DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 18     <-- 18 -->        PDF

koje smo obrazložili brojkama i tako dokazali štetne posljedice dosadanjeg
gospodarenja hrastovim šumama, kao prostu konstataciju u cilju,
da se tomu zlu što prije nađe lijeka. Sve smo to iznijeli samo za korist
naroda kao cjeline i države, jer smo siromašan i malen narod, koji je još
u mnogom pogledu zaostao, te ne možemo dozvoliti, da nam se narodna
imovina, koja je u šumama sadržana u ludo rasipava, i da zlo, koje će
odatle doći ne padne na naš narod kao hladna zima na gologa prosjaka.


Résumé. C´est un rapport de l´auteur, fait a l´Assemblée Générale de l´Union


forestiere Yougoslave, tenue a Zagreb le décembre dernier. Se basant sur un matériel
statistique riche, il en rapporte sur l´influence nuisible de ladite exportation et en
recommande l´interdiction. Le Rédacteur.


/./G. STJEPAN ŠURIĆ, ZAGREB:


TACNOST PROCJENE SASTOJINA POMOĆU
PRIMJERNIH PLOHA
(L´ EXACTITUDE DE L´ ESTIMATION DES PEUPLEMENTS
AU MOYEN DES PLACES D´ ESSAI)


I. UVOD
D
D
rvna masa sastojine sastavljena je iz tri îaktora. To su zbroj kružnih


ploha G, srednja visina H i srednji oblični broj F, ili ukratko :


V = G H- F. Faktori H i F ustanovljuju se ili svaki zasebno ili obično


V


(kod skraćenog postupka) zajednički kao jedan faktor, kao oblikovisina HF = -^.


Jer obično sve metode sa primjernim (modelnim) stablima, zatim metoda sa
krivuljom masa i upotreba lokalnih tabela daju nam îaktor HF, dok iaktor 0
ustanovljujemo neposredno: klupiranjem.


U îormuli V= G-H-F îaktor G je po svojoj naravi najjači, najodlučniji
i kreće se u vrlo širokim granicama. Faktor HF naprotiv za sastojine približno
iste dobe, obrasta i boniteta prilično je konstantan, te se uopće kreće u dosta
uskim granicama. Nećemo mnogo pogrešiti, ako ga samo ocijenimo, što se za
zbroj kružnih ploha ne može reći.


Time svim hoću kazati, da kad ustanovljujemo drvnu masu sastojine,
najvažnije je ustanovljenje njezine sume kružnih ploha. A to je i jedina veličina,
koju možemo gotovo posve tačno ustanoviti i sa relativno jednostavnim sredstvima.
Neprilika je, što je mjerenje promjera na svim stablima dugotrajan posao, pa


16




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 19     <-- 19 -->        PDF

prema tome i skup : naročito onda, ako nam nije potrebna maksimalna tačnost,
kao na pr. kod izmjere u svrhu sastava gospodarske osnove, kod prodaje na
bosanski nučin i t. d. Posao olakšavamo na taj način, da ne mjerimo promjere
sviju stabala, nego samo onih, koji padaju u „primjerne plohe". Iz rezultata
primjernih ploha izvodi se faktor G za cijelu sastojinu, dok se faktor HF može
ustanoviti i bez obzira na samu primjernu plohu.


Postoje dva načina, kako se odabiru i polažu primjerne plohe. Prv i je
način, da se odabere jedna ili više primjernih ploha, koje se onda po ocjeni
procjenitelja polažu na takova mjesta, koja pokazuju prosječnu drvnu masu,
to jest prosječan obrast, starost, bonitet i smjesu obzirom na cijelu sastojinu.
Za polaganje ovakovih primjernih ploha ne mogu se postaviti nikakva pravila,
nego tek napuci sasma općenite prirode, jer je za njihovo polaganje odlučna
volja i osjećaj procjenitelja, koji u konkretnom slučaju odabira broj, veličinu
i smještaj pojedinih primjernih ploha.


Drug i se nači n sastoji u tome. da se u jednoj sastojini položi veći broj
primjernih ploha, mnogo manjih od onih kod prvog načina, te se podjednako
porazmjeste po čitavoj sastojini, po unaprod striktno odredjenom planu. Te plohe
imaju ili oblik dugih, uzanih pruga — primjerne pruge — ili oblik kruga


— primjerni krugovi.
Prv i nači n odabiranja i polaganja primjernih ploha ima toliko nedostataka,
da ga je za ustanovljenje drvne mase vrlo nesigurno upotrebiti, te bi
ga trebalo uopće napustiti.


Ti svi nedostaci izviru iz toga, što se takove plohe polažu po osjećaju.
A osjećaj vrlo vara. I najvještiji procjenitelj nije toliko vješt, da može i približno
ocijeniti, na kom mjestu ima sastojina svoju srednju vrednost, svoj srednji oblik.
Tako je to i u približno jednakim sastojinama, a kamo li u sastojinama manje
više nejednolikim, zatim u mješovitim, sa kakovim imamo najčešće posla. Pa
i onda, kad polažemo više nego jednu primjernu plohu, to baš zato, jer se one
odabiru i polažu po osjećaju, pravi ćemo pogreške uvijek u jednu stranu. Jedan
te isti procjenitelj pravi obično uvijek ili pozitivnu ili negativnu pogrešku, tako
da se rezultati slabo izjednačuju i medjusobno popravljaju. Naročito je teško
odabiranje ploha, ako procjenu vrše dvije stranke sa protivnim interesima, ili
ako procjenitelja vode bilo kakovi subjektivni razlozi.


Postoji nadalje pitanje, kolik dio površine da zapremaju te primjerne


plohe. Razni autori navode različite brojke. Tako Millier1 traži, da primjerne


plohe zapremaju 5—10% površine, dok je Guttenberg 2 zadovoljan sa 3—5°/0.


A zašto baš tolik dio površine? To nam nitko ne može opravdati drugačije,


nego da je do toga došao iskustvom.


Isto tako ne znamo, koliku tačnost postizavamo na taj način. I nitko nam
na to ne može odgovoriti, jer je procjena običnim primjernim plohama subjektivne
naravi, pa prema tome nije podvržena nikakovim matematičkim pravilima.


1 Lehrb. d. Holzmosskunđe, 3. izdanje, str. 316.
2 Holzmesskundo, i!. Ud., str. 220.


17




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 20     <-- 20 -->        PDF

Po drugo m način u polažemo plohe podjednako rasporedjane po cijeloj
sastojim. Kod njih su jednako vjerojatne pozitivne kao i negativne pogreške,
jer se njihov položaj .. odabira, pa je isključena svaka subjektivnost. Rezultati
pojedinih primjernih ploha će se mnogo razlikovati od prosječne drvne mase
za cijelu sastojinu, jer su te ploho malene ; ali njih ima mnogo, pa će se pogreške
medjusobno popravljati i manje više izjednačiti, tako da njihova aritmetička
sredina neće pokazivati veliku razliku od prave sredine cijele sastojine.


II.
SREDNJA POGREŠKA PRIMJERNE PLOHE I
ARITMETIČKE SREDINE
Ako polažemo primjerne plohe, koje su podjednako rasporedjane po cijeloj
sastojini i koje su medjusobno jednake, to imamo u prvom redu da riješimo
ova dva pitanja :


1. Kolika je pogreška konačnog rezultata svih primjernih ploha zajedno?
2. Kolika je srednja pogreška pojedine primjerne plohe?
Sastojina u užem smislu detiniše se kao dio šume, koji je po svojoj starosti,
vrsti drveća, obrasta i bonitetu jednolik. Kad bismo u prirodi imali takovih
sastojina, to bi svaka primjerna ploha, ma na kom mjestu sastojine bila položena,
davala bespogrešan rezultat. Takovih apsolutno jednolikih sastojina nema.
Rezultat svake primjerne plohe imaće neku pogrešku : i to ne samo zato, što
sastojina nema na svakom mjestu isti bonitet, obrast i starost, nego i uslijed
nejednolikog rasporeda stabala. Ovo potonje dolazi naročito u obzir kod veoma
malih primjernih ploha.


Pod pogreškom razumijevamo razliku rezultata svake primjerne plohe od
prosjeka za cijelu sastojinu (sve preračunato na jedinicu površine), jer ta razlika
ulazi u naš račun kao pogreška.


Kod svakog mjerenja razlikujemo tri vrsti pogrešaka. To su: 1. grube
pogreške, 2. pravilne ili konstantne pogreške i 3. slučajne ili neizbježive pogreške.


Grubih pogrešaka ne smije biti ; ako ih ima, treba ih eliminirati prije
nego se pristupi dalnjem radu. Pravilne, konstantne pogreške su one, koje su
podvržene stanovitim pravilima, tako da mi znamo, u kojoj veličini dolaze i
koji im je predznak, pa ih onda možemo lako eliminirati. Takova bi pogreška
bila na pr. pogreška uslijed zaokruživanja promjera ili uslijed upliva temperature
na dužinu promjerke. Slučajne pogreške su one, čije uzroke ne možemo tačno
ocjrediti, nego ih možemo tek naslućivati. Ti su uzroci veoma mnogobrojni,
različito se medjusobno kombinišu, te prouzrokuju sad manju, sad veću pogrešku,
a izuzetno se sasma ukidaju, te dobijemo bespogrešan rezultat. U našem slučaju
bi ti razni uzroci ležali u različitom obrastu, starosti i bonitetu unutar same
sastojine, zatim u nejednolikom rasporedu stabala; nadalje svi oni uzroci, radi
kojih netačno iskolčujemo primjernu plohu. Iz geodezije znamo, kako su ti
uzroci mnogobrojni.


Dakle ove slučajni!, neizbježive pogreške u rezultatima primjernih ploha
biće predmet razmatranja : da vidimo, da li su kakovim pravilima podvržene,


18




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 21     <-- 21 -->        PDF

zatim kako ćemo uza sve te pogreške dobiti što bolji rezultat za cijelu sastojinu
i kako ćemo odrediti, koliku pogrešku ima taj naš rezultat. II tu svrhu i u
cilju, da olakšam praćenje razmatranja čitaocima, koji se dosad nijesu možda
bavili njegovim osnovima, izložit ću najprije ukratko neke poznate principe


t. zv. nauke o izjednačivanju pogrešaka po metodi najmanjih kvadrata.1
Pogreške sa velikim brojem uzroka imaju to svojstvo, da su jednako
vjerojatne i kao pozitivne i kao negativne ; male su pogreške vjerojatnije od
velikih i postoji jedna praktična granica, iznad koje se te pogreške ne penju.
Sva ta svojstva izrazio je G au s s na osnovu zakona o vjerojatnosti i hipoteze


o aritmetičkoj sredini: i to pomoću svoje krivulje za vjerojatnost pogrešaka,
kojoj jednadžba glasi:
h




Varijabila e znači veličinu pogreške, e je baza prirodnih logaritania, h je
konstanta, koja je ovisna o tačnosti izmjere. Grafički je ova jednadžba predočena
na slici 1.


+ č
Recimo, da su kod .-kratnog direktnog mjerenja neke veličine 0 učinjene
pogreške vu r2, .>3, .... vn. Složena vjerojatnost, da su baš sve ove pogreške


1 Detaljno o tome govore djela: Wellisch : Théorie unđ Praxis đer Ausgleichungsrechnung.
Ozuber : Théorie der Beobachtungsfehler. Helmert : Die Ausgleiehsrechnung nach der Méthode
đer kleinsten Quadrate. Kozâk : Grunđprobleme đer Ausgleichungsrechnung nach đer Méthode
der kleinsten Quadrate. Woitbrecht : Ausgleichungsrechnung. nach der Méthode der kleinsten
Quadrate.


19




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 22     <-- 22 -->        PDF

kod tih n mjerenja doista učinjene, jednaka je produktu neizmjerno malenih
vjerojatnosti svake pojedine pogreške, to jest:


W= ep (i\) dv ep (t)a) dv (f> (r3) dv



=



ili prema Gaussovoj jednadžbi:


W= l-~=z dv)"e -h-(%´ + »,« + »:i3 + + »»»)


\Y* /


Kojim uvjetima imadu odgovarati pogreške v, da za njihovo postojanje
bude maksimalna vjerojatnost? Svi članovi potonje jednadžbe su konstantni
osim sume ( v. -|-v -|~ v2 -)- . . . . -j-.. J. Maksimalnu vjerojatnost postići ćemo
dakle onda, kad ovaj zbroj bude imao svoju minimalnu vrijednost (jer se
množi negativnim brojem). Postoji prema tome uvjet:


2,2|2i2i r, 8


», -f-v2 -)-K-f-V.-\~ -j-v = minimum
ili kraće pisano :


2 .. = [vv] = minimum.1
Kod izjednačivanja iznosa dobivenih .-kratnim (naravski svaki puta neizbježivo
pogrešnim) mjerenjem stanovite veličine najvjerojatnija je dakle ona
izjednačena vrijednost, naprama kojoj su iznosi pojedinih mjerenja skopčani
sa diferencijama (pogreškama), koje imaju takav karakter, da je suma njihovih
kvadrata najmanja. To je osnovni uvjet za izjednačivanje po metodi najmanjih
kvadrata.
Kazao sam gore, da je Ga us s svoju jednadžbu izveo iz hipoteze o
aritmetičkoj sredini. Upotrebimo li ovaj uvjet o minimumu sume kvadrata
svih pogrešaka, moramo obrnuto doći do toga, da je aritmetička sredina najvjerojatnija
vrijednost nepoznate, n puta mjerene veličine.
Nazovimo sa S najvjerojatniju vrijednost mjerene veličine; sa o,, o2, os ... .o„
iznose pojedinih mjerenja ; njihove pogreške (t. zv. „prividne" pogreške, jer i


najvjerojatnija vrijednost S sama po sebi nije nego tek prividna vrijednost
veličine, dok je prava njena vrijednost uvijek nepoznata) sa vlJv2}v3, v„.
Tada postoji uvjet:


[vv] = minimum.


Jednadžbe prividnih pogrešaka glase:


h = S — ot
v2 = 8 — 0.


ili općenito:
Vi = S 0;


1 Po GausBOVoiu načinu pisanja naznačuje uglata zagrada zbroj stanovitih iznosa, a
kvadra t pojedinog´ iznosa (recimo p2) označuje (îauss u formi produkta (»!»). Taj je način
pisanja općenito uobičajen u napomenutoj nauci.


20




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 23     <-- 23 -->        PDF

Prema tome treba da postoji:


[S — o,)2-\-(S — o.,)2 + (S — os)°-+ -f- t/S — »;)* = minimum.


Da ova suma bude minimalna, mora njezin prvi diferencijalni kvocijent
biti jednak nuli. dakle:


4 ^ = 2 (S - o.) + 2 US´— o3) + 2 (5— os) + + 2 (S -o„) = 0


ili:


»1 + », + . + + «* = M = <> (1)


Algebarska suma svih prividnih pogrešaka mora dakle biti jednaka nuli.
Ovo nam svojstvo služi kao računska kontrola o tome, da li je najvjerojatniji
iznos mjerene veličine ispravno izračunan.


Iz gornje jednadžbe izvodi se dalje :


» 8 — (ox -f-.. -j- o, -f-+ On) = ()


n S — Oj -f- °s + °s -f" + o» = [o]


« = -M- (2)


M


Aritmetička je sredina dakle najvjerojatnija vrijednost,
koju za stanovitu nepoznatu veličinu dobivamo iz niza njenih
mjerenja.


Prividnu pogrešku pojedinog mjerenja označio sam sa vt = S — 0{. Rekao
sam također, da S nije prava vrijednost mjerene veličine, nego samo najvjerojatnija
vrijednost. Nazovemo li pravu (vječno nepoznatu) vrijednost sa 0, tada
bi jednadžba pravih pogrešaka bila :


L, — 0 — 0;.


Napomenuo sam, da je parametar h u krivulji pogrešaka konstanta, koja
je ovisna o tačnosti izmjere; ili drugim riječima: parametar h je mjerilo za
tačnost rada. Iz veličine pojedinih pravih pogrešaka eh kada bi se ove dale
ustanoviti,, mogao bi se izračunati parametar h po formuli:


(3)
*ViR


Obično se tačnost rada ne mjeri pomoću parametra h, nego pomoću t. zv.
„srednje", „prosječne" i „vjerojatne" pogreške pojedinih mjerenja.


Uz pretpostavu, da su nam poznate prav e pogreške pojedinih mjerenja,
proizlazi srednj a pogreška pojedinog mjerenja kao drugi korjen kvocijenta
iz sume kvadrata pojedinih pravih pogrešaka i ukupnog broja mjerenja:


21




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 24     <-- 24 -->        PDF

Prosječn a pogrešk a jednaka je uz istu pretpostavu aritmetičkoj
sredini apsolutnih vrijednosti pojedinih pravili pogrešaka (bez obzira na predznake),
dakle :


n


gdje lel znači apsolutn u vrijednost prave pogreške, t. j . bez obzira na predznak.


Vjerojatna pogreška je ona, za koju je vjerojatnost, da ćemo je
prekoračiti, sasvim jednaka vjerojatnosti, da je uopće nećemo dostići; to jest:


50°/0 svih učinjenih pogrešaka veće su, a 50°/0 njih manje su od vjerojatne
pogreške. Njezina je aproksimativna formula :
[fFTl , (6)


Od svih ovih triju vrsti pogrešaka najbolja je „srednja" pogreška kao
mjerilo za točnost rada i najčešće se upotrebljava u geodeziji i astronomiji.
Ona je u najjednostavnijem odnosu prema parametru h. koji odnos glasi :


h = == ili u = = (7)


,..2 h V 2


Srednja pogreška ima to svojstvo, da za nju postoji najveća matematička
nada: to jest, kad obavimo nekoliko mjerenja i iz tih mjerenja izračunamo
srednju pogrešku, najvjerojatnija pogreška slijedećeg mjerenja je ta izračunata
srednja pogreška. <


Osim srednje pogreške (.) pojedinih mjerenja nas još više interesuje
srednja pogreška (M) aritmetičke sredine (S).
Budući da pravu vrijednost (0) tražene.veličine ne možemo odrediti, to
ne možemo ni izračunati pravu vrijednost pogreške a = 0 — S, koja tereti
aritm. sredinu, nego samo njezinu najvjerojatniju vrijednost (M).


Da dođemo do veličine M, moramo istražiti, kolika vjerojatnost postoji
zato, da se aritmetičkom sredinom dobiva baš samo pogreška <., t. j. pogreška,
koja leži između neizmjerno uskih granica ai (o ~\- d a).


Ta neizmjerno malena vjerojatnost (W) izražuje se jednadžbom:


W * . (a) đ a (8)


Ona je očito jednaka složenoj vjerojatnosti, da je pri n-kratnom mjerenju
veličine 0 doista učinjena baš svaka pojedina od pravih pogrešaka


..]


L,,´L2, L8, . . . . . L„, koje sa svojim prosječnim iznosom =-*- uvjetuju diferenciju


li


a = 0. -*--8. A ova složena (također neizmjerno malena) vjerojatnost izražuje
se jednadžbom:


W= (—=,´ d L Y´ e~ V [«] (9)


22




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 25     <-- 25 -->        PDF

Vidjeli smo, da postoje ove jednadžbe pravih pogrešaka:


e, == 0 — Oj ej = O2 — 2.p Oj + o\


e2 = 0 — oa ´ e\ = O2 — 2 0 o2 -f o*


[ee] = »..0« — 2-0[o]+ [oo|


Uvrstimo li ovamo otprije poznati iznos [o] ~n-S. dobivamo:


Obzirom na jednadžbu (8) i (9) dobivamo:


, , /_*_ , Y -nir-f(0 -s)>-^ + M\


(/ o) ao = —-dej le \v » j


-de| .-./´..--s4.„-»v(o-s)»


v V .


U ovoj jednadžbi sve su nam veličine osim veličine 0 ili poznate ili
konstantne, jer i de naznačuje jednu nepoznatu, ali konstantnu veličinu. Zato
ćemo iaktor, koji nije ovisan od 0, supstituirati ovako:


,7= de e v » k´)=c-da.
, V . /


gdje je .(. = (dé)" . Prema tome je :


, , , —nh*(0 — sy , —nh*a´ ,
çp (ffj da= c-e da = c e da


U ovoj jednadžbi potrebno je, da se odredi konstanta c. Kako postoji
apsolutna vjerojatnost (t. j . sigurnost), da bilo koja slučajna pogreška mora
ležati izmedju granica — oo i -|r-oo, to integral ovog diferencijala vjerojatnosti
mora biti jednak jedinici (apsolutna vjerojatnost), t. j. :


— nh´-o-
V ep {a) do — c \ e da — l


— CO Ou
Supstituiramo li . n -h-a=.t, dobiva se:


— t-
JL= \
\\ e
ee f* dt =


Izraz V e dt, to je poznati Laplaee-ov integral i on je jednak


iznosu ~\. .


23




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 26     <-- 26 -->        PDF

Gornja jednadžba prelazi onda u oblik :


.^ n . n
—=-= 1. c = h\ —


Uvrstivši na spomenuto mjesto dobivenu vrijednost za c, izlazi:


, , , h ) . — n A´2

ep (a) da = — e da


y n


Supstituiramo li . \ n = H, dobivamo :


. n


koja jednadžba predstavlja traženu vjerojatnost, da prava pogreška aritmetičke
sredine ima baš samo iznos a i nikoji drugi. Iz ranijih pak razmatranja proizlazi
za vjerojatnost, da prava pogreška povoljnog pojedino g mjerenj a
veličine 0 iznosi baš samo e, jednadžba:


f(e)ds = -r—=re-h,ei
dL
y n


Obje poslednje jednadžbe imaju istu iormu, a razlikuju se medjusobno
tek po parametrima točnosti H i h, gdje je .=.\. Stoga je analogno
1
naprama ranije — pod (7) — spomenutom ođnošaju fi = .... takodjer


11 u


.= —w = 77s=-= ± -f=r .... (io)


H\i 2 .\. an y »


U ovoj ije jednadžbi /^ određen iz pravih pogrešaka. Kako nam prave
pogreške ne mogu biti poznate, jer nam nije poznata ni prava vrijednost 0,
to se one moraju nadomjestiti prividnim pogreškama. Toga radi moraju se i
navedeni izrazi za srednju pogrešku nadomjestiti analognim izrazima, koji
najbolje odgovaraju ovoj potrebi. U tu svrhu postupa se ovako :


0 — S = a


Jer je : S= {ot -f »,) = (o2 + vt) = (o, -f vt) , to je :


0 — (o, -f »,) = (.


0 — o, = v, -j-..


Ci = »i + 0


Isto tako : e, = t)8 -j- ff . - . i-t. d.


24




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 27     <-- 27 -->        PDF

Kvadriramo li ove jednadžbe, dobijemo:


< = v\ +2 a,, + *
f2 ; v "!


= »! + 2 °t +


[se] = [..] -)- 2 rr [t>] -j-w a2


2 a [v] = (), jer je [»] = 0


Stoga je:
[ee] — [vv] -j- . ff2.


Uvrstimo li ovdje u smislu teorije ispravni izraz: ff = , dobiva se:


M2


n


Mjeri li se veličina 0 neograničeno mnogo puta, onda je po teoriji najmanjih
kvadrata točno [e]2 = [ee]. Kod ograničenog broja mjerenja ova
jednadžba postoji približno.


Stoga se može pisati :


[ee] = [vv] + -M-.


n


Iz 4) izlazi, da je [ee] = n .%. Prema tome je :


..-— [vv] -\- ..
.* (n — 1) = [vv]


,=±.=§= eu)


M=± ... [vv]


´n(n — 1)


Sve su ove formule srednjih pogrešaka (ione, koje računaju sa pravim
pogreškama) teoretski sasvim točne samo onda, ako je mjerenje stanovite
veličine opetovano neizmjerno mnogo puta, t. j . ako se pogreške ravnaju točno
po Gaussovom zakonu pogrešaka. Inače su one više manje približne, i to opet
tim točnije, čim je broj opetovanih mjerenja veći.


Ove formule važe uopće samo za slučaj, ako stanovitu veličinu .-puta
direktn o mjerimo. Ako se tražena veličina ne može direktno izmjeriti, već
tek izvesti kao funkcija stanovitih (međusobno nezavisnih) veličina, koje se
dadu direktno izmjeriti, onda je stvar nešto drugačija. U tom se slučaju
pogreške direktno izmjerenih veličina prenose na njihovu funkciju, a to prenašanje
zbiva se većiuom u formi nagomilavanja, t. j . pogreška funkcije u
pravilu je veća od pogreške svakog pojedinog (mjerenju pristupačnog) argumenta.


25




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 28     <-- 28 -->        PDF

Za nas su ovdje od važnosti samo tri linearne funkcije. Tražit ćemo
dakle najprije, kolika je srednja pogreška veličine X, koju dobivamo množenjem
(mjerenju pristupačne) veličine S sa bespogrešnim faktorom a, t. j. gdje je


X = aS.


Neka je prava vrijednost veličine S označena sa 0, a mjerenjem dobivene
pojedine njene vrijednosti sa o,, o2. o,, . . . . o„. Prave pogreške pojedinih
mjerenja bile bi onda c1; c2) c3 c„. Množimo li svako pojedino o sa
bespogrešnim faktorom a, dobivamo razne pogrešne vrijednosti za X. t. j .


.. = a .,, X = a .2. .... .„ = a .„.


Naprotiv prava vrijednost za X iznosi: .=.-0 = a (o, + L,) =
= a; (o2 + Lg) = .... = a (o„ + L„)-. Odbiju li se pojedine pogrešne vrijednosti
za X redom od dotičnih izraza za pravu vrijednost, dobiva se :


= a a == a


LX (°i i Li )~ ´ °i i ´ Li Ako ove jednadžbe kvadnramo i


.. = r< (o2 + c2) — rt o2 == + a c2 zbrojimo, dobit ćemo :


iEX ex] — «2 N


Uzev u obzir fonnnlu (4) dobiva


a


LX„= « (°n ± L.) — °n = ± « L« se ovdje:


a


,"v=.((« =+ V = + \/ = ra/is. (lo)


— y . — . n
Srednja pogreška funkcije (X) jednaka je dakle a-strukoj srednjoj pogreški
argumenta (S). ´
Dalje ćemo tražiti, kolika je srednja pogreška veličine


X = s, ± s2± — ± s„


ako su poznate srednje pogreške (a_, ..,, -, ..) pojedinog mjerenja veličina


TJzoćemo u obzir najprije samo dva sumanda:


X = 8t ± S2


Označićemo sa


s´, s" Lj prave pogreške pojedinih mjerenja (o,) veličine Su dalje sa


l:2-V ´ ´ ´L7 « ri n n (°.) n "s
i t d.


Veličina X može se dobiti iz kojegagod para veličina ot i o2 (t. j.
o´, Q´L O"´" i o´, o", o"´ ) popravljenih sa odnosnim pogreškama L,
i c2. Moguće su ove sve kombinacije tih pogrešaka:


2b




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 29     <-- 29 -->        PDF

/ grupa


h ± L2 ± «i ± L2


L


L1 ± L2 ´l ± f2 ± Ci ± .


îdaka


1 -C 2 i -L c2 ± Li ± «.


Kvadrat srednje pogreške biće sredina od kvadrata svih tih kombinacija.
Suma kvadrata 1. grupe daje: mfsA2 ± 2 .^ [e2] - [L>L>]


2. „ „ rn(E\f ±2e"1 ."4- [..]
Z. m(e»)» L-2ei fe] + fe]
Suma svih lm kombinacija = mfotj + 2 [ČJ [e2] -j- ´ [L2fal


Po jednadžbi [.;] = 0 izlazi, da je i [.. [E2] ili jednako nuli ili sasma
blizu nuli. tako da drugi član konačne sume možemo zanemariti. Prema^ tome
dobivamo kao srednju pogrešku sume dot. diferencije:


™ [LiLil + HhEž] _ [LiLJ ´« [L2L
2]
i´lx=^s, +s: l m l


Obzirom na formulu (4) dobivamo odovud :


^,±s=´\-.?,


ili:


..= PS, ± s2 + V´4+ fl s,


Tako bismo mogli produžiti i za više sumanda, pa bismo dobili


#.= PS. + Š. + + S — ± V !\ + .»\ + + /4 (14)


Ovo se pravilo zove : Pitagorin poučak računa vjerojatnosti. Kombinacijom
spomenutih dviju funkcija dobiva se funkcija X = alS1 + a^Ss ++ a„ SH-
Za računanje njene srednje pogreške (...) upotrebljuje se kombinacija formula


(13) i (14),´ t. j .
/´.= ± y(«l PŠi)* + («2 !lS2f H F" («»MS„ )2 (15)


Iz formule (10) izlazi, da je srednja pogreška aritmetičke sredine upravo
proporcijonalna srednjoj pogreški pojedinog mjerenja, a obratno proporcijonama
drugom korjenu broja mjerenja. Želimo li dobiti što tačniji rezultat, to treba


27




ŠUMARSKI LIST 1/1929 str. 30     <-- 30 -->        PDF

da umanjimo srednju pogrešku pojedinog mjerenja ili da povećamo broj mjerenja.
Sa povećanjem broja mjerenja popravljamo srednju pogrešku aritmet.
sredine u početku naglo, a poslije vrlo polagano. To se vidi iz ovog grafikona.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Slika 2.


Trebalo bi dakle neizmjerno mnogo mjerenja, da pogrešku svedemo na
nulu. Kako se u povećavanju broja mjerenja ne može ići baš jako daleko, to
treba da se poveća točnost (pomnjivost) svakog pojedinog mjerenja. Moramo
dakle naše primjerne plohe što objektivnije rasporedati po sastojini, što tačnijiskolčiti i isklupovati i one moraju po mogućnosti biti što veće.


(Nastavlja se.)


Résumé. Dans notre Service forestier, en Croatie et Slavonie, il est beaucoup
d´usage d´estimer les peuplements, a l´égard de leur masse ligueuse, au moyen de
I´inventarisation des »places-modeles« (places d´essai). Cettes places-modeles ont
le plus souvent la forme des cercles d´une surface constante Qu´on place en des
fiies a travers le peuplement a estimer, dans des distances permanentes et sans
égard, si les places sont peuplées ou vides.


De cette maniere, les différences en masse ligneuse, entre chaqu´une des placesmodeles
et le peuplement entier, réduit a la meme surface, ont le caractere des erreurs
fortuites ce qui admet l´application du calcul de compensation d´apres la méthode des
moindres carrés des erreurs et la détermination de l´erreur moyenne sur la base meme
des données obtenues des cettes places-modeles seules.


L´auteur, un jeune ingénieur forestier, qui a de cette maniere estimé beaucoup
de nos peuplements, rapporte ici — en appliquant a ses données la méthode des
moindres carrés — sur l´exactitude de ladite méthode d´estimation des peuplements et
fait voir, aux numéros a suivre, que cette méthode d´estimation, au moins en ce qui
concerne la surface terriere des peuplements, est tres exacte.


Le Rédacteur.


28