DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
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ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 22 <-- 22 --> PDF |
Davon gilt die Formel (20) für den Fall zweie r Mittelwerte (r und s), wenn dem Mittelwerte r eine Anzahl von m und dem Mittelwerte s eine solche von ;z2 wiederholten Beobachtungen (bezw. Variationen in der Variationsstatistik) zugrundeliegt. Die Formel (24) entspricht dem Falle, wo m = m — n ist. Allgemein, für den Fall vonMittelwerten (r, s, t,... w), deren erster auf ni, zweiter auf n2, dritter auf n3, letzter auf nv Beobachtungen fusst, gilt die Formel (23), wo der Ausdruck im Nenner ein Produkt darstellt. Dieser Formel entspricht für den Fall von m = «a— =«*, = /; die Formel (27), Daraus folgt unter Annahme von m, = ms = ....=* mm = m die Formel (28). Gegenüber der bisher bekannten, ein »Fehler-Althäufungsgesetz« zum Ausdruck bringenden Formel (16) repraesentiert die Formel (28) ein ausdrückliches »Fehler- Abhäufungsgesetz«. Weiter leitete der Verfasser für den analogen mittleren Fehler der in der Einleitung angeführten Funktion (111) die Formel (55) her. Diese gilt jedoch nur für den Fall einer dreigliederigen Funktion (III). Allgemein — für v, uzw. (der Reihenfolge nach) je m, n-i iij mal wiederholt gemessene Glieder in Funktion (HI) — gilt die Formel (56). Dies sind in der Hauptsache Ergänzungen des Fehlerfortpflanzungsgesetzes unter Annahme wahre r Beobachtungsfehler. In der Praxis der Ausgleichungsrechnung ist man jedoch nur auf scheinbar e (plausible) Beobachtungsfehler angewiesen, da wahre Fehler unermittelbar sind. Und ebenso wie aus diesem Grunde die mittleren Fehler von E 1 e m e n t e n (R, S, T,...) der Funktionen (II) und (III) nur auf Grundlage von scheinbaren Beobachtungsfehlern berechnet werden, so erfordert es die Folgerichtigkeit, dass auch in bezug auf die mittleren Fehler der Funktionen selbst in gleicher Weise verfahren werde. Der Verfasser leitete daher für den mittleren Fehler {//,,.) der einzelnen Beobachtun g von X in Funktion (11) die Formeln (31) bis (39) her. Davon gebührt der Formel (,34) der Charakter der Allgemeinheit, d. h. sie gilt für den Fall, wo in der Funktion (II) insgesamt v, uzw. zu verschiedenen Malen wiederholt gemessene Glieder vertreten sind. Im Falle von », = nt — = nv = n geht diese Formel in die Formel (38) und diese wieder für den Fall von /lr = ps = . = (i,„, = /; in die Formel (39) über, Gemäss dieser Formel geschieht ebenfals ein Anhäufen von mittleren Fehlern («,) der Teilgrössen R, S, T.. . zum mittleren Fehler der ganzen Grösse X, dieses ist jedoch wesentlich schwächer als jenes unter (16), da der in (39) befindliche Koeffizient (39a) stets kleiner ist als 1. Für den mittleren Fehler (m,,) einer Summe bezw. Differenz vo n Mittel werte n gelten die Formeln (40) bis (46), wovon wiederum die Formel (42), in gleicher Weise wie (34), allgemeine Geltung besitzt. Für den Fall von », = n„ = = nv = n geht sie in die Formel (45) und diese unter m,. — ma= ~mv.= m in die Formel (46) über. Substituiert man hier m durch —=- so bekommt man die y» Formel (49). Ebenso wie die Formeln (28) und (29), so repraesentiereu auch die Formeln (46) und (49) ein Fehler-Abhäufungsgesetz, nur jedoch in einem noch wesentlich stärkeren Maasse. Der mittlere Fehler m.,. nimmt also nicht nur mit der Anzahl von wiederholten Beobachtungen (n) ab, sondern auch mit der Anzahl der in X enthalteneu Teilgrössen (R. S, T,...). Verfasser berechnete nun nach (49) den mittleren Fehler tnx unter zweierlei Annahmen. Zuerst nahm er v als konstant (= 2) an, n dagegen als nacheinander = 2, 4, 6, 8, 10. Dann wurde /; = 2 und v = 2, 4- 6, 8, 10 angenommen. Die Rechnungsresultate sind in den Spalten 3 und 7 der beigegebenen Tabelle enthalten. Dieselben wurden nun unter Anwendung der bekannten, von Well i sc h (S. 115) und H e 1 m e r t - H o h e n n et (S. 75, 76) angegebenen, den mittleren Fehler des mittlere n Fehler s berücksichtigenden Formel (51) korrigiert und die so erhaltenen Werte in den Spalten 4 und 8 niedergelegt. Diesen Zahlen entsprechen die Kurven I und II. in der Abbildung 2 (Sl. 2.), die sich zwischen den Abszissen 7 und 8 schneiden. Für die Abszisse 8 ist also schon mx = F (>) geringer als mt. = y>´ (»), Man kann daher fast mit Sicherheit sagen, dass die Grösse X, .wenn man sie in 8 beliebige Teile einteilt und jeden derselben bloss zweimal misst, genauer oder wenigstens so genau bestimmt werden kann, als wenn man selbe in 2 Teile teilt und jeden dieser Teile achtmal misst. 284, |