DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 3 <-- 3 --> PDF |
............ .... 54. .... 1930. Prof. Dr. A. LEVAKOVIĆ, Zagreb: ZAKON O PRENOŠENJU POGREŠAKA U NOVOM SVJETLU (LA LOI DE TRANSMISSION DES ERREURS DANS UNE LUMIERE NOUVELLE) Zakon o prenošenju pogrešaka stupa, kako je poznato, u akciju, kad se kakova veličina izračunava iz iznosa bilo jednog, bilo više ili pače svih njenih izmjerenih dijelova (elemenata). Tražena veličina X shvaća se pri tom uvijek kao funkcij a njenih izmjerenih dijelova (R, S, T,...). Nijedan od tih dijelova ne može se izmjeriti sasvim bez pogreške, pa ni uz upotrebu najpreciznijih instrumenata. Stoga naravski mora da ispadne pogrešno i cijela tražena veličina, jer se neizbježive (»slučajne«) pogreške u mjerenju dijelova prenose na cjelinu. Osim u obliku zbroja izračunava se tražena veličina i u obliku diferencije. U tom se slučaju pogreške u izmjeri minuenda i suptrahenda prenose na diferenciju. Kako je diferencija također zapravo zbroj — i to zbroj nekih pozitivnih i nekih negativnih sumanda, to se ona kao funkcija potpuno podudara sa pravim zbrojem kao funkcijom, pa stoga — kako ćemo još vidjeti — zakon o prenošenju pogrešaka ima kod nje sasvim isti oblik kao i kod zbroja u pravom smislu riječi. Tipične funkcije, koje u po gledu spomenutog zakona dolaze u obzir, idu u redfunkcija, pa imaju jedan od ova tri oblika: t. zv. linearni h X = aB (I) X=B ± S ± T ± (II) X = arB ± asS ± atT ± (III) U njima izrazi a, ar, as, a, naznačuju već unaprijed poznate i bespogrešne koeficijente. Kod svake od ovih triju funkcija zakon o prenošenju pogrešaka ima drugačiji oblik. Veličina X može naravski da sa izmjerenim svojim elementima stoji i u odnošaju, koji ide u red t. zv. nelinearni h funkcija. Kod ovakovih funkcija ima spomenuti zakon — uz neke poznate modifikacije u pogledu koeficijenata — oblik analogan onome, koji vrijedi za slučaj funkcije (III). Stoga je dovoljno, ako je taj zakon potpuno poznat za slučaj navedenih triju funkcija. Za slučaj funkcije (I) on je uistinu potpuno poznat, ali još nije ni izdaleka potpuno poznat za slučajeve funkcija (II) i (III). Cilj je ovom razmatranju, da se on potpuno predoči i razjasni također za ova dva slučaja. Prema tome * Vidi Godišnjak Kr. Sveučilišta u Zagrebu 1929, str. 753—772. 265 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 4 <-- 4 --> PDF |
cilju moram radi jasnoće da pođem od poznatih stipulacija toga zakona, pak ću početi sa funkcijom (1), na kojo.i se u vezi sa funkcijom (II) osniva funkcija (111). U cijelom toku ovog razmatranja suponujem stalno, da su sva pojedinačna mjerenja bilo koje od osnovnih veličina (R, S, T ...) izvedena jednakom pomnjom, istim instrumentima i pod istim okolnostima, ukratko — Jednakim stupnjem točnosti. I. Mjesto pravo g iznosa veličine R, koji se uopće ne da utvrditi, može da se u jednadžbu (I) uvrsti samo kakav mjerenjem te veličine dobiveni, dakle pogrešni iznos — recimo »´,. Ponovi li se ovo mjerenje, dobit će se iznos % koji može, ali nikako ne mora da se poklapa s iznosom /,. Rezultati ostalih ponovnih mjerenja veličine R bit će iznosi rv >\, rn. Postepenim uvršćivanjem ovih iznosa u jednadžbu (1) dobiva se za veličinu X u pravilu svaki puta drugi iznos, t. .i. ., = ar.\ xa = ara ; . = a r (I a) 1 . 1 ´ 2 2 ´ n n v J Kao najvjerojatniji iznos veličine X smatra se punim pravom a r i tmetička sredina svih pojedinačnih iznosa pod (la), t. j. ri + x2 H H <*„ »! + *,+ + r„ (lb) ili po Gaussovoj simbolici: M = a -M. (Ic) ti n O toj aritmetičkoj sredini znamo, da bi se mogla sa pravim iznosom pod (1) sasvim sigurno i potpuno podudarati samo onda, kad bismo veličinu R mjerili beskonačno mnogo puta. Inače se ona od pravog iznosa mora da razlikuje, pa ću je stoga za razliku od izraza pod (I) kratko označiti sa j »..;, . , * . = ar (I. (1) Kako se dakle funkcija (1) radi različitih neotklonjivih okolnosti, koje nepovoljno utječu na bilo kakovo mjerenje, nigda ne može strogo ostvariti, zadovoljavamo se silom prilika analognom funkcijom (I d), koja je radi nemogućnosti beskonačnog ponavljanja u mjerenju veličine R uvijek više ili manje pogrešna. S obzirom na to nastojimo naravski, da što sigurnije odredimo s t e p e n pogrešnost i posljednje funkcije, kako bismo bili na čistu o tome, do kojih se granica možemo osloniti na njezin iznos. Stoga se prema principima »nauke o izjednačivanju po metodi najmanjih kvadrata«, kojoj je pravi osnivač poznati astronom G a u s s1, izračunava: 1. srednja pogreška (/´), koja tereti iznos svakog pojedinog mjerenja veličine R dotič. izračunavanja veličine X; 2. srednja pogreška (m), koja tereti aritmetičku sredinu svih iznosa dobivenih za veličinu R dot. njezinu funkciju (X). 1 Vidi o toj nauci na pr. djela navedena u pregledu literature pod br. 1—12. 266 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 5 <-- 5 --> PDF |
Za izračunavanje srednje pogreške /<>-, t. j . srednje pogreške2, koja tereti s v a k i ,p o je dini iznos mjerenja (rv .., ; -rn), poznate su dvije formule. Jedna od njih vrijedi za slučaj, da su nam poznate prav e pogreške (çv çt, $„.) pojedinih ovih iznosa. Ona glasi: ^=±.. . a) »Prave pogreške pojedinih mjerenjem dobivenih iznosa nisu nam međutim zapravo nigda poznate. Poznate mogu da nam budu uvijek samo t. zv. prividne pogreške (»„»„ -vn), koje izlaze kao diferencije između aritmetičke sredine i svakog pojedinog iznosa mjerenja. Stoga formula (1) ima samo teoretičku vrijednost. Za praksu pak, koja može da računa samo sa prividnim pogreškama mjerenja, može da kao formula za .. dođe u obzir samo formula ./´ \; I« v /´.. Za srednju pogrešku mr> koja tereti aritmetičku sredinu svih iznosa r, vrijedi — bez obzira na to, da li je srednja pogreška /«´ bila računana pomoću pravih ili pak prividnih pogrešaka mjerenja — formula ., m — ± -~- (3) v » Ove tri formule sasvim su osnovne naravi, jer se odnose samo na pogrešni argumenat (r). One stoga vrijede za sva tri navedena slučaja funkcionalnosti. Općenito vrijede one uvijek, kadgod se radi o direktnoj ponavljano] izmjeri pojedinačne veličine. Isključivo za slučaj funkcije (I) vrijede formule .. — ± a /ir (4) m, = + a m (5) koje pokazuju, kako sredn.ia pogreška .. dotično mx približne funkcije (I d) zavisi o srednjoj pogreški .. dotično mr argumenta r. Prema tim 2 Pojam »srednja pogreška« poznat je dobro i u varijacionoj statistici (biometriei). Ondje se pod ovdješnjoin oznakom »srednja pogreška pojedinog; mjerenja« razumijeva »srednja pogreška (srednja, standardna devijacija) pojedine varijante« naprama »srednjoj vrijednosti« (aritmetičkoj sredini svih varijanata). Jer ista ona svojstva, koja se po t. zv. Oaussovom zakonu s pravom pripisuju rezultatima pojedinih mjerenja (opažanja, opservacija) neke veličine i njihovim neizbježivim pogreškama, imajupojedine varijante mnogih kolektivnih predmeta (populacija), a jednako i njihove diferencije (otkloni, devijacije) naprama reprezentantima tih kolektiva (aritmetičkim sredinama). Naziv »srednja pogreška aritmetičke sredine« upotrebljava se u varijacijonoj statistici u jednakom smislu kao i ovdje (i uopće u nauci o izjednačivanju po metodi najmanjih kvadrata). Vidi na pr. .1 o h a n n s e u o v o djelo (broj 13. literat.), str. 97— 104, zatim Y u 1 e-ovo djelo (br. 14.), str. 266. 267, 344—346. Pa i zakon o prenošenju pogrešaka primjenjuje se mnogo ne samo u teoriji i praksi izjednačivanja po metodi najmanjih kvadrata, dakle na području nauka, kao što su na pr. astronomija, fizika, geodezija i dendrometrija, već i u varijacionoj statistici. Naročito se u ovoj posljednjoj primjenjuju one stipulacije spomenutog zakona, koje vrijede za slučaj navedene funkcije (II). Stoga su rezultati ovog razmatranja od jednake vrijednosti i za varijacionu statistiku. 267 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 6 <-- 6 --> PDF |
su formulama srednje pogreške .. i mx sasvim jednake funkcije srednjih pogrešaka .,. i mr, kao što je to tražena veličina X (dotično .) naprama svome argumentu R (dot. r). II. Za slučaj funkcije (11) zakon o prenošenju pogrešaka djelomice je poznat, ali samo — i to opet tek djelomice — u pogledu srednje po greške .. kao funkcije srednjih pogrešaka .. f pa t ., i t. d. U pogledu srednje pogreške mx kao funkcije srednjih pogrešaka mr, m,, mt i t. d. on je ioš sasvim nepoznat. Moram odmah reći, da su ga mnogi autori formulisali i u pogledu srednje pogreške mXi ali je — kako ćemo vidjeti — ta formulacija sasvim pogrešna. Očito je sve njih prigodom ove formulacije zavela potpuna analogija funkcije (5) sa funkcijom (4), pa su s obzirom na tu analogiju bez ikakova ispitivanja već unaprijed bili uvjereni, da formula za srednju pogrešku m-x mora imati isti oblik kao formula za srednju pogrešku ... Da uvidimo, kako je ovo nemoguće, izvest ću najprije poznati izraz za najvjerojatniju vrijednost funkcije (II) kao i poznatu formulu za srednju pogrešku .. . U tu svrhu ograničit ću se radi jednostavnosti na prva dva desna člana funkcije (II). 1. Rezultati mjerenja obiju veličina R i S mogu da budu poznati bilo u jednakom ili pak u nejednakom broju. Uzmimo ovaj drugi slučaj, koji je općenitiji i može bolje da posluži jasnoći cijelog ovog zakona. Recimo dakle, da je veličina R ponovno mjerena .. puta, a veličina S svega n2 puta, pa da je ., > »,. Od tih dviju veličina imamo dakle ove podatke mjerenja: Kad su svi ti podaci već tu, onda bi bilo sasvim nerazumno, ako bismo možda višak podataka za S (donji od navedena dva slijeda) naprama broju podataka za R (gornji slijed) htjeli kod računanja aritmetičke sredine za X jednostavno zanemariti. Jer to bi bilo samo na uštrb točnosti u pogledu najvjerojatnijeg iznosa za X, a osim toga ne bismo nikako mogli stvoriti objektivan sud o tome, koje podatke donjega slijeda da zanemarimo. Treba dakle da u smislu izraza pod (II), ograničenog na prva dva desna člana, potpuno iskoristimo sve ove pojedinačne rezultate mjerenja. Onda naravski moramo u smislu toga izraza svaki član prvoga slijeda postepeno vezati sa svakim pojedinim članom drugoga slijeda. Tako ćemo dobiti svega., w2 pojedinačna zbroja dotično diferencije, dakle: x == ri si >X = V h», ) u i T2l = »-, ± », ; 1 JI, — vt i "ta = ri ± h ; .22 -+ 8i ; r2(7) ., = r, 4- s : ., = r, + s ; . = r -\ 268 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 7 <-- 7 --> PDF |
Odavde slijedi kao najvjerojatnija vrijednost funkcije X (aritmetička sredina svih pojedinačnih zbrojeva dot. diferencija) izraz: M n2 [r] ± % [s] _ _ [r] [s] (8) «9 nxn2 Na jednak se način dobiva za aritmetičku sredinu tročlane funkcije (II), ako je veličina T mjerena svega m puta, izraz: . + . + Ji (9) Kako je rečeno, iznos aritmetičke sredine (.) svakako je pogrešan, a put k formulisanju izraza za ovu pogrešnost (mx ) vodi preko izraza za srednju pogrešku .,. Da dođemo do ovoga izraza, moramo također iz svih pogrešaka , koje terete pojedine podatke mjerenja pod (6), kombinovati na isti način kao pod (7) svega ny n2 zbroja dot. diferencije. Recimo, da su nam poznate prav e pogreške (QV ç2- çni i as, <.2, terete **-<.)> ^... Pojedine podatke mjerenja pod (.). Onda ćemo imati ova m n> zbroja (diferencije) tih pogrešaka: (± en) = (± .) ± (± ot); (± ..) = (± Q2) ± (± aj ; (±U«(±ij ± (± :± u - (± QU ± (± i (10) (±«-.i)-(±0±(±«v) ; (±il2)=(±s«j±(±^) (±cj=(±^)±(±^) j Ako se ti zbrojevi dot. diferencije:i dignu na kvadrate, pa svi ti kvadrati zbroje i njihov zbroj stegne, dobiva se kao konačnP izraz zbroja ovo: [i i] = »2 [Q Q] + »! [ ff] ± 2 fe] M (H) Zadnji, dvoznačni član na desnoj strani ove jednadžbe ispada iz računa, Jer on u smislu üaussove teorije kod velikog broja ponovnih mjerenja, kakav se ovdje i traži, zapravo iščezava — i to već prema svakom od prvih dvaju članova zasebice, a pogotovo onda prema njihovu zbroju. Ako se dakle ostatak zbroja pod (11) razdijeli na cjelokupan broj u njemu 3 Kraćenjem dobivaju oni, naravski, oblike: ± in = ± ?i ± °\ đ ± Su = ± h ± at \ ´ 269 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 8 <-- 8 --> PDF |
zastupanih kombinacija (m m), izlazi kao srednji od svih ovih ri\ n- kvadrata izraz: [ii\ _ »2fgg]4-»i|gg| _ legi i [ggT fl2, S obzirom na formulu (1) poprima ova jednadžba oblik K — L +^! v13) dotično . = ± \v"T+7f ^14) To je t. zv. Pilagorin poučak računa izjednačivanja. kojemu .1 o ida n pripisuje svojstvo najvažnijeg poučka u cijelom računu izjednačivanja (br. 3. lit., str. 91.). Na jednak se način za slučaj triju ili više članova u funkciji (11) dobiva: . = ±.^ + ^+^-.- (]5) Uzme li se, da pod korijenom u formuli (15) ima općenito v članova i da su svi oni jednaki (.. = .. = .,_ =;= pf, što u zbilji može i da bude, onda ta formula prelazi u poznatu formulu: lia—(l^V (16) Ona pokazuje, da srednja pogreška (.. ), koja tereti pojedino mjerenje funkcije , raste ne samo sa srednjom pogreškom ,", koja tereti pojedino mjerenje svakog element a te funkcije, već i sa množinom (v) tih elemenata. Srednje pogreške pojedinih elemenata nagomila v a j u s e dakle u srednju pogrešku funkcije i to je nagomilavanje to veće, što Je veći broj elemenata u funkciji. Na osnovi ispravne formule (14) svi autori, koji u svojim djelima ili u publikacijama svojih naučnih radova navode formulu za srednju pogrešku mx , koja tereti zbroj ili diferenciju a r i t in etičkih sredin a pod (8) dotično (9), daju toj formuli sasvim isti oblik, kao što ga ima formula (14) dotično (15), t. j . oblik4 m = 4-\.. 4-m (14 a) m ± Vml+m! +m) + ´ (15 a) 4 Vidi na pr. djela dotično radove pod brojevima 13—27 i 31 pregleda literature — i to: broj 13, strana 104; broj 14, str. 346; broj 15, str. 311; broj 16, str. 149 i 150; broj 17, str. 53; broj 18, str. 249, 250; broj 19, str. 6: broj 20, str. 23, 26, 30; broj 21, str. 105, 106; broj 22, str. 95; broj 23, str. 67, 70; broj 24, str. 16, 17, 24—26 i dalje; br. 25. str. 28; broj 26, str. 53, 54; broj 27, str. 1; broj 31, str. 21, 22. 270 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 9 <-- 9 --> PDF |
Svi istraživači, ko.ii se u svojim naučnim radovima služe formulom za mx, a njih je velika množina, upotrebljavaju je po tom receptu. Prof. Czube r dolazi u jednoj svojoj publikaciji´ do formule (14a) dapače izvodom. Ali je taj izvod, kako ćemo vidjeti, sasvim neispravan. Neispravan je već zato, što Czube r izvodi tu formulu — naravski uz neke (u ostalom također sasvim neispravne) modifikacije — analogno postupku, po kojem se izvodi formulât 14). No izvod prave formule za mx ima da se tek nastav i na formulu (14) dotično (15), a ne da se njome već završi. Donosim odmah taj, u ostalom sasvim jednostavni i kratki nastavak. Analogno kao pod (,3) imamo u slučaju dvočlane funkcije (11) izraze u . .. = ±-.=; m=±-ß= (17) V a., Kao što na iznos srednje pogreške .. i mr (dotično /is i ms ) utJeče svega ny (dotično .2) pojedinačnih pogrešaka, isto tako prema jednadžbi (12) -- na iznos srednje pogreške .. t pa prema tome i na iznos srednje pogreške .., utječu zbrojevi dot. diferencije tih pogrešaka, kojih je cjelokupan broj IU ih. A ti zbrojevi (dot. diferencije) imaJu po teoriji izjednačivanja sasvim ista svojstva kao i same pojedinačne pogreške. Stoga analogno formulama pod (17) formula za mx ima da glasi: m„ = ± -..= (18) Obrnuto izlazi iz (17) i (18): .. = ± mr V^7 ! !\ = ± », fii~; j (19) fix — ± .. y .. ^ I Ako se ove tri vrijednosti uvrste u jednadžbu (14), pa ako se zatim obje strane te jednadžbe razdijele sa ]j .. .2 . a to je i potrebno u smislu formula (3), (17) i naročito (18), dobiva se: "l / n. m -4-n„ mi »K = ± \/ 7 ´ = + \/ — (20) Ova ispravna formula za srednju pogrešku .. kao funkciju srednjih pogrešaka mr i ms ima dakle sasvim drugačiji oblik od općenito upotrebljavane formule (14a). Ona se ističe jednom naročitom karakteristikom. Veličina R mjerena je prema supoziciji svega ., puta, a veličina S svega n-i puta. Osim toga je uzeto, da je .2 > .,. To bi u smislu Qaussove teorije najmanjih kvadrata značilo, da aritmetička sredina svih s 6 Broj 28 pregl. liter., str. 335, 336. 271 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 10 <-- 10 --> PDF |
pod (8) točnije predstavlja veličinu S, nego aritmetička sredina svih r veličinu R. Drugim riječima to znači, da je srednja pogreška ms manja od srednje pogreške mr . Osim toga je po Oaussovoj teoriji radi odnošaja »s > ., i sam iznos srednje pogreške ms određen točnije (pouzdanije) od iznosa srednje pogreške mr. Stoga prema teoriji, ko.ia vrijedi za slučaj nejednako točnih mjerenja, treba da srednjoj pogreški ms pripadne već i utjecaj na srednju pogrešku mx, t. j . veći »uteg« (pondus, Gewicht), nego srednjoj pogreški mr . A to i jest, jer odnošaj .2 > ., izazivlje protivni 11 odnošaj — < — i jer ova dva razlomka nisu ništa drugo, već utezi u formuli (20). Formula (14a), što ju je za srednju pogrešku mx izveo prof. C z u- b e r, ne odgovara ovom zahtjevu teorije. C z u b e r" u svom izvodu formule (14a) daje srednjim pogreškama m, i ms onu ulogu, koja kod izvađanja formule za srcdn.iu pogrešku funkcije (II) može prema teoriji da pripada samo neposredni m pogreškama, t. j . onima pod (10). Osim toga on od jedinih dviju pogrešaka, s kojima ondje uopće računa, t. j1. od + mr i + mSl pravi — mijenjajući predznake — četiri zbrojevne kombinacije, dok je tu, kako to pokazuju grupacije pod (7) i (10), moguća i stvarno ´ dopuštena samo jedna jedina kombinacija ( -j-mr + ms ) . Četiri kombinacije bile bi moguće samo onda, kad bismo za svaku od veličina R i S imali po d v i j e i k tome stvarno, a ne jedino po predznacima različite srednje pogreške (recimo: 4-m´ i 4-m zatim _1_ y _-L_ r I ± m i + m"). A toga kod Czubera nema, kao što to po samoj naravi stvari ne može ovdje uopće ni da bude. Osim toga smiju da se prema Gaussovoj teoriji u slučaju funkcije (II) međusobno već u prvoj potenciji zbrajaju dot. odbijaju samo neposredn e pogreške mjerenja, a nipošto srednj e pogreške. Uopće C zub er identifikuje ovdje srednje pogreške m,. i ms sa niihovim uzrocima, a to je logički neodrživo, jer nijedna posljedica (ovdje srednja pogreška) ne može da bude svojim vlastitim uzrokom. Ovaj Czubero v izvod ne bi iz navedenih razloga nikako mogao da zadovolji ni onda, kad bi njegova formula (14a) imala da vrijedi samo za srednju pogrešku pojedinog mjerenja funkcije (II). Pogotovo onda ne može on da dovede do ispravnog izraza za srednju pogrešku aritme tički srednje funkcije (II). Primijeni1 li se načelo, na kojem je izvedena formula (20), na t r i člana funkcije (II), dobiva se analogno: = + .´ == + V i*´ + "» + ^i V .1 .2 .. V »1 .2 W8 G On doduše na dotičnom mjestu (jednako kao i svi ostali autori) za navedene srednje pogreške upotrebljava druge oznake, ali se ipak i kod njega kao i kod svih ostalih autora na citiranim mjestima sasvim jasno vidi iz cijelog sadržaja, da je svuda pod formulom za srednju pogrešku zbroja ili diferencije (točnije: za srednju pogrešku aritmetičke sredine svih zbrojeva dot. diferencija) mišljena ovdješnja formula (14a). 272 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 11 <-- 11 --> PDF |
Vidimo, da se ta formula još jače razlikuje od formule (15a), nego formula (20) od formule (14a). Već iz samog oblika formula (20) i (21) može se sa sigurnošću zaključiti, da proširenje formule (21) na četiri člana pod korijenom mora da dade ovu formulu: V/ V/ m m m, m ´-1 i 1 ´-1 S— (22) m = n2 n3 ni nt n3 ni »j n2 .4 nl .. .3 Općenito, kod v članova u funkciji (II), poprima formula za m% oblik: V n.1 m 4-n0 m 4- ». m, 4- 4-.„ m ´ ´—î—s——s—*— —-—- (23) .3 n .1 .2 ´ ´ ´ ´v Iz ovih dosad nepoznatih formula, (20) do (23), dadu se izvesti neki važni zaključci. Stavi li se naime nl = n2 = .. = = nv = », prelaze formule (20) do (23) u formule s 1 2 =.± m. -\-m (24 n i 1 mr4-m m, 2 \ r´ s + *. = ± V ´M 2 . (2.) -V 3 1 2 / m m 4-+ ml 2 + * > (26) r l i .. 2 1 2 m +;+ 4-m 1 J(! -±\ (27) r Uzme li se u zadnjoj formuli, da je .>. = ms = . mm = m, a to u zbilji može lako i da bude, onda ona poprima oblik . = -\- m \ (28) Prema ovoj formuli srednja pogreška mx ne može nikada da bude veća od srednje pogreške m, osim u slučaju, da je n — 1. No taj ie slučaj kod izjednačivani a po metodi najmanjih kvadrata nemoguć, jer on isključuje uopće svaki pojam srednje pogreške. Uzme li se n = 2, v = 2, onda iz zadnje formule izlazi, da je mx = m. Kod n — 2, *- > 2 izlazi, da je mx<^m. 1 ova je nejednakost to veća, što je veći broj elemenata (»0 u funkciji (II). Uzme li se pak n = 3, onda će i kod v — 2 izići, da je m.x < m . Ova nejednakost bit će opet to veća, što je veći broj v. Dakle opet: što je veći broj elemenata u funkciji (II), to je srednja pogreška cijele funkcije sve manja od srednje pogreške pojedinih elemenata. 27S |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 12 <-- 12 --> PDF |
Ovaj je poiav sasvim obrnut od pojava skopčanog sa formulom (16) i njezinim osnovnim formulama (14), (15), (14a), (15a). Ondje smo vidjeli, da se srednje pogreške pojedinih elemenata n a g o . i 1 a v a j u u srednju pogrešku funkcije, a ovdje vidimo dosad nepoznati pojav, da se one »o d g o m i 1 a v a .i u« u srednju pogrešku funkcije. I kao što je ondje nagomilavanje sve to jače, što je veći broj elemenata u funkciji, tako se ovdje sa povećavanjem broja elemenata pojačava odgomilavanje. Ovaj nam fakat eklatantno predočuje korist aritmetičke sredine u vezi sa dijeljenjem veličine A" u što više elemenata, jer onda - kod ništa većeg broja mjerenja (n) -- srednja pogreška mx sve to jače pada. Uzme li se prema formuli (3) u obzir, da je m = -.=, pak uvrsti li V n se ovo u formulu (28), poprima ona oblik i n 2. Sve formule počevši od (14) ovamo osnivaju se na supoziciji p r a- vi h pogrešaka mjerenja, navedenih pod (10). Dosad u literaturi poznate stipulacije zak. o prenošenju pogrešaka, koliko se one odnose na slučajeve funkcija (II) i (111), osnivaju se uopće samo na toj supoziciji. No rekao sam pod toč. I., da su nam te pogreške zapravo uvijek nepoznate, pak da smo stoga uvijek prisiljeni računati sa t. zv. prividni m pogreškama. Stavimo li dakle pod (10) na mjesto pravih pogrešaka i njihovih zbrojeva (diferencija) prividne pogreške — u istom cjelokupnom broju naravski, onda zbroj kvadrata pod (11) poprima točn o oblik, koji ostaje nakon križanja zadnjeg (dvoznačnog) člana na desnoj strani jednadžbe (11). Jer u smislu Oaussove teorije taj je zadnji član u ovom slučaju, sve i kod malog broJa mjerenja, točno jednak nuli. Samo se u ovom slučaju taj zbroj svih ih ih kvadrata pogrešaka ne smije više dijeliti - kao što je to učinjeno pod (12) — sa ih m. već u smislu formule (2) samo sa (ihn-— 1). Jer ovdje izrazu u pod (2) odgovara strogo izraz n%m. Ovdje dakle mjesto jednadžbe (12) ima pravog smisla samo jednadžba ! v v 1 „ na \v V I 4- n, \v !>1 -;/ — » l ´ *1 H*l * ´J (30) 1 "--....- Iz formula za srednje pogreške .. i ^Si koie u ovom slučaju, analogno formuli (2), glase: v v [«.«.] . — ——. ; iK — ——. i a) n. — 1 .. — ´izlazi, da je [v,. Vr } — (n, — 1) [i*: isto tako da je [», v, ] = (.8 — 1) .\ . Uvrste li se ove vrijednosti u jednadžbu (30), dobit će se: ~ y nt n2 — 1 274 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 13 <-- 13 --> PDF |
Ova formula, koja važi za srednju pogrešku pojedinog mjerenj a funkcije (11), glasi dakle sasvim drugačije od formule (14). U praksi izjednačivani a opravdana je faktično samo njezina upotreba, jer su nam, kako rekoh, u zbilji pristupačne uvijek samo prividne pogreške mjerenja, a ne prave pogreške, na kojima se osniva formula (14). Pa i srednje pogreške .. i .. obaju elemenata rečene funkcije računaju se u praksi izjednačivanja i mogu faktično da se računaju - - samo po formulama (2a) dotično (2), a ne po formuli (1). Stoga se očito griješi protiv logičnosti, ako. se srednje pogreške elemenat a funkcije računaju po formuli, koja se osniva na priv i d n i m pogreškama mjerenja, a srednja pogreška same funkcij e po formuli, koja se osniva na p r a- v i m pogreškama mjerenja. Postavio sam supoziciju »2 > n1. Stoga je i izraz (n.2 — \)nl = = m .. — ih veći od izraza (»i 1) .. == tli .. - rii. A ovi izrazi nisu ništa drugo, već »utezi« u formuli (31), koji dakle i to sasvim opravdano - dolaze već u formuli za srednju pogrešku pojedino g m j e r e u j a veličine X. Jer iznos srednje pogreške p,s , osnovane na većem broju pojedinačnih pogrešaka (mjerenja), određen je točnije (pouzdanije) od iznosa srednje pogreške .. . Stoga mu pripada i veći utjecaj na srednju pogrešku ... Ovo je također uzrok, da formula (31) bolje odgovara potrebama zbilje nego formula (14). Upotreba formule (14) ima opravdanja samo za slučaj, da su brojevi mjerenja (., i ..) vanredno veliki. Kad bi oba ta broja bila neizmjerno velika, onda bi obje aritmetičke sredine pod (8) točn o predstavljale 1) r a v e vrijednosti za R i S, prividne pogreške mjerenja točno bi se podudarale sa pravim pogreškama i utjecaj razlike (.2 — ih) na točnost iznosa određenih za srednje pogreške .. i .8 potpuno bi iščezavao. U tom slučaju ne bi utezi u formuli za px bili naravski ni od kakove potrebe.´ No čim brojevi m i .. nisu neizmjerno ili barem vanredno veliki, odmah se aritmetičke sredine ne podudaraju sa pravim vrijednostima, prividne pogreške .mjerenja razlikuju se od pravih pogrešaka i formule (2a) pouzdanije su od analognih formula osnovanih na formuli (1). Pa i diferencija {m -iu) utječe onda odmah na pouzdanost iznosa za srednje pogreške .,. i ., . Dakle mjesto formule (14) ima onda da stupi u akciju formula (31). Za slučaj triju i četiriju članova u funkciji (II) izlaze na sasvim analogan način za srednju pogrešku u formule J)Wl (. — ]) », », t\ + (»2 — V) .. »8 !´s + («, — .2 P, (32) .1 ni 1 \ .. — = + ./ K -X)n2 »a »«/´?+ + (»4 -1)»i n2 % /´» m) f´x V .. .. .. .. — 1 ~ ´ ´ ´ . i. L 6 4 Općenito, kod v članova u funkciji (II), proširuje se potonja formula u formulu j = + ./(wi—l)nt**i- "´ t´l - r (n„ - 1) »t % . . nv _ j L * («1.2.3 "^-T1 . |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 14 <-- 14 --> PDF |
Stavi li se u zadnie četiri formule « = n. = . =».= » dobit će se za njih redom: (3.) * ** = ±. ^ .± (36) --V ,2+«+i~ u = + \ — VT. ´ . (37) . -f-. -f~ » -|" 1 (38) -V »»-»4-»*-»-] f-»"-i*--»)-}. Stavi li se ^r = ^ = pt = . . . . ==/!„ = ^, onda iz zadnje formule izlazi: Srednje pogreške pojedinih elemenata nagomilavaju se dakle i ovdje u srednju pogrešku funkcije, pa također sve to jače, što je veći broj elemenata u funkciji (II) ; no to Je nagomilavanje slabij e nego po formuli (16), jer je koeficijenat v1 n~ (39 a) (-»+V-»4 -|-»»-(*-»> 4.»»-* očevidno uvijek manji od 1. Vidjeli smo, na koji način iz formula (14) i (15) nastaju formule (20) do (23). Iz formule (31) izlazi na isti način za srednju pogrešku mx formula V V (n. — 1) m 4-(n0 — l)m2 ; r K 1-i —-´ J—L. (40) ntn2 — l I iz ove formule vidimo, da srednja pogreška ms , jednako kao i u formuli (20), ima sasvim opravdano veći uteg od sredn.ie pogreške mr, jer je prema supoziciji «2 > .. . Za slučaj triju članova na desnoj strani funkcije (II) ima formula za srednju pogrešku mx ovaj oblik: V V (n, — 1) m -J-(.. — 1) m 4-in, — 1)>*»i. _Li 1 ´-LA * > tZ-Li C—L. (41 .2.. .1 * 276 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 15 <-- 15 --> PDF |
Öva formula izlazi iz formule (32) na isti način kao formula (40) iz formule (31). Općenito, kod v. članova u funkciji (II), proširuje se potonja formula u formulu (»! — 1) mr + (.2 — *) ». + + (»v — 1) m x ( wi .. w3 n ~ \ ´ ´ ´ ´v ) — 1 Stavi li se ., = ., =.«, = = »,-=», prelaze formule (40) do (42) u formule w» -+-m -irr- (4.) V V N* 4-m -4- m, V V / 2 i 2 i i 2 ´ M + m -4- .... -4-m ´ f— , " : (45) Za slučaj odnosa mr = *», = =^mw = m prelazi zadnja formula u formulu m — -{- m \ -, ; (46) » -. »" -»-j-»"-»4^. J-»"-("-0-j-»«-r koja predočuje, da je ovdje »odgomilavanje« pogrešaka još znatno jače, nego po formuli (28). Formule (39) i (46) poprimaju za slučaj, da je v = 1, oblike: J». = M (47) m, — m (48) Srednja pogreška, koja tereti iznose elemenat a veličine X, bila bi dakle u slučaju * = 1 identična sa srednjom pogreškom, koja tereti iznos cijele te veličine. Uvrsti li se i u formulu (46), jednako kao u (28), za m izraz -?= ; prelazi ta formula u formulu « n .. == ± ft y ——————j -^^_____)^^_(j(_i- Ona kod * = 1 prelazi u formulu: ». = ± -L-= ± W (5°) y . y w L77 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 16 <-- 16 --> PDF |
Iz formule (49) vidimo, da kod konstantne srednje pogreške /< srednja pogreška mx zavisi samo o brojevima v \ n. Kakove je naravi ta zavisnost? Da to odredim, uzeo sam najprije v kao konstantno(== 2), a // kao varijabilno (— 2, 4, 6, 8, 10). Rezultati računanja po formuli (49) svrstani su u trećem stupcu priložene tablice. Nakon toga uzeo sam n kao konstantno ( = 2), a v kao varijabilno (— 2,4, 6, 8, 10). Tako izračunane nove vrijednosti za » , svrstane su u sedmom stupcu. I. mx = F{n) H. mx = Fiv) V 2 n 2 4-m — X 0 5774 a + m — XfJ 0-8973 fi . 2 ´ v 2 ± mt 0-5774 ft + m — xg 0-8973 fi 2 2 2 2 4 6 8 10 0-3162 /i 0-2182 u 0-1667 u 0-1348,« 0-4262," 0-2789 /i 0-2065 /i 0-1635 ft 2 2 2 . 2 4 . 6 8 10 03651,« 0-2182/. 0-1252 /i 0-0699 fi 0.5674,« 03391 (tt 0-1946,» 0-1086," Promatrajući iz ta dva stupca pojedine koeficijente (zamišljene kao ordinate) vidimo, da su oni pri apscisama 2 i 6 (navedenim u 2. i 6. stupcu) međusobno jednaki. Između ove dvije apscise srednja je pogreška mx iz sedmoga stupca veća od srednje pogreške .. iz trećega stupca, a nakon apscise o odnošaj je trajno obrnut. To se još bolje vidi iz krivulja 1 i II na slici 1., kojima je tendencija nakon apscise 6 trajno divergentna i od kojih I predočuje padanje koeficijenata iz 3. stupca, a II iz 7. stupca. Kad bi se dakle veličina X razdijelila u 7 povoljnih diielova, pak svaki taj dio izmjerio samo dvaput, onda bi prema toku tih koeficijenata (naravski kod jednake srednje ppgreške /<) veličina X bila aritmetičkom sredinom obiju tih izmjera točnije određena, nego kad bi se razdijelila samo u 2 di.iela, pak se svaki taj dio .mjerio sedam puta. U pogledu iznosa za srednju pogrešku mx bilo bi pak pod navedenim uslovom sasvim svejedno, da li veličinu X dijelimo u 2 dijela i svaki taj dio mjerimo šest puta ili pak da li je dijelimo u 6 dijelova i svaki taj dio mjerimo samo dvaput. To bi bilo svejedno u pogledu točnosti, ali´ niJe svejedno u pogledu praktičnosti. .1er u slučaju dijeljenja u G dijelova (s obzirotn na to, da na pf. dvokratno mjerenje svakoga od 6 dijelov a veličine X znači isto, što i dvokratno mjerenje cijel e te veličine) posao m.ierenja pada na jednu trećinu posla potrebnog u slučaju dijeljenja u 2 dijela. A kolika bi pri tom dijeljenju veličine X u 6 dijelova bila uštednia pošla naprama poslu potrebnom za jednako točno određenje iste veličine izmjerom njezinom u cjelini (t. j . kod v = I)? To se dade odrediti, ako se iznos 0´2182 ," iz 7. stupca postavi ´u jednadžbu sa izrazom -,=? y n iz formule (50). Iz te jednadžbe izlazi n =f= 21, te bi dakle posao m.ierenja pri dijeljenju veličine X u . dijelova bio 10 f pol .puta manji od posla potrebnog za po prilici jednako točnu izmjeru iste veličine u cjelini. 278 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 17 <-- 17 --> PDF |
Ovi se računi osnivaju na supoziciji sasvim pouzdano određenih srednjih pogrešaka ,». Ali pojedine iznose srednje pogreške /´ u tabeli, osnovane na sasvim ograničenom broju mjerenja, tereti također neka srednja pogreška, koja naravski utječe i na iznose srednje pogreške mx . Stoga je za sasvim sigurne zaključke ove vrsti potrebno, da se napomenuti (u 3. i 7. stupcu svrstani) iznosi za »«.,, podvrgnu izvjesnoj korekturi. Uzme li se pri formulisanJu izraza za srednju pogrešku pojedinog mjerenja u obzir također srednja pogreška, koja radi ograničenog broja mjerenja tereti tu srednju pogrešku, onda prema W e 11 i s c h u i H e 1mertu ´ formula za tu srednju pogrešku glasi: (51) V^V^r Ova formula u kojoj pored broja mjerenja (») dolazi kao argumenat i sama nesigurna srednja pogreška ,», određuje srednje granice (/<,,), do kojih može da dosegne ta srednja pogreška. Za nas je ovdje važan samo veći od obaju graničnih iznosa, jer samo s njegovom pomoći možemo gotovo sasvim sigurno odrediti, kod kojega se iznosa za n dotično v sijeku krivulje analogne spomenutim krivuljama 1 i II. A taj veći granični iznos uvjetovan je pozitivnim predznakom pod korijenom. Tako sam dakle računao pojedine ove iznose srednje pogreške . — i to za brojeve // = 2, 4, ., 8, 10. Oni glase istim redom: pg = + 1-554 . , + 1-348 . , ± 1-278 fi, + .289//, + 1-213/t. Zamijenivši izraz . u trećem i Vidi broj 3. lit., str. 115.; broj 10. lit., str. 75 i 76. 279 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 18 <-- 18 --> PDF |
sedmom stupcu tabele pojedinim analognim iznosima za . dobio sam izmnoženjem ondješnjih koeficijenata sa koeficijentima za . nove koeficijente, koji su svrstani u 4. i 8. stupcu. Tok tih koeficijenata predočuju krivulje I i II na slici 2. One se, kako vidimo, sijeku već nešto prije apscise 8, tako da i´ za najnepovoljniji slučaj možemo već biti prilično sigurni, da sjecište ne može prijeći apscisu 8. Možemo stoga sasvim sigurno reći, da se iznos veličine X, ako je razdijelimo u osam dijelova i svaki taj dio mjerimo samo dvaput, dade barem tako točno odrediti, kao kad bismo je razdijelili samo u dva dijela i svaki taj dio mjerili osam puta. Iz formule analogne formuli (50), ali u kojoj izraze mx, . i .. zamjenjuju analogni izrazi mxg> pg i (1...) izlazi: ..=±.^. (52) Uvrsti li se ovdje na mjesto .. desna strana jednadžbe (51), a na mjesto mxlJ iznos 0´194. . iz osmog stupca tabele, dobiva se jednadžba, iz koje izlazi n — 28´3 ili okruglo n = 28. Dakle je sasvim sigurno, da dvokratno mjerenje veličine X, razdijeljene u osam dijelova, vrijedi u pogledu točnosti upravo toliko, koliko u tom pogledu vrijedi 28-kratno mjerenje iste, ali nerazdijeljene veličine. A posao mjerenja pada pri tom, kako vidimo, na Vu posla potrebnog za mjerenje nerazdijeljene veličine. III. Za slučaj funkcije (III) poznata je dosad u literaturi za srednju pogrešku pojedinog mjerenja formula *. = ± VK^O´+k/0´+(W+----(53) Kako se vidi, ta je formula kombinovana, i to ispravno kombinovana, iz formula (4) i (15), od kojih se druga osniva na supoziciji pravi h pogrešaka mjerenja. Stoga i formula (53) može da vrijedi samo za slučaj poznavanja pravih pogrešaka mjerenja, koji međutim ne nastupa u zbilji nigda. Formulu za srednju pogrešku (mx) aritmetičke sredine navode dosad za slučaj funkcije (III) samo dva — i to čisto šumarska autora.8 No oni toj formuli daju posve oblik formule (53), padaju dakle s obzirom na srednju pogrešku m.x funkcije (III) u istu bludnju kao i autori, koji za srednju pogrešku mx funkcije (II) navode ili pače izvode formule (14a) i (15a). Jer stavimo li u funkciji (111), ograničenoj na prva tri člana, redom ar R = B, asS—C, at T = D, pak uzmemo li kao pod točkom II., da je veličina B mjerena m puta, veličina C svega m puta i veličina D svega . puta, onda u smislu formule (21) mora biti: 2 2 . m. m m, —t+ —i -+ —-L- (54) »..38 ntut nynt Vidi u pregledu literature broj 12., str. 123—130; broj 23., str. 70; broj 29., str. 508. 280 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 19 <-- 19 --> PDF |
No u smislu formule (5) slijedi dalje, da je mb = ar mr, m,, = as ms , .,, = a, mt . Uvrste li se ovi izrazi u zadnju formulu, izlazi iz nje neposredno ispravna formula -i / (a m )2 (a m )2 (a, m A2 .. =\ n211., ..~-nl + h -U_fi n3 -ir~ (..) koja se sasvim bitno razlikuje od formule, što je navode spomenuta dva autora i koja je, kako rekoh, sasvim jednaka formuli (53). Općenito, kod v članova u funkciji (111), proširuje se formula (55) u formulu V , K mrî + % (a, mj -j \-nv (a„ .. f (56) i. ni .2 % ... formula (53), tako naravski i ova formula može da vrijedi samo za zbiljski nemogući slučaj poznavanja pravi h pogrešaka mjerenja, te ima zato samo teoretičko značenje. U zbilji se srednje pogreške funkcije (III) mogu, u slučaju reduciranja ove funkcije na prva dva desna člana, točno računati samo po formulama * ~ y »jj «„ — 1 / fw, — 1) fa m Y + (.„ — 1) fa m )2 M r r) . { S W w : -l/A-1 | Ü (58) Wj »3 — l . Za slučaj-»´ članova u funkciji (III) dobivaju se na isti način za .. i mx formule __ , . I (Wl — *) V V -´ W> (ar K )2 H .-(.. — I) W^2 »v -1 ( %KJ* (»1 .2 .8 V) — 1 V V 15 -1) . wr)´ + (w2 : D (", «o» . H . -J) («„ «,) (»j . 8»3 »„) — 1 One također pod uslovima .) = «2 =. . . . = »„ = n i dalje ^. = ., = = ^u, = /t ; zatim a,. = a, = - = a„, = a i konačno m,. = ws = . = »» = ». primaju redom jednostavnije oblike: 1 / " l\ r ´ r ! I \ s ´ s I I I \ ID f ic/ ) / n i V ´ »´^(K A*,)´+(«./*.)´+ 4-.^.) ´ . ´ — l/ « 1 I /V — 2 ! I . . 2* ff -li I . . V _vV ^ ´ -(» -l) _J_ ,/ w*-» _!_„»--*_f-. 1_„»/ »*-1 vK+«!+ s r+<) U =±/i 1/ ´ ´ T^V^ (62) -.<91 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 20 <-- 20 --> PDF |
k = -f-« \/ -+L) (63) i . / v´ /.. = ± a . y ________ dotično : -\ / K »´,.)´ +(yJ´-t + K´"„-)2 fRK, y n -f-n -\- -f~ « » I * = -f- m l/ (66) . n -f-. . f.*"-* _ I 2 ,2, i 2 . m ~\-m -+- -f- m r s . m = + a \/^ ! ^— (67) a m \/ *, = ± « « V -^—-..^ —^. (68) To bi bili nadopunjei zakona o prenošenju .pogrešaka. Vidimo, da oni taj zakon za slučaj funkcija (II) i (III) proširuju na četverostruki dosada poznati opseg. A ni važnost im nije neznatna, jer nipošto ne može da bude svejedno, da li se napr. srednja pogreška (mx ) diferencije dviju aritmetičkih sredina računa po formuli (14a) ili pak po formuli (20) dotično, što je još ispravnije, po formuli (40). Račun po ovoj posljednjoj formuli može lako da nas kod varijaciono-statističkili istraživanja dovede do sasvim drugačijih zaključaka u pogledu identičnosti dot. međusobne pripadnosti pojedinih kolektiva, nego što su zaključci, do kojih vodi racu-; nanje po neispravnoj formuli (14a). Osim toga činjenice predočene ovdje u pogledu utjecaja, što ga na točnost aritmetičke sredine vrši dijeljenje veličine X u više dijelova, popodobne su, da — kod jednakih zahtjeva u pogledu točnosti — mnogo pospješe i pojeftine radove oko mjerenja i izračunavanja različitih veličina. Dosad se napr. s obzirom na gomilanje pogrešaka po formulama (14) i (15), za koje se mislilo, da vrijede i za srednju pogrešku aritmetičke sredine, išlo za tim, da se svaka veličina po mogućnosti izmjeri kao cjelina ili da se pri mjerenju razdijeli barem u što manje dijelova (vidi napr. djelo pod toč. 2. liter., strana 103). Pri tom se naravski, ako je bilo potrebno, da se postigne velika točnost, ili moralo raditi sa vanredno preciznim i skupim instrumentima ili se pak moralo mjerenje veličine ponavljati mnogo puta. Činjenica, što sam je predočio na koncu 11. točke-, pokazuje naprotiv, da je i za postignuće velike točnosti dovoljno — uz jedan lako ispunjivi uslov — ponoviti izmjeru cijele veličine samo jedamput. » LITERATURA. 1. Czubc r E.: Theorie der Beobachtimgsfehler, Leipzig 1891. 2. Kozâk J.: Orundprobleme der Auegleidmngsrephnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, Wien-Leipzig 1907. 282 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 21 <-- 21 --> PDF |
3. We l lisc h S.: Theorie und Praxis der Ausgleichungsrechming, Wien-Leipzig 1909. 4. Buss e .1.: Ausgleichsrechnung und ihre Bedeutung für die Beurteilung forstlicher Fragen, Stuttgart 1912. 5. Forche r H.: Die statistische Methode als selbständige Wissenschaft, Leipzig-1913. 6. Vate r H.: Die Ausgleichungsrechming bei Bodenkulturversuchen, Berlin 191-8. /. Wei t brech t W. : Ausgleichungsrechming nach der Methode der kleinsten Quadrate, Berlin-Leipzig 1919—1920. S. J o r d a n - Eg g e r t: Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart 1920. 9. H a r t n e r -1) o 1 e ž a 1: Hand- und Lehrbuch der niederen Geodäsie, Wien 1921. 10. H e 1 in e r t - H o h e n n e r : Die Ausgleicluingsrechnung nach der Methode der kleinsten: Quadrate, Leipzig-Berlin .1924. *1. C z u b e r E.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung, Leipzig-Berlin 1924. 12. Tischendor f W.: Lehrbuch der Holzmassenerinittlung, Berlin 1927. 13. Johannse n W.: Elemente der exacten Erblichkeitslehre, Jena 1926. 14. Yulc ü. U.: An Introduction to thc Theory of Statistics, London 1927. 15. Lan g A.: Die experimentelle Vererbungslehre..., Erste Hälfte, Jena 1914. 16. Czube r E.: Die statistischen Forschungsmethoden, Wien 1921.; zweite Auflage, Wien 1927. 17. Collie r W. A.: Einführung in die Variationsstatistik, Berlin 1921. 18. Pearso n K.: On the différence and the doubled tests for ascertainirig wheter two samples have been drawn from the same population (Bioinetrika, Volume XVI, 1924). Î9. Zölle r W.: Formeln und Tabellen zur Errechnung des mittleren Fehlers, Berlin 1925. 20. Hook e B.: A third study of the Englieh skull... (Bioinetrika, Vol. XVIII, 1926). 21. Pearso n K.: On thc coefficient of racial likeness (Biometrika, Vol. XVIII). 22. Ta v čar A.; Zur Frage der Aussaatbemessung bei Sortenversuchen mit Winterweizen (Zeitschrift für Pflanzenzüchtung 1928). 23. Su Tic S.: Tačnost procjene sastojina pomoću primjernih ploha — L´exactitude de l´estimation des peuplements au moyen des places d´essai (Šumarski List 1929.). 24. Vaka r B. A.: Vlijanie ploščadi pitanija v svjazi s krupnost.iu posevnogo zerna na razvitie i urožaj jarovyh pšenic (Trudy Sibirskogo Instituta seliskogo hozjajstva i Jesovodstva, Tom IX, 1928). 25. Ilvessal o Yrjü : Tutkimuksia yksituismetsien tilasta Hämeen läänin kcskiosissa (Acta forestalia fennica 26—1923). 26. Saar i E.: Kotitarvepuun kulutus maasendulla Turuii ja Porin läänissä (Communieationcs ex Institute) quaestionum forestalium Finlandiae editae. 5—1923). 27. Van Uve n M. J.: Beoordeeling van het verschil tusschen twee varieteiten op grond van eeu waargenomen opbrengstverschil (Mededeelingen van de Landbouwhoogeschool Wageningen, Deel 31—1927). 28. Czube r E.: Zur Frage der Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf landwirtschaftliche Versuche (Zeitschrift für Pflanzenzüchtung 1922). 29. Tischendor f W.: Genauigkeit von Messungsmetboden und Messungsergebnissen bei Holzmassenermittlungeii (Forstwissenschaft!. Centralblatt 1925). 30. Lindeber g J. W.: Über die Berechnung des Mittelfehlers des Resultates einer Linieutaxierung (Acta forestalia fennica 25—1923). 31. Ta vč a r A.: Variaciona statistika u eksperimentalnoj poljoprivredi. (Izdanje ministarstva poljoprivrede i voda — knjiga 15.), Beograd 1929. ZUSAMMENFASSUNG. Das Fehlerfortpflanzungsgesetz in einer neuen Beleuchtung. Das Fehlerfortpflatizungsgesetz fusst noch ausschliesslich auf der Annahme wahre r Beobachtungsfehler und ist auch noch für diese Annahme durchaus ergänzt! ngsbedürftig. So berechnet man noch allgemein den mittleren Fehler (mx) einer Summe bezw. einer Differenz (´´) zweier oder mehrerer unabhängig voneinander bestimmten arithmetischen Mittelwerte (r, s, t usw.) nach den im Texte nachfolgend der Formel (16) angeführten Formeln (14a) und (15a), wo »»,., ma und mt die mittleren Fehler der besagten Mittelwerte zum Ausdruck bringen. Der Verfasser zeigte nun die Unrichtigkeit dieser Formeln, sofern sie den mittleren Fehler einer Summe bezw. Differenz von Mittelwerte n repraesentieren sollen, und leitete statt derselben die Formeln (20) bis (29) her. 283 |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 22 <-- 22 --> PDF |
Davon gilt die Formel (20) für den Fall zweie r Mittelwerte (r und s), wenn dem Mittelwerte r eine Anzahl von m und dem Mittelwerte s eine solche von ;z2 wiederholten Beobachtungen (bezw. Variationen in der Variationsstatistik) zugrundeliegt. Die Formel (24) entspricht dem Falle, wo m = m — n ist. Allgemein, für den Fall vonMittelwerten (r, s, t,... w), deren erster auf ni, zweiter auf n2, dritter auf n3, letzter auf nv Beobachtungen fusst, gilt die Formel (23), wo der Ausdruck im Nenner ein Produkt darstellt. Dieser Formel entspricht für den Fall von m = «a— =«*, = /; die Formel (27), Daraus folgt unter Annahme von m, = ms = ....=* mm = m die Formel (28). Gegenüber der bisher bekannten, ein »Fehler-Althäufungsgesetz« zum Ausdruck bringenden Formel (16) repraesentiert die Formel (28) ein ausdrückliches »Fehler- Abhäufungsgesetz«. Weiter leitete der Verfasser für den analogen mittleren Fehler der in der Einleitung angeführten Funktion (111) die Formel (55) her. Diese gilt jedoch nur für den Fall einer dreigliederigen Funktion (III). Allgemein — für v, uzw. (der Reihenfolge nach) je m, n-i iij mal wiederholt gemessene Glieder in Funktion (HI) — gilt die Formel (56). Dies sind in der Hauptsache Ergänzungen des Fehlerfortpflanzungsgesetzes unter Annahme wahre r Beobachtungsfehler. In der Praxis der Ausgleichungsrechnung ist man jedoch nur auf scheinbar e (plausible) Beobachtungsfehler angewiesen, da wahre Fehler unermittelbar sind. Und ebenso wie aus diesem Grunde die mittleren Fehler von E 1 e m e n t e n (R, S, T,...) der Funktionen (II) und (III) nur auf Grundlage von scheinbaren Beobachtungsfehlern berechnet werden, so erfordert es die Folgerichtigkeit, dass auch in bezug auf die mittleren Fehler der Funktionen selbst in gleicher Weise verfahren werde. Der Verfasser leitete daher für den mittleren Fehler {//,,.) der einzelnen Beobachtun g von X in Funktion (11) die Formeln (31) bis (39) her. Davon gebührt der Formel (,34) der Charakter der Allgemeinheit, d. h. sie gilt für den Fall, wo in der Funktion (II) insgesamt v, uzw. zu verschiedenen Malen wiederholt gemessene Glieder vertreten sind. Im Falle von », = nt — = nv = n geht diese Formel in die Formel (38) und diese wieder für den Fall von /lr = ps = . = (i,„, = /; in die Formel (39) über, Gemäss dieser Formel geschieht ebenfals ein Anhäufen von mittleren Fehlern («,) der Teilgrössen R, S, T.. . zum mittleren Fehler der ganzen Grösse X, dieses ist jedoch wesentlich schwächer als jenes unter (16), da der in (39) befindliche Koeffizient (39a) stets kleiner ist als 1. Für den mittleren Fehler (m,,) einer Summe bezw. Differenz vo n Mittel werte n gelten die Formeln (40) bis (46), wovon wiederum die Formel (42), in gleicher Weise wie (34), allgemeine Geltung besitzt. Für den Fall von », = n„ = = nv = n geht sie in die Formel (45) und diese unter m,. — ma= ~mv.= m in die Formel (46) über. Substituiert man hier m durch —=- so bekommt man die y» Formel (49). Ebenso wie die Formeln (28) und (29), so repraesentiereu auch die Formeln (46) und (49) ein Fehler-Abhäufungsgesetz, nur jedoch in einem noch wesentlich stärkeren Maasse. Der mittlere Fehler m.,. nimmt also nicht nur mit der Anzahl von wiederholten Beobachtungen (n) ab, sondern auch mit der Anzahl der in X enthalteneu Teilgrössen (R. S, T,...). Verfasser berechnete nun nach (49) den mittleren Fehler tnx unter zweierlei Annahmen. Zuerst nahm er v als konstant (= 2) an, n dagegen als nacheinander = 2, 4, 6, 8, 10. Dann wurde /; = 2 und v = 2, 4- 6, 8, 10 angenommen. Die Rechnungsresultate sind in den Spalten 3 und 7 der beigegebenen Tabelle enthalten. Dieselben wurden nun unter Anwendung der bekannten, von Well i sc h (S. 115) und H e 1 m e r t - H o h e n n et (S. 75, 76) angegebenen, den mittleren Fehler des mittlere n Fehler s berücksichtigenden Formel (51) korrigiert und die so erhaltenen Werte in den Spalten 4 und 8 niedergelegt. Diesen Zahlen entsprechen die Kurven I und II. in der Abbildung 2 (Sl. 2.), die sich zwischen den Abszissen 7 und 8 schneiden. Für die Abszisse 8 ist also schon mx = F (>) geringer als mt. = y>´ (»), Man kann daher fast mit Sicherheit sagen, dass die Grösse X, .wenn man sie in 8 beliebige Teile einteilt und jeden derselben bloss zweimal misst, genauer oder wenigstens so genau bestimmt werden kann, als wenn man selbe in 2 Teile teilt und jeden dieser Teile achtmal misst. 284, |
ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 23 <-- 23 --> PDF |
In ähnlicher Weise fand der Verfasser, dass das zweimalige Messen der in 8 Teile geteilten ürösse X ganz ebensoviel in bezug auf die Genauigkeit gilt als das 28-nialige Messen derselben, jedoch ungeteilten ürösse. Und dabei sinkt natürlich die erforderliche Vermessungsarbeit auf ´/« derjenigen herab, die für das Messen der ungeteilten ürösse notwendig ist. Für die mittleren Fehler ,,x und mx der Funktion (III) leitete Verfasser unter Annahme scheinbarer Beobachtungsfehler die allgemeinen, den Fall von v verschieden malig (»,, »2) . . . ri„) gemessenen Gliedern in Funktion (III) berücksichtigenden Formeln (59) und (60) her. Diese nehmen für n, =»,= = nv = n sowie .. = fis = = ,»„. = ,« beziehungsweise für ar = as «=.... == aw = a und mr = >ns = = mw — m einfachere Formen (61) bis (68) an. Prof. ing. M. P. STEFANOVIĆ, BEOGRAD: GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA GREŠAKA PRI KUBATURI TRUPACA (L´INTERPRÉTATION GRAPHIQUE DES ERREURS DE CUBAGE DER GRUMES) Slučaj je hteo, da razgledajući Dendrotnetriju profesora Dr. A. Lev a k o v i ć a dođem na ideju, da greške, koje se javljaju između realne i sračunate vrednosti kübature debala po najobičnijim dendrometrijskim formulama, predstavim približno grafijski. Činjenica, da su metode sračunavanja kulture zemljanih radova kod putova i željeznica skoro identične sa onima za drvo, nije takođe bila strana ovom mome ogledu. Uz to dvoje fakat, da se pitanju što tačnijeg sračunavanja kubature drveta — živog ili odsečenog — poklanja u posljednje vreme vrlo velika pažnja i da se to pitanje raspravlja u naučnim časopisima posvednevno, bio je treći, ali ne i najmanje važni razlog, da sam se latio, da u ovo pitanje donekle uđem. Najzad, analitičko računanje, koje, kada su formule jednom utvrđene, ne predstavlja ništa dru^o nego zamenu simbola brojevriim vrednostima, ne pruža, držim, jasnu predstavu o greškama, koje se pri tome čine, niti dopušta jednu diskusiju, koja bi do očiglednosti jasno — crtežem — predstavila, u čemu su one i kolike su. Na kraju držim, da je ovaj moj o^led, koliko je, razume se, meni poznata inače tako obimna dedrometrijska literatura, prvi svoje vrste. Kao što je poznato — i li u b e r o v a i S m a 1 i j a n o v a formula za računanje mase oborenih debala počivaju na jednoj pod raznim imenima poznatoj formuli, koju je po jednima prvi dao Njutn , a po drugima To riče 1 i, V i t š t a j n, H u g i ne znam ko još. U dendrometriji je ona poznata i pod imenom R i k e o v e formule. Ona važi tačno za volumen tako zvanih prizmoida, t. j . prizme, oblice (valjka), zarubljene piramide, zarubljenos konusa, zarubljenog paraboloida, zarubljenog neiloida, a možda još i kojeg drugog sličnog tela. Ako sa d označimo dužinu jednoga od ovih tela, sa t\ i Fs površinu donje i gornje osnove, a sa Fm površinu preseka u sredini dužine, koji nazivamo srednjim presekom, onda ta formula ima oblik: 285 |