DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 21 <-- 21 --> PDF |
Iz ove kritike, u kojoj sam radi kratkoće samo sumarno naveo temeljne misli Gaussovog zakona o prirastu pogrešaka, jasno je vidljivo, da je g. prof. Levaković možda i nehotice porekao ispravnost temeljnih misli baš Gaussovih. Naravno, moguće je za prosuđivanje točnosti mjerenja uzeti i drugo mjerilo, samo bi ovo mjerilo moralo biti u saglasju sa zakonima vjerojatnosti i moralo bi ga potvrditi i iskustvo. Da su Gaussove polazne misli pravilne, to je dokazala neizmjerna količina radova kako na polju geodezije, tako i na polju astronomije, meteorologije i drugih disciplina. A da li će to biti moguće i za nove — potpuno oprečne — zakone g. prof. Levakovića, to je vrlo dvojbeno, jer dosada nije niti jedno iskustvo dokazalo, da izvjesno razdjeljenje neke veličine na male intervale omogućuje gotovo bespogrešne rezultate; a bojim se da i ne će. Résumé. C´est une critique de l´article sous la meme intitulation (voir paçe 265 de cette Revue) tendant a annuler les résultats généraux et principiels dudit article. Prof. Dr. A. LEVAKOVIĆ, ZAGREB: O SREDNJOJ POGREŠKI SUME (SUR L´ERREUR MOYENNE D´UNE SOMME) Gosp. prof. Abakumov razlikuje i sam u prednjem svome članku s jedne strane »srednju pogrešku pojedinog mjerenja« i s druge strane »srednju pogrešku aritmetičke sredine«, pak za obje ove vrsti srednjih pogrešaka navodi i pripadne formule. Prvu vrst srednje pogreške nazivlje on nepotpuni m nazivom »srednja kvadratna« ili prosto »srednja« pogreška, dok je svi autori iz teorije najmanjih kvadrata nazivlju »srednjom pogreškom pojedinog mje renja« — baš za razliku od »srednje pogreške aritmetičke sredine«. Iz mojih naziva na strani 266. i dalje (kao i iz cijele moje napadnute studije) izlazi u pogledu prve vrsti srednje pogreške jedino to, da s v i iznosi dobiveni opetovanim mjerenjem jedne te iste veličine imaju jedn u zajedničk u srednju pogrešku, pak da ta srednja pogreška — u p r o s j e č n o m smislu naravski — tereti iznos svakoga pojedinoga od tih mjerenja, dok dakako svaki pojedini iznos mjerenja ima sv o j u za sebn u pravu (dot. prividnu) pogrešku. Nigdje ja dakle ni u doslovnom smislu riječi ni neizravno ne pripisujem svakom pojedinom mjerenju baš veličinu srednje pogreške, pak se vrlo čudim tome, da je g. Abakumov mogao doći na ovakovu pomisao, a još se više čudim njegovoj aluziji o »neispravnosti same predstave o srednjoj kvadratnoj pogreški«. Iz moje studije izlazi nadalje, da se i srednja pogreška pojedino g mjerenja i srednja pogreška aritmetičke sredine može da odnosi ne samo na pojedine d i j e 1 o v e (R, S, T . . . .) sastavljene 379 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 22 <-- 22 --> PDF |
veličine X, već i na s a m u tu veličinu. Pa to isto izlazi i iz prednjeg članka, gdje pod (6) gosp. prof. Abakumov navodi formule srednjih pogrešaka pojedinog mjerenja za — u glavnom — dvije vrsti funkcija, dok pod (11) dotično (12) navodi formulu za srednju pogrešku aritmetičke sredine, dobivene iz podataka opetovanog mjerenja prve funkcije pod (5). Stoga i opet zvuči malo čudno, kad gosp. prof. Abakumov napominje, d a sa m j a uveo pojam o srednjoj pogreški aritmetičke sredine funkcije. Taj se pojam nalazi gotovo u svim djelima o teoriji najmanjih kvadrata, jer svi ti autori govore o najvjerojatnijoj (n a j p r o b i ta č n i- j o j) vrijednost i ovakove jedne funkcije i o njenoj srednjoj pogreški. A ta najvjerojatnija vrijednost nije ništa drugo, već aritmetičk a sredin a svih iznosa dobivenih za funkciju opetovanim mjerenjem njezinih dijelova, pa prema tome i nje same. Ja neću da pođem tako daleko, pak da gosp. prof. Abakumovu — ma i za uzvrat — pripišem »neispravnost same predstave o srednjoj kvadratnoj pogreški«. Reći ću samo, da je gosp. profesor te k nehotic e smetnu o s vid a pojam te srednje pogreške, kad je preduzeo, da na onakav način izvede formulu (11) dotično (12). Jer onako se ta formula ne izvodi niti može izvesti. Ona se može doduše izvesti iz treće formule pod (6), ali tek uz uslov, da se u ovoj stavi a = a = a = 1, nakon čega ta formula prelazi u drugu dotično (uz daljnji uslov a" = 0) u prvu formulu pod (.). Te k iz o-v e formul e može da iziđe formula (11), ali opet uz uslov, da su elementi xix´ u prvoj funkciji pod (5) izmjereni (opetovano) jedna k broj puta i da se prva jednadžba pod (.) razdijeli s tim brojem mjerenja. Put, kojim je pošao gosp. prof. Abakumov pri izvodu formule (11) dotično (12), neispravan je naročito s razloga, jer je gosp. profesor — kako rekoh — smetnuo s vida poja m srednje pogreške pojedinog mjerenja. U jednadžbi (9) uzimlje on naime, da iznos n parcijalne veličine R, dakle jedan skroz pojedinačni iznos te veličine, dobiven i s k 1 j uč i v o prvim njezinim mjerenjem, ima sam za sebe srednju pogrešku pi . Isto takovu supoziciju učinio je gosp. profesor s obzirom na iznos r-2 te iste veličine, kojemu kao rezultatu isključivo drugog mjerenja (dakle opet kao jednom skroz pojedinačnom iznosu) pripisuje zasebn u srednju pogrešku ..% i t. d. Jednake supozicije čini tu gosp. profesor i s pojedinim analognim iznosima, izašlim iz opetovanog mjerenja parcijalne veličine S. I sve te supozicije čini on nakon toga, što je u cijelom dotadanjem toku svoga članka izričito pretpostavljao, da su sva pojedinačna mjerenja veličine R dotično S izvršena pod potpuno istim prilikama, dakle »uz isti stupanj točnosti«. A gornje supozicije u pogledu srednjih pogrešaka ..,, ..2 \ t. d. stoje u evidentnoj protivnosti s pojmom srednje pogreške, jer kod tzv. jednako točnih mjerenja mogu sam o sv i iznosi, dobiveni opetovanim mjerenjem jedne te iste veličine (ovdje na pr. veličine R) da imaju jednu jedinu — i t o zajedničku srednju pogrešku, a ne može svaki od njih da ima svoju zasebn u srednju pogrešku. To uostalom jasno izlazi iz formule, što je gosp. prof. Abakumov navodi pod (3). Pojam srednj a pogreška dade se naime kod »jednako 380 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 23 <-- 23 --> PDF |
točnih mjerenja« zamisliti samo ondje, gdje ima bare m dvij e osnovne pogreške (prave ili prividne). A jedno zasebno mjerenje izvjesne veličine može da dade samo jednu jedinu osnovnu, pa prema tome nikakovu srednju pogrešku s obzirom na iznos te veličine. Naveo sam put, kojim bi bio mogao gosp. prof. Abakumov da iz treće dotično prve formule pod (6) izvede formulu (11). No time ipak ne bi bilo dokazano s njegove strane, da formula (12) zaista predstavlja srednju pogrešku, koja tereti najvjerojatniju vrijednost funkcije X Evo zašto. Uzmimo, da je veličina X sastavljena od v parcijalnih veličina R, S, T..., od kojih je svaka izmjerena nezavisno jedna od druge, ali svaka tek po jedamput. Svaka od njih neka je izmjerena »uz isti stupanj točnosti« i pogreške mjerenja neka spadaju samo u kategoriju neizbježivih — i pritom skroz »slučajnih« pogrešaka, kod kojih je i pozitivni i negativni predznak jednako vjerojatan, a takove pogreške dolaze jedino i u obzir u teoriji najmanjih kvadrata. Zbrojimo li sada sve izmjerom dobivene iznose, to ćemo naravski mjesto pravog iznosa tražene veličine X = R + S "+´ T + ..., dobiti pogrešan iznos X = r + s + t + , gdje su pojedini sumandi opterećeni izvjesnim — nepoznatim naravski pogreškama ±c , + o, + .,- -, pa prema tome i suma . pogreškom + I- Ali ma da su nam pogreške Q, or, % itd. nepoznate, možemo si ipak (jednako kao i pri opetovanom mjerenju jedne te iste veličine) stvoriti izvjestan sud o sumarnom njihovom utjecaju na iznos pogreške i´ One naime sačinjavaju jednadžbu: ±1= ±Q± °±t ± Što je veći broj sumanda (?) na desnoj strani ove jednadžbe, to više ima izgleda za njihovo međusobno ukidanje, jer će se u smislu teorije pogrešaka suma svih pozitivnih i suma svih negativnih pogrešaka sve to više približavati jedna drugoj — i po broju sumanda i po njihovoj ukupnoj veličini. Kada bi broj v postao beskonačno velik, onda. bi međusobno ukidanje pogrešaka Ç, o, i itd. moralo da bude potpuno i iznos pogreške i morao bi da sasvim padne na nulu. Vidimo dakle, da povećanje broja parcijalnih veličina R, S, T, vrši na točnost određenja sumarne veličine X sličan upliv, kao što ga vrši povećanje broja opetovanih mjerenja cijele te veličine. Kad bismo prema tome svaki od beskonačno mnogo sumanda u veličini X izmjerili prvi puta, dobili bismo §i = 0. Nakon ponovne, pa recimo još i treće izmjere dobili bismo L2 = 0 i Ls = 0. U smislu prednjeg, odmah ispod (4) donesenog navoda gosp. prof. Abakumova (»pa za srednju pogrešku veličine X... smatra takovu veličinu, čiji je kvadrat jednak aritmetičkoj sredini iz kvadrata sviju pogrešaka, koje mogu pripadati veličini X«) izlazilo bi iz ovih pojedinačnih pogrešaka: 381 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 24 <-- 24 --> PDF |
dotično 2 + il + g 02 + 02 + 0» 3 y° 2 0-, .* = 0, a to nije ništa drugo, već srednja pogreška pojedino g mjerenj a za cijelu veličinu X, t. j . pogreška, čiji kvadratni oblik navodi g. prof. Abakumov pod (3). Srednja pogreška aritmetičke sredine bila bi: \/3 v 3 Dakle kod ^ = co ne bi samo srednja pogreška najvjerojatnije vrijednosti za X bila jednaka nuli, već bi — šta više — u tom slučaju bila nuli jednaka i srednja pogreška pojedino g mjerenj a te veličine. U beskonačno mnogo dijelova ne može se naravski podijeliti nijedna veličina (kao što se nijedna ne može ni mjeriti beskonačno mnogo puta), ali se uza sve to vidi odovud jasno, da sa povećanjem broja sastavnih dijelova u veličini X mora da pada i jedna i druga vrst srednje pogrešk e za tu veličinu. Jer ako povećanje broja v sve do granice v — °° mora da ima za posljedicu granične vrijednosti .. = 0 i mm — 0, onda se te granične vrijednosti mogu da postignu samo postepenim s m an j i v a n j e m dotičnih srednjih pogrešaka uporedo s rastenjem broja vi a ta činjenica izlazi jasno iz mojih napadnutih formula. Te formule nisu naravski i ne mogu da budu posve točne, osim uz supoziciju v = oo ili . = Ali one su izražaj jednoga principa, koji se ne da poreći, a to je, da sa povećanjem broja dijelova u veličini X mora (naravski uz isključivu supoziciju »slučajnih« pogrešaka) uporedo da pada ne samo f a kt i č n a pogreška s obzirom na iznos te veličine, već i srednja. Uostalom i sve ostale formule iz teorije najmanjih kvadrata važe kao posve točne tek uz; uslov » = <*>, dok se za formulu (12) iz članka g. prof. Abakumova pored toga traži još uslov v < <*> . Uz uslove v = OD i .<( » stoji ona u evidentnoj protivnosti sa stvarnošću. Résumé. Une réplique a l´article précédent, dans laquelle l´auteur constate que — contrairement a la théorie actuelle — non seulement l´erreur moyenne de la valeur la plus probable d´une fonction des grandeurs partielles, mais aussi l´erreur moyenne des observations memes de cette fonction doit aller en décroissant avec l´augmentation du nombre des éléments de cette fonction. JUGOSLOVENSKO TRŽIŠTE DRVETA MARCHÉ AU BOIS YOUGOSLAVE ZAGREB, 23. JULA 1930. — ZAGREB, LE 23 JUILLET 1930. TEČAJEVI ZAGREBAČKE BURZE. (Les cours officiels de la Bourse de Zagreb.) Stanje kao na dan 25. juna 1930. Vidi pređašnji broj. — La situation comme en date du 25 juin 1930. Voir le No précédent. 382 |