kod tih n mjerenja doista učinjene, jednaka je produktu neizmjerno malenih vjerojatnosti svake pojedine pogreške, to jest:
W= ep (i\) dv ep (t)a) dv (f> (r3) dv
=
ili prema Gaussovoj jednadžbi:
W= l-~=z dv)"e -h-(%´ + »,« + »:i3 + + »»»)
\Y* /
Kojim uvjetima imadu odgovarati pogreške v, da za njihovo postojanje bude maksimalna vjerojatnost? Svi članovi potonje jednadžbe su konstantni osim sume ( v. -|-v -|~ v2 -)- . . . . -j-.. J. Maksimalnu vjerojatnost postići ćemo dakle onda, kad ovaj zbroj bude imao svoju minimalnu vrijednost (jer se množi negativnim brojem). Postoji prema tome uvjet:
2,2|2i2i r, 8
», -f-v2 -)-K-f-V.-\~ -j-v = minimum ili kraće pisano :
2 .. = [vv] = minimum.1 Kod izjednačivanja iznosa dobivenih .-kratnim (naravski svaki puta neizbježivo pogrešnim) mjerenjem stanovite veličine najvjerojatnija je dakle ona izjednačena vrijednost, naprama kojoj su iznosi pojedinih mjerenja skopčani sa diferencijama (pogreškama), koje imaju takav karakter, da je suma njihovih kvadrata najmanja. To je osnovni uvjet za izjednačivanje po metodi najmanjih kvadrata. Kazao sam gore, da je Ga us s svoju jednadžbu izveo iz hipoteze o aritmetičkoj sredini. Upotrebimo li ovaj uvjet o minimumu sume kvadrata svih pogrešaka, moramo obrnuto doći do toga, da je aritmetička sredina najvjerojatnija vrijednost nepoznate, n puta mjerene veličine. Nazovimo sa S najvjerojatniju vrijednost mjerene veličine; sa o,, o2, os ... .o„ iznose pojedinih mjerenja ; njihove pogreške (t. zv. „prividne" pogreške, jer i
najvjerojatnija vrijednost S sama po sebi nije nego tek prividna vrijednost veličine, dok je prava njena vrijednost uvijek nepoznata) sa vlJv2}v3, v„. Tada postoji uvjet:
[vv] = minimum.
Jednadžbe prividnih pogrešaka glase:
h = S — ot v2 = 8 — 0.
ili općenito: Vi = S 0;
1 Po GausBOVoiu načinu pisanja naznačuje uglata zagrada zbroj stanovitih iznosa, a kvadra t pojedinog´ iznosa (recimo p2) označuje (îauss u formi produkta (»!»). Taj je način pisanja općenito uobičajen u napomenutoj nauci.
20
|