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ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 22     <-- 22 -->        PDF

Davon gilt die Formel (20) für den Fall zweie r Mittelwerte (r und s), wenn
dem Mittelwerte r eine Anzahl von m und dem Mittelwerte s eine solche von ;z2 wiederholten
Beobachtungen (bezw. Variationen in der Variationsstatistik) zugrundeliegt. Die
Formel (24) entspricht dem Falle, wo m = m — n ist. Allgemein, für den Fall vonMittelwerten (r, s, t,... w), deren erster auf ni, zweiter auf n2, dritter auf n3, letzter auf


nv Beobachtungen fusst, gilt die Formel (23), wo der Ausdruck im Nenner ein Produkt
darstellt. Dieser Formel entspricht für den Fall von m = «a— =«*, = /; die Formel
(27), Daraus folgt unter Annahme von m, = ms = ....=* mm = m die Formel (28).
Gegenüber der bisher bekannten, ein »Fehler-Althäufungsgesetz« zum Ausdruck
bringenden Formel (16) repraesentiert die Formel (28) ein ausdrückliches »Fehler-
Abhäufungsgesetz«.


Weiter leitete der Verfasser für den analogen mittleren Fehler der in der Einleitung
angeführten Funktion (111) die Formel (55) her. Diese gilt jedoch nur für den Fall
einer dreigliederigen Funktion (III). Allgemein — für v, uzw. (der Reihenfolge nach)


je m, n-i iij mal wiederholt gemessene Glieder in Funktion (HI) — gilt die
Formel (56).
Dies sind in der Hauptsache Ergänzungen des Fehlerfortpflanzungsgesetzes unter
Annahme wahre r Beobachtungsfehler. In der Praxis der Ausgleichungsrechnung ist
man jedoch nur auf scheinbar e (plausible) Beobachtungsfehler angewiesen, da
wahre Fehler unermittelbar sind. Und ebenso wie aus diesem Grunde die mittleren
Fehler von E 1 e m e n t e n (R, S, T,...) der Funktionen (II) und (III) nur auf Grundlage
von scheinbaren Beobachtungsfehlern berechnet werden, so erfordert es die Folgerichtigkeit,
dass auch in bezug auf die mittleren Fehler der Funktionen selbst
in gleicher Weise verfahren werde.
Der Verfasser leitete daher für den mittleren Fehler {//,,.) der einzelnen
Beobachtun g von X in Funktion (11) die Formeln (31) bis (39) her. Davon gebührt
der Formel (,34) der Charakter der Allgemeinheit, d. h. sie gilt für den Fall, wo
in der Funktion (II) insgesamt v, uzw. zu verschiedenen Malen wiederholt gemessene
Glieder vertreten sind. Im Falle von », = nt — = nv = n geht diese Formel in die
Formel (38) und diese wieder für den Fall von /lr = ps = . = (i,„, = /; in die
Formel (39) über, Gemäss dieser Formel geschieht ebenfals ein Anhäufen von mittleren
Fehlern («,) der Teilgrössen R, S, T.. . zum mittleren Fehler der ganzen Grösse X,
dieses ist jedoch wesentlich schwächer als jenes unter (16), da der in (39) befindliche
Koeffizient (39a) stets kleiner ist als 1.


Für den mittleren Fehler (m,,) einer Summe bezw. Differenz vo n Mittel werte
n gelten die Formeln (40) bis (46), wovon wiederum die Formel (42), in
gleicher Weise wie (34), allgemeine Geltung besitzt. Für den Fall von », = n„ =
= nv = n geht sie in die Formel (45) und diese unter m,. — ma= ~mv.= m


in die Formel (46) über. Substituiert man hier m durch —=- so bekommt man die


y»


Formel (49).


Ebenso wie die Formeln (28) und (29), so repraesentiereu auch die Formeln (46)
und (49) ein Fehler-Abhäufungsgesetz, nur jedoch in einem noch wesentlich stärkeren
Maasse. Der mittlere Fehler m.,. nimmt also nicht nur mit der Anzahl von wiederholten
Beobachtungen (n) ab, sondern auch mit der Anzahl der in X enthalteneu Teilgrössen


(R. S, T,...). Verfasser berechnete nun nach (49) den mittleren Fehler tnx unter
zweierlei Annahmen. Zuerst nahm er v als konstant (= 2) an, n dagegen als nacheinander
= 2, 4, 6, 8, 10. Dann wurde /; = 2 und v = 2, 4- 6, 8, 10 angenommen. Die
Rechnungsresultate sind in den Spalten 3 und 7 der beigegebenen Tabelle enthalten.
Dieselben wurden nun unter Anwendung der bekannten, von Well i sc h (S. 115)
und H e 1 m e r t - H o h e n n et (S. 75, 76) angegebenen, den mittleren Fehler des
mittlere n Fehler s berücksichtigenden Formel (51) korrigiert und die so erhaltenen
Werte in den Spalten 4 und 8 niedergelegt. Diesen Zahlen entsprechen die Kurven
I und II. in der Abbildung 2 (Sl. 2.), die sich zwischen den Abszissen 7 und 8 schneiden.
Für die Abszisse 8 ist also schon mx = F (>) geringer als mt. = y>´ (»), Man kann daher
fast mit Sicherheit sagen, dass die Grösse X, .wenn man sie in 8 beliebige Teile einteilt
und jeden derselben bloss zweimal misst, genauer oder wenigstens so genau bestimmt
werden kann, als wenn man selbe in 2 Teile teilt und jeden dieser Teile achtmal misst.
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