DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 15 <-- 15 --> PDF |
........... ............. ...... ....., ...... ... ...... .. ....... ..... ........ ........... ....... ........ ....... ....... ..... 108,000.000 .. ........ ...... ....., ..... ce ........ .... ... ...... ....... .. 125,000.000 .3 . ... je ...... .... .. ..... . ........... ..... ... y ...... ... .... ...... .... .. ... . ....... ce .. ......... ..... ....... .... . ....... ........ .. ....... ........ ....... . ...... ....... ce ...... .... ........ .... .. 10,000.000 ......, a ....... ...... je .... .. 50,000.000 ....... ..... ce ...... .... y .... .. 80,000.000 ...... . y ........ ....... ..... ...... ..... .... ...... 0 ....... ..... ........ ......., ... je ono . ........ . .... ............ y ....... .... . .... ..... ....... ......... . .......... y .... je .. ........ ........ ..... . ......... .?,..1.<|)........ ............ .. ..........» je .... y ...... ..... ... .... ........ ..... . 10—15 ........ .. 10 ..-.... ............ ........ ........ ... je 4500 .............. ............ ..... y ...... ... ......... ..... ......... ....., — ........... ......... . ........., ............... .. ............. ........., y ...... ce ... .... .. 6000 .......... .... ce ..... . ........ ....... . ........ ...... ... je .. ... ....... ...., . .... hy ... ...... ........ Résumé. L´auteur, un forestier russe, de naissance Yougoslave, qui est actuellement professeur a l´Institut Polytechnique de Sverdlovsk (jadis Ecatérinebourg), décrit l´état actuel des forets, de l´économie, du commerce et de l´industrie forestieres russes en les comparant a la fois avec leur état d´avant guerre et des premiers temps apres la victoire définitive des soviets. Prof. N. ABAKU MOV, ZAGREB: ZAKON O PRENOŠENJU POGREŠAKA U NOVOM SVJETLU (LA LOI DE TRANSMISSION DES ERREURS DANS UNE LUMIERE NOUVELLE) Pristupajući kritici nedavno pod gornjim naslovom objelodanjene studije, u kojoj g. prof. Levaković hoće u temelju oboriti u nauci veo davno priznatu metodu određivanja srednje pogreške funkcije izmjerenih veličina, ja sam daleko i od pomisli, da štitim ispravnost mišljenja velikog Oaussa i čitavog niza poznatih naučenjaka u ovoj oblasti, pošto takovu zaštitu pruža sama stvarnost u svima praktičnim primjenama ove metode, osobito u oblasti astronomije i geodezije. 373 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 16 <-- 16 --> PDF |
Mene jedino interesira pitanje, u čemu se sastoji zabluda u mišljenju g. prof. Levakovića, koja ga je dovela do ovakovih neočekivanih izvoda. Ova je zabluda principijelna. Ona se sastoji u neispravnosti same predstave o srednjoj kvadratnoj pogreški ili — kako je zovu — srednjoj pogreški, koja služi kao prirodna mjera za slučajne pogreške datog niza mjerenja i koja potpuno karakteriše njihovu točnost. Jer znajući srednju pogrešku mi ćemo istovremeno znati i vjerojatnost pojave pogrešaka povoljne veličine u datom nizu mjerenja. 0 . slučajnim pogreškama izvjesnog niza mjerenja sa matematičkog gledišta mi možemo rasuđivati samo u pretpostavci, da je takovih mjerenja izvršeno beskonačna množina pod potpuno istim prilikama i sa jednakom točnošću tako, da sva pojedinačna mjerenja možemo smatrati jednako točnima. Pod ovakovim uslovima naime Gauss izvodi svoju formulu za vjerojatnost pojave neke slučajne pogreške A pri kakovomgod bilo mjerenju, smatrajući, da se ova greška nalazi u relativno vrlo uskim granicama da . . , .. A i A A 2 ^2 a formula za vjerojatnost glasi: 1 —±-ôA pA = e 2*. ——- (1) \ 2 . L Pod istim pretpostavkama je Gauss izveo i formulu za vjerojatnost pojave svih slučajnih pogrešaka Al´, .., .., ., u nizu od s jednako točnih mjerenja. Ona glasi: (2) \\j 2n Konstantnu veličinu e, od koje će zavisiti stupanj smanjivanja vjerojatnosti .. (form (1) ) u isporedenju sa povećanjem pogreške â u različitim mjerenjima, Gauss određuje pod uslovom, da bi vjerojatnost P bila maximum ili E, = 4Î+4+4 + ----4 (3) A ova veličina i nije drugo, nego srednja kvadratna ili prosto srednja pogreška. Ovaj pojam o srednjoj pogreški za neku veličinu X, određenu iz niza jednako točnih mjerenja, Gauss prenosi i na svakovrsne funkcije ove veličine *=/(*) (4) pa za srednju pogrešku veličine X (označimo nju sa E) smatra takovu veličinu, čiji je kvadrat jednak aritmetičkoj sredini iz kvadrata sviju pogrešaka, koje mogu pripadati veličini X. Pojam o srednjoj pogreški različitih linearnih i nelinearnih funkcija treba razumjeti uvijek također u istom smislu. Prema tome će funkcije Xl = . ± .´ X2 = . + .´ + ." + (5) Xz = a . -^. a´ .´ + a" x" + Xi — f (x, x´ x" ) imati ove srednje pogreške: 374 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 17 <-- 17 --> PDF |
a+ L1 = e *´* + *"´ //2 // .* =, aV + a´V2 H a L (6) df dx/o ´ W .´ /g \ Ö x" G. prof. Levaković, imajući u vidu srednju kvadratnu pogrešku određenu pomoću formule (3) govori: «Srednja pogreška (/*) koja tereti iznos svakog pojedinog mjerenja ...» Drugim riječima on svakom pojedinom mjerenju pripisuje veličinu srednje pogreške. Gauss potpuno drugačije promatra srednju kvadratnu pogrešku. On određuje nju pod uslovom vjerojatnosti ukupnog postanka date sisteme pogrešaka /1,, A., 4,. u povoljnom nizu od s jednako točnih mjerenja. Označivši omjer proizvoljne pogreške A i srednje . sa t, t. j . t = A (7) lako ćemo odrediti formulu za vjerojatnost P(,>, da greška učinjena u nekom posebnom mjerenju neće izići iz granica + t \ — t \ to: .. = a* (8) Y~2 Donja tablica prikazuje ovu vjerojatnost za argumenat ?. * P(t) t P(t) 00 0000 1.9 0.942 0.1 0.080 2.0 0.954 0.2 0 159 2.1 0.961 0.3 0.236 2.2 0.972 0.4 0.311 2 3 0-979 05 0383 2.4 0.984 06 0 451 25 0.988 0.7 0.516 2.6 0.991 0.8 0576 2.7 0.993 0.9 0.632 2.8 0995 1.0 0.683 2.9 0.9.6 1.1 0.729 3.0 0.997 1.2 0.770 3.1 0998 1.3 0.806 3.2 0.999 1.4 0.838 3.3 0.999 1.5 0.866 3.4 0.999 1.6 0.890 3.5 0.999 1.7 0.911 3.6 1.000 1.8 0.928 375 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 18 <-- 18 --> PDF |
Pomoću ove tablice mi smo u stanju lako odrediti, koliko treba da bude pogrešaka u jednome nizu od s jednako točnih L mjerenja, sa srednjom pogreškom L, manjih ili većih od date veličine + . Za ovu svrhu treba samo naći po argumentu / = — odgovarajuću mu E vjerojatnost P\^ i pomnožiti je sa brojem opažanja s. Radi ilustracije uzećemo naprimjer, da smo izmjerili neku veličinu 100 puta i odredili njezinu srednju pogrešku E. Sada možemo iz tablice neposredno viditi, da će u nizu od 100 merenjä oko 8 mjerenja imati i esku < ]E 10 n ´ 10 38 <-l-E n . . 2 ?) 62 n n > A, ´ 2 n 68 n ji < e n 32 TI 17 > e 95 < 2E 11 n 5 5 il II > 2« T! . 99 n n < 2,5 e » 1 > 2,5 e n n n Vjerojatnost, da dobijemo pogrešku > 3«, vrlo je malena. Ovakovim načinom dobivena srednja pogreška iz niza mjerenja daje čitavu sliku raspodjelenja pogrešaka i osim toga omogućuje nam odbaciti mjerenja, čije su pogreške nevjerojatne. U svima praktičnim brižljivo izvedenim radovima ova se teorija srednje pogreške sjajno potvrđuje. Sada ćemo odredivši na temelju Bernoulli — Poissonova zakona velikih brojeva formule (3) u´ (6) preći na određivanje srednje kvadratne pogreške za sve praktične slučajeve, i to: 1) srednju pogrešku za niz izmjerenih veličina, čiju pogrešku dobivamo pomoću otklona pojedinih mjerenja od aritmetičke sredine .— 1 2) srednju pogrešku aritmetičke sredine . m = , in i t. d. Nakon ovoga ćemo preći na određivanje srednje kvadratne pogreške za funkciju, za koju određuje srednju pogrešku i g. prof. Levaković. Pri tome ćemo zadržati njegove oznake 376 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 19 <-- 19 --> PDF |
X—B± s Veličina R izmjerena je m puta « S « « . « Pojedinačnim mjerenjem dobili smo ove veličine: Najvjerojatnija vrijednost funkcije X biće prema tome: ., -n2 Da odredimo za ovu funkciju srednju pogrešku, moramo primijeniti treću formulu pod (.), t. j. : o S _J_ 2 I 2 I 8 l 8 ´ I Uz pretpostavku, da je: 2 2 2 .. (lr = . — = v´L i 2 f.lg = /(s. 2 _ — (4„2 = A .. čemu je: 2 [ v,. V,. | flr — (»I - I) 1 W 2 s Vh } /´-.5 = dobićemo, da je .. II2 ,2 = X —-+ — « n, n. a pošto je . tf 2 m biće konačno: :.) a m = + V w -)- m3 (12) Kako je vidljivo, dobili smo formulu po oznaci g. prof. Levakovića (14 a), a ne (14) ili (20) za srednju kvadratnu pogrešku mx veličine X u tom smislu, kako je smatrao Gauss , a po njemu i ostali naučenjaci. Pri tome naše formule (9) i (10) pokazuju baš suprotno tvrđenju g. prof. Levakovića, t. j . da smo pri izvodu srednje kvadratne pogreške mr upotrebili pogreške pojedinačnih mjerenja i uzeli u obzir i težine veličina r. i s. |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 20 <-- 20 --> PDF |
Uvodeći pojam o srednjoj pogreški aritmetičke sredine funkcije g. prof. Levaković smatra Qaussov u srednju kvadratnu pogrešku neispravnom i uzima za mjeru točnosti svoju novu pogrešku. Sada samo nastaje pitanje. da li će se ova nova mjera točnosti opravdati u primjeni na stvarna mjerenja, kako je to bilo, jeste i biće za srednju kvadratnu Qaussov u pogrešku. Radi ilustracije uporedimo ove dvije pogreške na konkretni slučaj mjerenja baze na kanalu Kunišćak u Zagrebu! Ovo mjerenje izveli´ su studenti geodetsko-kulturnog odjeljenja na tehničkom fakultetu 3—V—30. godine. Baza, duljine oko 500 metara, podijeljena je bila u 21 dio i svaki od ovih dijelova bio je izmjeren pomoću 2 invarne žice od 24 metra po dva puta. Slučajne pogreške čitanja na skalama žica su + "-1 " « Dakle pogreška razlike čitanja na oba kraja žice biće + 0.1- - y´T Kako je svako čitanje bilo ponovljeno 5 puta, to će srednja greška jedne žice biti ^-^ VT= + 0.06^ V.5 Dužina same žice određena je sa točnošću + 0 01 "´ ». Dakle rezultat mjerenja baze pomoću 2 žice, po 2 puta, mora imati srednju pogrešku E~ ±\ v´2T7oT06F:|r2´l1M}"0r+ E= ± 0.17 "lm . U stvari je dobivena srednja pogreška E = ± 0 21 * - . Iz istog mjerenja imamo jedan lijep primjer raspodjeljen.ia slučajnih pogrešaka bez obzira na njihovu malobrojnost. Broj opažanja je svega 21. Pri mjerenju baze sa dvije žice dobiveni su otkloni prikazani u donjoj tabeli. mjerenje napređ mjerenje natrag â srednja pogr. = +_ 0.15 »"/„, srednja pogr. = + 0.09 w/m broj A teor. stvar. teor. stvar. ´" /1» 0.0-0.1 10.4 9 15.4 16 0.1—0.2 6.8 8 5.1 5 0 2-03 28 4 0.5 0.3-0 4 08 0.4—0.5 1 02 Time je dokazana potpuna harmonija između Gaussovo g zakona i stvarnosti. Međutim po teoriji g. prof. Levakovića u gore navedenim prilikama pogreške pojedinih dijelova ne bi imale nikakovog uticaja na definitivni rezultat mjerenja, pa bismo morali dobiti dužinu baze gotovo apsolutno točno, a toga u stvarnosti nismo nikako dobili. 378 |
| ŠUMARSKI LIST 8/1930 str. 21 <-- 21 --> PDF |
Iz ove kritike, u kojoj sam radi kratkoće samo sumarno naveo temeljne misli Gaussovog zakona o prirastu pogrešaka, jasno je vidljivo, da je g. prof. Levaković možda i nehotice porekao ispravnost temeljnih misli baš Gaussovih. Naravno, moguće je za prosuđivanje točnosti mjerenja uzeti i drugo mjerilo, samo bi ovo mjerilo moralo biti u saglasju sa zakonima vjerojatnosti i moralo bi ga potvrditi i iskustvo. Da su Gaussove polazne misli pravilne, to je dokazala neizmjerna količina radova kako na polju geodezije, tako i na polju astronomije, meteorologije i drugih disciplina. A da li će to biti moguće i za nove — potpuno oprečne — zakone g. prof. Levakovića, to je vrlo dvojbeno, jer dosada nije niti jedno iskustvo dokazalo, da izvjesno razdjeljenje neke veličine na male intervale omogućuje gotovo bespogrešne rezultate; a bojim se da i ne će. Résumé. C´est une critique de l´article sous la meme intitulation (voir paçe 265 de cette Revue) tendant a annuler les résultats généraux et principiels dudit article. Prof. Dr. A. LEVAKOVIĆ, ZAGREB: O SREDNJOJ POGREŠKI SUME (SUR L´ERREUR MOYENNE D´UNE SOMME) Gosp. prof. Abakumov razlikuje i sam u prednjem svome članku s jedne strane »srednju pogrešku pojedinog mjerenja« i s druge strane »srednju pogrešku aritmetičke sredine«, pak za obje ove vrsti srednjih pogrešaka navodi i pripadne formule. Prvu vrst srednje pogreške nazivlje on nepotpuni m nazivom »srednja kvadratna« ili prosto »srednja« pogreška, dok je svi autori iz teorije najmanjih kvadrata nazivlju »srednjom pogreškom pojedinog mje renja« — baš za razliku od »srednje pogreške aritmetičke sredine«. Iz mojih naziva na strani 266. i dalje (kao i iz cijele moje napadnute studije) izlazi u pogledu prve vrsti srednje pogreške jedino to, da s v i iznosi dobiveni opetovanim mjerenjem jedne te iste veličine imaju jedn u zajedničk u srednju pogrešku, pak da ta srednja pogreška — u p r o s j e č n o m smislu naravski — tereti iznos svakoga pojedinoga od tih mjerenja, dok dakako svaki pojedini iznos mjerenja ima sv o j u za sebn u pravu (dot. prividnu) pogrešku. Nigdje ja dakle ni u doslovnom smislu riječi ni neizravno ne pripisujem svakom pojedinom mjerenju baš veličinu srednje pogreške, pak se vrlo čudim tome, da je g. Abakumov mogao doći na ovakovu pomisao, a još se više čudim njegovoj aluziji o »neispravnosti same predstave o srednjoj kvadratnoj pogreški«. Iz moje studije izlazi nadalje, da se i srednja pogreška pojedino g mjerenja i srednja pogreška aritmetičke sredine može da odnosi ne samo na pojedine d i j e 1 o v e (R, S, T . . . .) sastavljene 379 |