sie jedoch diesen zwei älteren Formeln in bezug auf die Genauigkeit etwas nachsteht. Theoretisch wird nachgewiesen, dass die Formel von Leibnit z etwas niedrigere Resultate ergibt als die vollkommen genaue, praktisch jedoch nicht anwendbare Formel von Schiffe l und dass anderseits die Formel von Tursk y sich zur Formel von Leibnit z in ähnlicher Weise verhält wie diese selbst zur Formel von Schiffel . 225 u |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 42 <-- 42 --> PDF |
/, + î´ + + î e*T =« (33) Formulu (24), iz koje — kao što vidjesmo — izlazi Turskyeva formula, možemo dakle da izrazimo i u obliku : vn = v0 e*´ + » + +^n . (34) gdje je dakle w-kratni srednj i procenat (po Turskome) sasvim ispravno zamijenjen sa sumom od n nejednakih procenata. Formula (24) ne negira dakle mogućnost nejednaki h procentnih iznosa unutar .-godišnje periode. Ona tu mogućnost samo prešućuj e zamjenjujući (jednostavnosti radi) nejednake procente sa konstantnim srednjim procentom. Na str. 300. Šumar. Lista za 1918. god. pokazao sam, da se konačna vrijednost kapitala kod dvostrukog (složenog) ukamaćivanja može umjesto formulom (16) izraziti i formulom: 1+.)(1+.)---{1+.) <35> u kojoj* na mjesto konstantnog procenta prema formuli (16) dolaze varijabiln i procenti plt .^, -pn- Prema tome i u formuli (18) može konstantni .-godišnji prolongacioni faktor 0--\-qL)n slobodno da se zamijeni sa produktom od n međusobno nejednaki h godišnjih prolongacionih faktora, pa ćemo dobiti : v« = v0(l +qt)(l + qs)- (l + qn) (36) Iz formula (18) i (36) izlazi pak izraz : (l + îj n=(l + 2i)(l + ft)----(l + i?.) (37) dotično, s obzirom na jednadžbu (17), dalje izraz: *-..*+.*+&)~ 4+-firH-(38) kao formula za prosječn i godišnji postotak prirasta, koji — kao konstantan — figurira u formuli (18) dotično (16). Dakle ni formula (18) dotično (16), na kojoj se osniva Leibnitzova formula, ne negir a opstojnost nejednaki h godišnjih procenata unutar prirasne periode. I ona tu opstojnost samo prešućuje zamjenjujući (iz razloga jednostavnosti) nejednake procente sa konstantnim srednjim procentom. IV. Iz formule (38) izlazi gotovo neposredno jednadžba: koja nam veli, da stoti dio Leibnitzovog procenta u zajednici sa jedinicom (lijeva strana jednadžbe) nije ništa drugo, već geometrijska sredina od izraza sadržanih u srednjem dijelu jednadžbe i građenih sasvim analogno izrazu na lijevoj strani, ali s pomoću zbiljni h godišnjih procenata. Kao što * Upozornjem ovdje na štamparske pogreške na toj istoj strani spomenutog godišta Š. L. (ređ 7 i 8), prema kojima je baš prednja formula (35) dobila na navedenom mjestu iznakazen oblik t. j . bez zagrada. 224 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 41 <-- 41 --> PDF |
Iz formule (4), t. j . Leibnitzove, izlazi: Pr n\~V~ 1 +w = Vv ^ Ako sad ovu jednadžbu logaritmujemo u naravnom sistemu t. j . onda se lijeva strana ove zadnje jednadžbe može da razvije u beskonačan red t. j . == (28) L°g(1 + W)W-Y(W) + T(W)-T(W) + -- PL Kako je 1. . kod odraslih stabala i sastojina daleko manje od 1, to ovaj red konvergira vrlo brzo, tako da je prvi član toga reda veći nego suma svih ostalih članova, pa čak i onda, ako negativne znakove svuda zamijenimo sa pozitivnima. Drugi je opet član veći nego suma svih daljnjih članova itd. Ako ovaj red uvrstimo u formulu (27), onda iz nje nakon jednostavne transformacije izlazi: ^ = iooLog^il+ioo[A-(^): 1 / Pr. Y , 1 (29) 3 V 100 7 ~ 4 V 100 Kao što vidimo, ova formula u svojoj cjelini predstavlja procenat prirasta po Leibnitzu, dok prv i član u njoj sadržane sume nije ništa drugo, već procenat prirasta po Tursky-u [vidi drugu formulu pod (5)]. Diferenciju između jedne i druge formule daje nam dakle izraz: 1 / PL y 1 ( PL . 10° (30) PL—PT=+ 100 7 3 V 100 Ako nam je poznat procenat po Leibnitzovoj formuli, onda se diferencija između Leibnitzove i Turskyeve formule može da izračuna s kojomgod mu drago točnosti. Kao što vidimo, ta diferencija mora da bude pozitivna. 3. Rekao sam malo prije, da se i Turskyeva kao i Leibnitzova formula (prema drugom njenom izvoduj osniva na pretpostavci, da se kapital ukamaćuje sa konstantni m procentom. Kako to može da se dovede u sklad sa pojmom Turskyeve formule kao formule za prosječn i godišnji procenat, kakovom ona približno izlazi prema prvom izvodu? Evo kako. Prvu varijantu Schiffelove formule možemo s obzirom na jednadžbu (17) da napišemo i u obliku: g. + g3 -I ... (31) ^= n otkud izlazi : » % — ii + & ++ % (32) Antilogaritmovanjem ove jednadžbe u naravnom sistemu logaritama i uz supoziciju beskonačno velikog broja beskonačno malenih vremenskih jedinica sadržanih u .-godišnjem intervalu, pa prema tome i uz supoziciju beskonačno velikog broja članova na desnoj strani jednadžbe izlazi dalje: 223 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 40 <-- 40 --> PDF |
dakle jednogodišnji prolongacioni faktor. Razlika je između ovog izraza i izraza (1 -j -qL ) iz formule (18) samo u tome, što se prema onom prvom kamati pribijaju v puta na godinu, a prema ovom drugom samo jedamput godišnje. Ako se kapital, uz svejednako daljnje v-kratno pribijanje kamata u roku od godine dana, pusti da raste kroz n godina, onda u smislu formule (18) mora vrijednost kapitala na kraju n-{> godine da iznosi: (22> 1 +V 1+v) Pustimo li sada, da v raste do u beskonačnost, t. j . ako si zamislimo, da se kamati pribijaju kapitalu na kraju svakog pojedinog beskonačn o kratko g intervala, onda na poznat način iz ove zadnje formule izlazi poznata jednostavna formula: vn — v0 e (23) gdje je e ( = 2718 ) t. zv. baza naravnih logaritama. Ako nam je u ovoj zadnjoj formuli pored broja godina (n) i početnog kapitala (v0) zadan još i procenat (100 qL)-, onda konačni iznos kapitala mora (iz lako shvatljivog razloga) da bude nešto veći nego po formuli (16) dot. (18). Obruuto opet, ako nam je zadano sve ostalo, samo ne procenat, onda ovaj iz istog razloga mora da bude nešto manji nego po formuli (16) dot. (18). Mi ćemo ga zato sada označiti sa 100 q , pa onda iz zadnje formule izlazi e . (24) a odovud opet izlazi za q izraz : 1 v 1 V ?r = —Log^ = -.Log— (25) iz kojega izlazi direktno Turskyeva formula (5). Turskyeva dakle formula osniva se prema ovom izvodu, isto tako kao i Leibnitzova, na prolongacionoj formuli (16) t. j . na supozieiji, da se kapital ukamaćuje sa konstantnim procentom i to po principu složenih kamata. Samo ona osim toga počiva još na supozieiji, da se kamati pribijaju kapitalu besprekidn o t. j . na kraju svakog pojedinog beskonačno kratkog momenta, čega radi mora ona da za godišnji procenat dade iznos nešto manji od Leibnitzove. Inače se ni ona, isto tako kao ni Leibnitzova. ne osvrće ni malo na zbiljni hod rastenja u toku prirasne periode. Schiffelova formula naprotiv vodi o tome hodu izvjesnog računa, jer njezini rezultati nisu nezavisni od zbiljnog hoda rastenja u toku prirasne periode. Samo naravski čini ona to u praktički sasvim neznatnoj mjeri, što je i shvatljivo s obzirom na njezinu ishodnu srodnost sa Turskyevom formulom. Leibnitzova formula daje prema Schiffelovoj sasvim neznatno niži rezultat, Turskyeva pak daje (kao što vidjesmo) i prema Leibnitzovoj rezultat nešto niži, ali također sasvim neznatno. Ipak je diferencija između LeibnitzoveTurskyeve formule veća nego diferencija između Leibnitzove i Schiîîelove. 2. Međusobni odnos između Leibnitzove i Turskyeve formule možemo da ustanovimo na još jedan način, zanimiv radi toga, što nam daje mogućnost da formuliram o diferenciju između jedne i druge formule. 222 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 39 <-- 39 --> PDF |
rencija biti velika — šta više, u odraslim (približno zrelim) sastojinama bit će i sasvim neznatna, ali öna bezuvjetno mora da postoji. A ako uvažimo, da je godišnji procenat predstavljen sasvim ispravno samo po îormuli (9) dotično (1), na kojoj se direktno osniva Schiîîelova formula, onda Turskyeva formula izlazi kao neki približni derivat Schiffelove formule. Ona dakle teoretski zaostaje nešto za Schiffe!ovom formulom, ali praktički ima naravski pred ovom spomenutu već silnu prednost. III. Pogledajmo sad, u kakvom odnosu stoji Turskyeva formula prema Leibnitzovoj. /. Za Leibnitzovu formulu znamo, da izlazi (obrnutim riješenjem) iz poznate prolongacione formule kamatno-kamatnog računa: ; *n = .(1 + -îôoJ (16) Ako ovdje ujednostavnjenja radi stavimo : 2 t(17) 100 " onda iz (16) izlazi jednostavniji izraz: vn=v0(l + qLy (18) Formula (16) dotično (18) vrijedi, kao što znamo, za slučaj, kad se kamati pribijaju kapitalu samo jedamput godišnje. Pribijaju li se oui dvaput t. j . na kraju svakog polugodišta, onda će u vezi sa jednadžbom (17) kapital na koncu prvog dotično drugog polugodišta iznositi: (19) .=.+.--# ^i1+i)= î´o(l+% Neka se sad kamati u jednakim intervalima pribijaju kapitalu triput godišnje. Na koncu prvog, drugog dot. trećeg intervala kapital će iznositi: . + v0 -jj-1 + % = % + v4t ~~ = v4t 1 +-Ö-= »o 1 + (20) 3 3 % = % +2/:. % % I 1 «o(l + h.. Iz drugog izraza pod (19) i trećeg izraza pod (20) vidimo, da ako kamate pribijamo kapitalu v puta na godinu, da onda vrijednost kapitala na koncu prve godine iznosi : "vjv 1+& ;(2i) gdje dakle izraz u zagradi zajedno sa eksponentom predstavlja isto, što i izraz o zagradi formule (18), al i bez eksponenta n. Izraz ll-f" predstavlja 221 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 38 <-- 38 --> PDF |
povećava i broj ordinata nalaznih između vremenskih granica . = 0 i . = n (vidi si. 1), dok se sami iznosi tih ordinata [u smislu razmatranja u pogledu formule (11)] istodobno ponešto smanjuju. Ako se vremenski intervali smanje tako, da se pojedine susjedne ordinate međusobno dotiču (lim .. = 0), onda one sve zajedno (u beskonačnom naravski broju) čine ploštinu geometrijskog lika omeđenog skrajnjim ordinatama, zatim apscisnom osi i (sada ponešto sniženom) krivuljom p. Suma svih tih ordinata, analogno prvoj formuli pod (2), jednaka jeintegralom : dakle spomenutoj ploštini, a ova je opet dadena određenim n J =\pdx (12) 0 Zamijeni li se dakle suma iz prve formule pod (2) sa ovim integralom, onda za srednji procenat izlazi izraz: 1 Pr ». u kojem n predstavlja sada (neizravno naravski) beskonačnu količinu vremenskih intervala d ., sadržanih u .-godišnjoj periodi, pa prema tome i beskonačno velik broj spomenutih ordinata. S druge opet strane iz formule (11) izlazi izravno izraz : p-dx = 100-^- (14) . Prema dosadan jim razmatranjima (sravni i si. 2) izraz dy je varijabilan. Ali on je prema tim razmatranjima varijabilan samo kao funkcija varijabila . i .. Ako ga odvojimo od funkcionalnog odnosa sa ovim varijabilama, te ga dakle učinimo konstantnim (što i smijemo, a u slijeđenju našeg cilja i moramo da učinimo), onda na desnoj strani ove zadnje jednadžbe ostaje varijabilnom samo veličina y (sada kao argumenat funkcije —) dot. i ova njezina funkcija. Pri . variranju veličine . između granica 0 i n, što predviđa lijev a strana jednadžbe (14), može naravski veličina y da varira između granica v i V sasvim po volji t. j . bilo u kakvojgod krivulji bilo u pravcu. Kao što vidimo. ona tim variranjem postepeno raste, dok njena funkcija — u isti mah varira . između granica — i — . Ova dakle postepeno pada, što je sasvim u suglasju sa lijevom stranom posljednje jednadžbe, gdje p također u isti mah postepeno pada. Mi dakle desnu stranu ove jednadžbe možemo da uvrstimo u formulu (13), pa onda dobivamo : v 100 . di/ ,..„. .. = — (15). n J y otkud gotovo neposredno izlazi prva formula pod (.) t. j . Turskyeva formula. Turskyeva formula nije dakle ništa drugo, već granični oblik Schiffelove formule. A kako ona iz ove posljednje izlazi posredstvom granične formule (11), za koju smo vidjeli da u svako m momentu daje manji iznos za godišnji postotak prirasta, to bezuvjetno mora ona da daje manj i iznos od Schiffelove formule. Obično doduše neće dife 220 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 37 <-- 37 --> PDF |
Razlike između formula (6), (8) i (10) vide se odmah na prvi pogled. Prva od njih naime, kao izraz za prosječn i godišnji prirast unutar periode, predstavlja iznos konstantan tokom cijele periode. Druga pak, kao izraz za zbiljn i iznos godišnjeg prirasta, predstavlja iznos, koji se iz godine u godinu mijenja. Treća napokon, kao izraz za graničn i godišnji iznos prirasta, predstavlja izvjestan iznos dobiven preračuno m na 1 godinu i to preračunom na obrnut način, nego li je to slučaj kod formule (6). Ondje je ukupni periodični iznos (.y) razdijeljen sa brojem godina u periodi i time smanje n na prosječni godišnji iznos, a ovdje je beskonačno maleni prirasni iznos (dy) razdijeljen sa pripadnim mu beskonačno kratkim vremenskim intervalom (dx) i time uvećan na granični godišnji iznos. I baš zato, što je u ovom drugom slučaju godišnji prirasni iznos dobiven iz beskonačno malenog iznosa dy, koji se — pri konstantnim naravski iznosima za dx — mijenja od momenta do momenta, mijenja se na isti način i taj po formuli (10) dobiveni granični godišnji iznos. Prema ovome uočljive su odmah i razlike između postotnih formula (7), (9) i (11). Prema formuli (7) godišnji iznos procenta ostaje konstantan tokom svih n godina, jer su unutar periode konstantni svi sastavni dijelovi te formule. Prema formuli (9) mijenja se godišnji iznos procenta iz godine u godinu, jer se iz godine u godinu mijenja i y i ôy. Napokon prema formuli (11) mijenja se procenat od momenta do momenta, dakle beskonačno mnogo puta u toku godine. Još jedna razlika važna je da se istakne između formula (7), (9) i (11). Prema formuli (9) godišnji iznos prirasta (zbiljni) stavljen je u odnos prema drvnoj masi na početku te iste godine , kao što to u smislu formule (1) treba i da bude. Prema formuli (7) godišnji iznos prirasta (prosječni) stavljen je u odnos prema drvnoj masi na početku periode. "No početak periode nije isto, što i početak godin e t. j . jedini ispravni rok, na koji treba da se odnosi nazivnik formule za godišnj i procenat. Početa k periode vrlo je dalek u vremenskom pogledu od konc a periode u razmjeru prema razmaku između početka i konca jedn e godine . Stoga je drvna masa na početku periode razmjerno daleko premalena, a da bi mogla ispravno poslužiti kao nazivnik postotne formule. Prema tome mora naravski formula (7) da dade daleko preveli k iznos za prosječni godišnji postotak prira-ta. Prema formuli (11) godišnji iznos prirasta (granični) stavljen je u odnos prema drvnoj masi na početku beskonačno kratkog intervala (dx), u kojem je nastao i sam iznos dy. Taj razmak između početka i kraja ovoga intervala izlazi u skrajnjoj konsekvenciji na nulu, tako da se vrijeme nastajanja brojnika i vrijeme nastajanja nazivnika u prvoj formuli pod (li) podudar a međusobno. Stoga je drvna masa u toj formuli razmjerno pre velika , a da bi mogla ispravno da posluži kao nazivnik postotne formule. Prema tome mora formula (11) da dade u svakom pojedinom momentu pre male n iznos za godišnji postotak prirasta. Pogreška će ovdje svakako biti mnogo manja nego u slučaju formule (7), ali da ona mora i ovdje svakako da postoji, jasno je isto tako kao i u slučaju formule (7). Formula (11) nije dakle teoretski ispravna kao formula godišnje g procenta, kakovom ona ima pretenziju da važi. 2. Nakon ovih pripremnih razmatranja možemo sada da pođemo dalje. Ako se unutar .-gođišnje periode vremenski intervali .. sve više smanjuju, pa prema tome njihov broj sve više povećava, onda se u istoj mjeri 219 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 36 <-- 36 --> PDF |
Ako se A x od prvobitnog n- godišnjeg iznosa smanji na jednu godinu t. j . na interval .. = 1 (vidi sredinu slike), onda iz formule (6) izlazi formula za zbiljni godišnji prirast t. j . .. =.. (8) a iz formule (7) formula za zbiljni godišnji postotak prirasta t. j . ay P = 100 (9) . gdje y ne predstavlja više drvnu masu na početku periode , već drvnu masu na početku izvjesne godine unutar periode t. j. godine, u kojoj jebaš nastao dotični prirasni iznos . y. Inače može lako da se zapazi, da formula (9) predstavlja samo drugim slovima ispisanu formulu (1). Ü^ÜJAko se A . smanji još mnogo dalje t. j . na beskonačno kratki interval đx, onda se i A y smanjuje na beskonačno maleni iznos d ., pa iz formule (6) izlazi za godišnji iznos prirasta graničn i godišnji iznos: dy (10) . dx a iz formule (7) granični godišnji iznos za postotak prirasta t. j . dy p = 100 — -= 100 dy1 (.) . . ´ dx Granični m godišnjim iznosima nazivam iznose prema formulama (10) i (11) radi toga, jer prvi (kao što je poznato) predstavlja graničnu vrijednost kvocijenata pod (6) i (8), a drugi graničnu vrijednost kvocijenata pod (7) i (9). 218 |
ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 35 <-- 35 --> PDF |
II. Riječ će dakle biti samo o Schiîîelovoj, o Leibnitzovoj i o Turskyevoj formuli, jer ova posljednja — kao što ću to pokazati — stoji u izvjesnoj rodbinskoj vezi i sa Schiîîelovom i sa Leibnitzovom formulom. Prije toga međutim smatram potrebnima neka prethodn a razmatranja. 1. Kao što vidimo, Schiîîelova formula i u prvoj i u drugoj svojoj varijanti ima oblik sasvim obične sume sastavljene od n sumanda. Prema prvoj varijanti sumiraju se godišnji procenti pn ..,- p direktno. Tok ovih procenata iz godine u godinu vrlo je doduše nepravilan, ali u glavnom — kao što je poznato — ima ipak tendenciju neprestanog padanja. Jednostavnosti radi on je na slici 1 skiciran pravilnom krivuljom p. Iz istoga razloga ishodište koordinata stavljeno je na slici u početak n- godišnje periode. Sumiranje se opaža isto tako i u drugoj varijanti Schiîîelove formule, samo u drugačijem obliku. Tu se naime sumiraju kvocijenti analogni onome u formuli (1). Tok rastenja drvne mase (y) uporedo sa rastenjem vremena (.) također je naravski nepravilan iz godine u godinu, ali on je iz spomenutog već razloga na slici 2. (sa ishodištem također u početku periode) skiciran pravilnom krivuljom, konkavnom slučajno prema dolje, što ne mora naravski uvijek da bude, ali kod odraslih stabala i sastojina ipak redovito biva. Poznato je; da formula prosječno g godišnjeg prirasta unutar ngodišnje peiiode (u vezi sa slikom 2) glasi: . = (6) .. Gruba, ne naravski ispravna formula prosječnog godišnjeg prirasnog postotka glasila bi u ovom slučaju: ( .. „„. A y V 100 100 (7) .. gdje se izraz y0 podudara sa izrazom v0 t. j. sa drvnom masom na početku n- godišnje peiiode . 217 |