DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 23 <-- 23 --> PDF |
— 409 — kazah razabire se, da će veći trošak usljed ovih reformah, ako se provedu onako, kako to vlada prema ustanovam osnove zakona srajera učiniti, iznašati u ime povišenja berivah službenikah 11,020 for. Zakon bi imao valjanost steći odi. srpnja t. g. tako, da bi se dakle za ljetos imalo pobrinuti za pokriće većega izdatka od okruglih 130.000 forintah. Pošto u Ijetošnjem proračunu taj veći izdatak nije predvidjen, pobrinula se je vlada, da se nuždno pokriće nadje u okviru izvanrednoga proračuna, odnosećega se na uporabu suvišakah, proiztićućih iz obračuna s Ugarskom iz prošlih godinah, koj se visokomu saboru takodjer na ustavno razpravljanje predlaže. Vlada je u ostalom uvjerena, da će u buduće bez uštrba za ine zemaljske potrebe moći naći u redovitom prihodu unutar okvira autonomnoga proračuna pokriće za veći izdatak povodom ovih reformah, koje ona prema razloženu stanju stvari mora smatrati pravom, neodklonivom nuždom. Praktična uporaba trigonometrije. Mnogo puta nastupa kod raznolikih geodetičnih operacija u praksi slučaj, da je šumar prinužden stanovite distancije izmjeriti, eventualno proračunati indirektnim putem, a osobito u gorskih predjelih, gdje raznolike uvale, gudure i pećine, zapriećuju slobodno, direktno mjerenje, Ovakovi se problemi obično riešavaju ili jednostavnim graphičnim putem, ili pako na temelju zasadah o sličnosti trokuta. Koliko je pako ovakav postupak često tegotan, biti će poznato svakomu od gg. šumara, koji je imao prilike slične zadatke dešavati. Sa tachjrmetrom mogu se takodjer povoljni rezultati polučiti, nu ipak valja uviek na umu imati, da se na strminah odčitana distancija, u svrhu da se svede na njezinu horizontalnu projekciju, imade obzirom na kut naklona što ga terain sa horizontom zatvara, reducirati. Dočim se dosta puta dogadja, da mjernik neimade kod rukuh stroja, koji bi tako uredjen bio, da se može distancija na temelju optičkih zasada direktno odčitati, mora u takovom slučaju isti uporabiti ili zasadu o sličnosti trokuta — eventualno polygona — graphični način, ili trigonometriju za indirektno izmjerenje. Svi slični zadatci mogli bi se uspjehom trigonometrijskim putem riešavati, nu ova se methoda u šumarskoj praksi vrlo rado izbjegava, a to s razloga toga, što je ista skopčana sa logarithmovanjem goniometrijskih funkcija, a po tome i sa računskom operacijom, koja prilično poranje i vještine iziskuje. Nu trigonometrijske zasade mogu se riešavati i bez logarithmovanja goniometrijskih funkcija, a kako se pri tom laglje u praksi postupa razjasniti ćemo niže sa njekoliko primjera. |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 24 <-- 24 --> PDF |
— 410 - Logarithmovaiijern goDioniet,rijskih funkcija prištedimo doduše na multiplikaciji eventualno i divisiji, — koju samo računanje uvjetuje, no na tofinosti ne samo da ništa nedobijemo, već upravo gubimo, pošto su logarithmi sa posebnimi brojevi predstavljeni odnosno označeni, irracionalni eksponenti, koji nam pokazuju na koju potenciju imademo podignuti zadani broj, da se dobije tražena nepoznanica, a po tomu jest tada i pronađjena nepoznanica takođjer irracionalna. Nekanimo ovime zagovarati trigonometrijsku methodu i smatrati ju bezuvjetno potrebnom kod geodetskih operacija, već želimo samo razjasniti, u koliko bi se ista kod raznih šumarskih, mjeraćih radnja kao polakšica uporabiti mogla. Predpostavljajući, da su goniometrijske i trigonometrijske zasade svakom čitaocu poznate, držimo za suvišno iste ponavljati, pa ćemo ponajprije u kratko obrazložiti uporabu priležećih tabela, a zatim osvrnuti se na glavna principija o razrešenju pravokutnih i kosokutnih trokuta, nakon česa ćemo, obzirom na praktičnu uporabu, razriešiti njekoliko primjera, Priležeće skrižaljke sadržavaju prave omjerue veličine goniometrijskih funkcija i sinusa, cosinusa, tangente i cotangente od 10—10 minutah. Ako imademo pronaći funkciju za stanoviti broj stupnjeva i minuta, tada tražimo ponajprvo stupnjeve i ime dotične funkcije, gore ili dolje na nadpisu skrižaljke a minute lievo ili desno, već naprama tomu, da li dotični kut manje ili više od 45 ^ ^^ imade. Slažu li se točno zadane minute sa onima, koje smo u skrižaljci našli, tada je goniometrijska funkcija u istomu redku, i to u u onoj vertikalnoj rubrici, koja nosi ime zadane funkcije. Dočim sadržavaju ove skrižaljke vriednosti funkcija samo od 10—10 minutah, t. j . vriednosti od IO minutah i višekratnikah od 10, s toga nemožemo za stanoviti zadani broj minuta, koji nije višekratnik od 10, funkciju direktno odčitati, već ju moramo, arithmetijskom interpolacijom izračunati. U tu se svrhu imade ponajprije pronaći diferencija skrižaljka reducirana na T — pa se ista pomnoži sa zadanim brojem minutah i ovaj se tada rezultat pribroji ili odbije prije ustanovljenoj funkciji ili kofuukciji. Kod kutevah do 45"^ odčitavamo vriednost funkcijah neposredno iz skrižaljke. Na pr. neka se pronadje sinus 13« 20´? Na tabeli III. naći ćemo gore na glavi nadpis „Slnus^ a u rubrici lievo stupnjeve i minute; dakle, sin 13" 20´ = 0*23062; isto tako direktnim odčitanjem može se pronaći: na tabeli VIII sin 38*^ 30´ = 062252. „ VIII cos 36^ 40´== 0-80212. „ . IX tg 42« 20^ = 0-91099. . . IV cot 15´^ 10´ = 3-68909. Ako je ku t veći od45«,tađa se imadu nadpis i funkcija tražit i dolje na glavi, a i stupnjevi i minuti odčitavaju se neposredno, ali uviek u jednom stupcu gore više, kojeg difierencija zadani kut sa protustupnjem nadopunjuje na 90*^, na pr.: |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 25 <-- 25 --> PDF |
411 isa tabeli I. sin 86*´´ 30^ — 0-908l4>´ „ IL cos 8r-´ 40^-= 0-14493. „ „ IV, tg 73^ 30^ =-3-37594. , ,, YL cot 62^^ 2iy = 0-52427, U ovdje navedenih primjerih, bilo je dakle moguće u skrižaijka direktno pronaći zadanu funkciju, dočin) je zadani broj mtnutuh bio 10 ili pako višekratnik od 10; nu imademo li na pr. pronaći sin 2rM5´? tada ovomu kutu nemožemo direktno pronaći pripadajuće funkcije, već postupamo na sliedeći naćin: Kut od 21^ 15´ leži izmeđju kuteva 21^´ 10´ i 2V 20´ na tabeli V sin 21*^ 20´ = 0*36379 j _^ ^ V sin 21^ 10^^0-36108. \ — ako dolnju jeđnačbu od gornje odbijemo, tada je sin^ 10´ = 0-00271; podielimo li ovu diferencija sa 10, tada dobimo: sin V =0´000271; pomnožimo li sada ovaj iznos sa 5, to dobijemo sin 5´ =:= 0-000 271 X o — 0*001355. Imademo dakle: sin 5´== 0´00i355 ) a sin 21^ L^lžiJ^?^^2 i ~^ sbrojiv dobijemo sin" 21M.5^ = 0-362435. Neka se pronadje eos 56^ 18´?; kut od 56" 18´ leži izmedju kutevah 56´´ 10´ i 66« 20na tabeli VII cos 56" 10´ = 0´55678)^ „ VII cos 56" 20^^0-n5436( "" Odbivši dolnju od gornje jednačbe, dobijemo cos 10´ = 0´00242, ako ovu diferenciju diviđiramo sa 10, dobijemo cos 1´ — 0´000242, pomnožimo li ovaj iznos sa 8, dobijemo cos 8´ = 0-001936. Dočim cosinus, kao i sve ostale kofunkcije (cosinus-cotangens i cosecans) padaju, ako kut od 0—90^ raste, s toga se mora diferencija ustanovljena za stanoviti broj minuta odbiti od cofunkcije bliže ležećeg manjega kuta; a u ovom slu&aju imade se diferencija ustanovljena za 8´ odbiti od cofunkcije cos 56^ 10´, da se postigne cos od 56" 18´ dakle: (cos 56" 10´ -=0-55678 Odbiv dobijemo 8´:^ 0-001936 + cos cos 56" 18 1818^ ^^ =-0-554844. Na isti način opredieljuju se goniometrijske vriednosti za cot i cosecans, jer u koliko s jedne strane kut raste, u toliko s druge strane cofunkcija pada. Napomenuti nam je nadalje, da se ovakovim arithraetijskim interpoliranjem nepostigne nikada mathematički sasvim točan rezultat, nu pogrieška, koja se time počini, tako je neznatna, da se može zanemariti. Samo je po sebi jasno, da bi se zadatci sa pojedinima minutama najtočnije mogli riešiti * 8G« 30´ + 3" 30´ ====900. gt-^ j^.. funkcija za sin 86" 30^ to je funkc. 3*^ 30´, dakle se prema tomu odČitava sin SG*^ 30´ ondje, gdje se odčit-uje cos za coa Uredu, 3" 30´ |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 26 <-- 26 --> PDF |
— 412 — onda, kad bi bile skrižaljke izračunane takodjer na pojedine minute, gdje bi se tada Još mogle vriednosti od 10—10 sekundah interpolirati. Prije nego li predjemo na razriešivanje praktičnih primjera, riešiti ćemo još sliedeće zadatke, tako da bude uporaba skrižaljkah posvema jasn^: . Neka se na pr. pronadje sin 3« 46^? na tabeli I sin 3*^ 40´ = 0003951 „ I sin 3*^ 50´ = 0-06685( ~ ´ sin 10^ = 0-00290 sin 1^ = 0-000290 ´sin 6^ = 0-001740 j + sin 3^ 40´ = 0-06395 | "~ sin 8« 46´=r 0-065690 Neka se pronadje tg TO« 48´? na tabeli III tg 76« 50´ = 4-27471 i „ „ III tg 76» 40´ = 4-219331 tg 10´ = 0-05538 tg 1´ = 0-005538 8´ = 0-0443041 ^ |tg 76 0 40´==4-21933 | + tg 760 48´ = 4-263634 Neka se pronadje cos 65" 26´? na tab. V cos 65« 20´ =0-417341 „ „ V cos 65" 30´ = 0-4I469|´ coš rO´ = 0-00265 cos 1´ = 0000265. cos 6´ = 0001590 (cos 66« 20´ = 0´41734) (jer^ je´ cos´ coifunkcl) + I cos 6´ = 0 00159 j cos 65" 26´ = 0-41575 Neka se pronadje cot 56" 56´? na tabeli VII. cot 56« 50´ 0-65355 cot 57" 0-64941 cot 10´ = 0-00414 cot r = 0-000414 cot 6´ == 0-002484 cot .56" 50´ = 0-65355 1 .^ : cot ., 6´ = 0-002484J ~" 0^^ J® cot. cofunkcija). cot 66" 56´ = 0-651066. _ Cesto puta se dogodi, da imademo pronaći goniometrijskoj funkciji pripadajući kut, na pr. ako imademo označenu funkciju sinusa sa 0-56641, to ćemo na tabeli VII. pronaći u stupcu sinus 0-56641 označen pod kutem od |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 27 <-- 27 --> PDF |
— 413 — Neka se pronadje funkciji sinusa od 0"99814 pripadajući kut? Na tabeli I. pronaći će se dolje na glavi napis: „siniis^ i u istoma stupca 0´99814, a u stupcu s desna naći će se, da ovoj funkciji odgovara, kut od 8G^ 30^ Takovim načinom pronaći će se u tabeli IL 0´1443 ---== coy 81** 40´. Riešimo ovo: 3*37594 = tg =-C X? dakle kut X nije poznat. U tabeli IV. se nađje 3 37594-=tg a,: "73^ 30^ Isto tako kod zadatka cot X = 0-52427? naći će se u tabeli YL 0´52427 -- cot 62´ 20´. Ovo su bili slučajevi, gdje su se zadane funkcije točno slagale sa onima u skrižaljci pronađjeuinia, nu obično se dogodi, da se zadane funkcije neslažu sa onima u tabela pi´onadjenima na njekoliko decimala. U takovih slučajevib uzme se po prije navedenom načinu kut za susjednu manju goniometrijsku funkciju, ustanovi se, kolika je diferencija izmedju zadane funkcije i one iz tabela uzete, pa se ista dividira sa diferencijom skrižaljka na 1´ reduciranom. Quotient, kog ovom divisijom dobijemo, označuje nam tada broj minuta, koje se već prema tomu, da li imamo sa funkcijom ili cofunkcijom posla, gore izvadjenom kutu pribroje ili od njega odbiju na pr. Neka se pronadje kut odgovarajući funkciji sinusa od 0 362435? Kut je dakle nepoznanica, s toga pišemo: 0*362435 = sin r _.,X Na tabeli V. naći ćemo u stupcu sin, 0´36l08--sin 21"* 10´, isto tako naći ćemo 0´36379-== sin 21*^ 20´, — docim zadana funkcija od 0362435 leži izmedju pronadjenih funkcijah 0´36108 i 0"36379, to će jamačno i njoj pripadajući kut ležati izmedju 2V 10´ i 2V 20^; uzme se dakle manja funkcija od zadane iz tabelah 0´36108 -=sin 21« 10´ ima se tražiti za 0*362435--sin X Odbiv gornju vriednost od dolnje 0001355 -sin X´ — sin 21*´ 10´ sin 2 P 20^-=0*363791 sin 2V 10´:=:^ 0*36108i — 0*^^^^´ ^^ ^^ ustanovi diferencija "sin 10^^^^00271 sin 1´--0000271. Gore je dobiven sin X´ =-= 0-001355 sin 1´:: 0000271 po tomu 0 362435--sin 21" 15´, što je bilo gore zadano. — cos <^ X-0´5548441? Na tab. VII bližnji manji -=0-55436 J— diferencija vriednostih -0-0^0484 =- za kog je X--^-56*´ 20´ cos 56^ 10´--0-55678 i __ eos_56´ 20´--0-55436 i Diferencija skrižaljke za 10´, dakle cos 10´^--6()6242 cos l´=-0´000242 |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 28 <-- 28 --> PDF |
— 414 — gore ustanovljena 4!L*J:"-^J^^-2.^-^^ 2´ podieljena sa diFzaT^ — o"-00024´2 " po tomu gore ustanovljeno X - 56« 20´i X - 56*^ 18^ a prema tome jest 0-554844--= cos X-^^cos 56" 18´. U ovomu su slučaju odbijene 2´ od 56" 20´ iz toga razloga, pošto cosinus od 0 — 90*^ pada (jer je cofunkcija). Zadatak: 425364^tg )C X.? Ovdje je takodjer nepoznat kut X; za datak ovaj riešiti će se kao i prvanji, naime: tg X X-^ 4-26364] na tabeli III. nađje se bližnja manja vrieđnost ^-4-21933 ( za koju je X-=76´^ 40´ diferencija vrieduostih -- 0*04431 tg 76" 50´=-4-27471| tg 76" 40^--4´2l933f ~ tg 10´ = 0 05538 tg 1´ -- 0-005538. 0-04431 Dakle 0-005538 X-76" 40M ____^^8´/ + X == 76" 48´. Koji kut odgovara vriednostl cofunkcije cosinusa od 0´41575? cos ^ X = 0-415751— na tab. V. nadjena bližnja manja vrieđnost = 0´41469| za koju jeX = 65"30, diferencija vriednostih == 0´00f06 cos 65« 20^ ==0-41734 i — cos 65"^ 30^ = 0-41469 i Diferencija skrižaljka cos 10´ = 0´00265 cos 1´ = 0-000265 0-00106 sada je ^ 4´ 0-00265 X = 65« 30´! X-=65*^26´ Ovdje je ustanovljenih 4* s toga razloga odbijeno od 65" 30\ jer je bilo sa cofunkcijom posla. — Koji kut odgovara vrieđnosti cofunkcije cotangensa od 0´651066? cot diferencija vriednostih = 0001656 Ima se sada ustanoviti diferencija skrižaljkah: |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 29 <-- 29 --> PDF |
— 415 — cot 66*^ 50^ =- 0´65355| cot 57^ ^0-649411 " cot 10´-= 0*00414 cot r =- ()-000414 Dividira li se sada diferencija vrieđnostih sa diferencijom za V ustanov Jje^o«^; ^^ ^"0-000414=^ ^"^^" ^== ´^ ^i (Odbiv U nadi, da smo dovoljno razjasnili uporabu priležećih članku ovom tabela, prelazimo na temeljna principija o razrešenju: Pravokutnih trokuta. Da se trokut razriešiti uzmogne, valja da budu poznate 3 oline (treća oHna naime kut od 90*^, smatra se kod pravokutnih trokuta poznatim). Označimo li katetu zadanomu kutu nasuprot ležeću sa y; katetu zadanom kutu priležeću sa x; a hjpotenusu sa slovom u; to se po pojmu goniometrije sliedeći omjeri izpostavljaju: — =^ sin K ^- ili y == u. sin a : .,... , 1.) = cos a ili X = u. cos a; 3.) Y = tg a ili y - X. tg a; 3.) — cotg ^ a ili X = y. cot a.;. . . . . . , 4.) X -_^ = sec a ili u = X. sec a; ..... . 5.) X Slf u cosecoc ili u = y, cosec a; ..... . 6.) y y Iz formule ad 1.) y = u. sin a sliedi u 7.) sin a. „ „ ad 2.) X—u. cos a „ X 8.) u = cos a y „ „ ad 3.) y -= X. tg a „ X = 9.) a tg X „ ad 4.) X = y. cot a „ y = 10.) cot a u „ „ ad 5.) u == X. sec a. „ X ^= 11.) sec a u ^ ad) 6. u = y. coseca ,, y 12.) cosec OL Iz formula 1. i 2. sliedi: Kateta jednaka je hjpotenusi, pomnoženoj sa sinusom, prvoj (kateti) Basuprot ležećeg kuta, ili pako sa cosiuusom priležećeg kuta. |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 30 <-- 30 --> PDF |
_ 416 — Iz formula ađ 3.) i 4.) Kateta jednaka je drugoj kateti, pomnoženoj sa tangensom, prvoj (kateti) nasuprot ležećeg kuta, ili sa cotangeosom priležećeg kuta. Docim m secans i cosecans recipi-oke vriednosti cosinusa i sinusa, naime: 1 „. 1 . , ,-1 Sin a zz ili cosec a takodjer cos a rr ili sec a = cosec a sm a sec a -, s toga se dade pravilo, koje se izvoditi može iz formula ad 5.) i ad COS a 6.) reducirati na pravilo, koje sliedi iz formula ad 7-) i 8.), naime: hjpotenusa jednaka je kateti, diviđiranoj sa sinusom, potonjoj (kateti) nasuprot ležećega, ili cosinusu priležećega kuta. Iz formula od 9.) ^ I^-) sliedi: Kateta jednaka je drugoj kateti, diviđiranoj sa tangensom, potonjoj (kateti) nasuprot ležećeg kuta, ili cotangensora priležećeg kuta. Pravilo, koje se izvoditi može iz formula ađ 11.) i 12.), dade se reducirati na pravilo, koje je izvedeno iz formula ad 1.) i 2.) jerx = sec a cos a u. cos a; što imamo ad 2.) isto tako y z=i u u sin X ; cosec a sm a što imamo ad 1.) Navedena pravila mogu se u svih mogućih slučajevih upotriebiti za razriešenje pravokutnih trokuta. Iz naravi gore navedenih formula i pravila vidi se, da se jedan te isti zadatak može na više načina razriešiti, kako će to i sami primjeri još bolje pokazati. Neka se izmjeri stranica A B. sL 2., kojoj je samo jedna krajna točka, B. pristupna. U točki B. postavi se okomica pomoću kog mu drago kutomjernog stroja na A* B, (pomoću pravokutnog križa, kutnog zrcala, astrolabija i t. d.). Okomicu valja produljiti povoljno do točke C, izmjeriti zatim stranicu C B. i ^C´^c Uzmimo, daje GB. == 156"42 ^a-= 41^20´ Po formuli izvedenoj ad 3.) sliedi: A B = C B. tg a ili pako ako substituiramo vriednosti A B -= 156-42 X tg 41« 20´. Na tabeli IX. tg 4 P 20´ = 0-87955 dakle A B = 156-42 X 0-87955 = 137-759211 met. Po formuli ad 4.) izvedenoj riešiti ćemo ovaj zadatak A B ovako: ^-^ cotfiiliA B SlZ |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 31 <-- 31 --> PDF |
_ 417 " -=CB. cot p. ^^r [3=-90 —a =-90 —(41^20´)--48« 40´ stoga je AB- CB. cot fi = 156-42 X cot 48U0´ tia tab. IX. cot 48M0´ - 0-87955 dakle A B -= 156-42 X 0-87955 =- 137´579211 met. Po formuli ađ 9.) izvedenoj riešiti će se ovaj zadatak ovako: j-~ = tg^ ili C B = A B. tg Mli A B -= ^~-. § = 48*^ 40^*, tg fi = C B 156 42 1-13694 dakle ABr r = 137-579 met t^48H0´ 1-13694 Po formuli ađ 10.) izvedenoj riešava se ovaj zadatak ovako : 156-42 9^ ^ cot a ili C B = A B. cot a ili A B = -^^ ili A B cot 41*^ 20´; A B cot a. cot 41´> 20´ = 113694 dakle AB= -j^^?|^ = 137.579 met l-loo94 Ovdje je dakle jedan te isti zadatak na 4 razna načina razriešen. Neka se pronadje stranica A B si. 3., koja je samo u svojih krajnih točkah pristupna, nu po duljini ne^ pristupna. Isto tako ima se proračunati i stranica C B, koja je takodjer samo u krajnih točkah pristupna? Predpostavljajući, da je -^ u B 90« ili R izmjerim ^ a theodolitom, ahypotenusu A C izmjerim lancem, reducirajuć naravno duljinu na horizont. Si 3 Ako je ^ a -= SS´^SO^; a hypo tenusa A 0=904.50 met., tada je: B 0 sin (X ili B 0 = AC. sina ili BC A 0´ --904-50. sin 35´´ 30´. sin 35« 30´ " 058070, dakle B 0 = 904"50 X 0-58070 |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 32 <-- 32 --> PDF |
418 525.24315 met, nadalje A B a- ili A B = A C. cos x ili A B - A 0 cos 904-50. cos 35« 30´, cos 35*^ 30^-= 0.81412, dakle A B - 904´50 X 0´81412 = 736-37154 icet. — Neka se opređieli visiaa njekog predmeta AB slika 4.? Ponajprije valja izabrati točku C, sa koje se može vidjeti vrh i podnožje toga predmeta; u toj točki postavi se stroj, pa se najprvo izmjeri horizontalna distancija D; t. j . distancija od dotičnog predmeta, komu se imade visina opređieliti, pak do stajališta stroja, reducirana na horizont. Kad je izmjerena distancija D, onda valja jošte izmjeriti elevaciju i depresiju, t. j . kuteve a i fl Nelca bude D - 50*00 met. ^. a-=l3 ´ 17\ a r p-8° 02´; tada jest: Vi -=--= tg a ili Vi ´-=- D. tg a tg [3 ili V2 =- D. tg [ii D Sbroje li se ovdje dobivene jednačbe, to je svota: Vi -[-V2---D. tga + D. tg p. Izvadi li se iz posljednje jednačbe D kao zajednički faktor, to je: Vi + V2 -= D. (tg a + tg P), pa substituiraju li se sada u ovu jednačbu vriednosti, to se dobije: Vi + V2=-50´00 (tg IS´^ 17´ + tg 8´ 02´) tg 13« 17´ =- 0-236079 i ig 8« 2´-=0´04ll34J + tg 13^ 17´ + tg~^^^~~2´ ---- 0-377213 Dakle Vi + V2 - 50-00 X 0*377213 - 18-86065, a prema tome iznosi visina predmeta A B 18-86 met. Neka se opređieli horizontalna distancija izmedju točke M i N — kao i razlika visina V. si. 5., ako je poznata prava odaljenost P (po strmini mjerena) i kut naklona naprama horizontu a,? |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 33 <-- 33 --> PDF |
419 Neka je P--602*20 niet. a - 38« 15´ M SI 5 ^==cos X ili pako H -= P cos a ili H-=602´20. eos 38** 15^; cos S8´ 15´ =: 0 78532, dakle H =- 602 20 X 0"78532 - 472-919704 == 472-92 met. — Dočim V ´ je sada H poznat, to je -^r "^^8 ^ ili V = H. tg a ili V=- 472-92. tg 38´ 16´; li tg 38" 15´ = 0-788275, dakle V = 472´92 X 0788275 -= 372-791013 met. Ovaj isti zadatak mogao bi se još po sliedečih formula razriešiti. —-= sin (90 —a) ili H-^P. sin (90 —a) = sin oL ili V = P. sin a I P == cos (90 ~ a) ili V =- P. cos (90 — a) P Posliedoje dvie jednačbe, naime V -^ P. sin a i V = P. cos (90 — a) sjećaju nas, da je sin a === cos (90 — a) ili da je funkcija njekog kuta jednaka cofunkciji, fistomu kutu) komplementarnog kuta. Imade se narisati kut od 48^ 20´. Da se ova zadaća rieši, to valja povući povoljni pravac A B sL 6. Neka je isti dug 10^, ~ 100^^. Iz krajne jedne točke ovoga pravca uzvisi se okomica, koja će biti buduća druga kateta, dočim 29 |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 34 <-- 34 --> PDF |
— 420 — ima zadani kut biti 48^ 2o´, a stranica A B = 100 ´%, to ce nova kateta biti X milimetara dugačka, pa fe tada takodjer biti -r ^ = tg 48^ 2& ili X ~ A B. tg 48´ 20^ dočim je tg 48´ 20´--M2369, to je X = A B. 1-12369 ili X-=100 X 1-12369 ^112-369^^. Prenese li se sada na okomicu od točke B 112-369%, to se dobije kateta X, pa spoji li se točka B sa krajnom točkom katete X, to je tim nastao kut kod A SIS nedvojbeno 48*^ 20´ velik. (Da sama slika prevelikom neizpane, uzeto 1% =-2%), A B -100 % X ^ 112*4% onda je == ^ a 48^ 20´. Imade se .narisati kut od 165´ 30´? Da se zadatak ovaj uzmogne riešiti, valja se ponajprije sjetiti, da su funkcije zadatog i suplementarnog kuta jednake. Suplementaran kut kutu a, jest onaj kut, koji ga na 180´ nadopunjuje. Dakle: tg a=.tg (180-a) po tome tg 165´ 30´ = tg 180 — (1650 30´) 180´ 165<^ 30 tg 165*^ 30´-=tg 14´ 30´ Povuče li se dakle opet povoljan pravac A B si. 7., na primjer lOOw/,„ dug, pa se na jednom kraju istoga uzvisi okomica X, tada je X = A B. tg lA" 30´ ili X==100.tg 14o30´;tgJ4^30´-0-25862X-I00X025862=^25-862%.— Sada valja odmjeriti od točke B u smjeru okomice X =:= 25´862%, pa krajnu točku dobivene nove katete spojiti sa A, Time se dobije kut od 14** 30´, a produlji li se jošte pravac A B u smjeru naprama y, to se dobije kut od 165´ 30´; dakle ^ y A X-:l65o 30´, što bijaše i zadano. ´I´O i´i V. |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 35 <-- 35 --> PDF |
42 i Kao što je u ova 2 slučaja upotriebljena fanki: ´p: oc, da se uzmognu zadani kutevi narisati, to se isto tako mogu siičiu. z ,i".ci i sa ostalimi faokcijami riešavati, dakako obzirom na postojeće trigonometrijske propise. Češće se dogadja, da se imadu već u nacrtih urisani kutevi odčitati i u narav prenieti (na pr. kod reambuiacije šumah), a slučajno rieimademo kod rukuh transporteura, koji je udešen tako, da bismo mogli kuteve na minute odčitati, tad možemo i taj zadatak gooiometrijskim putem riešiti. Imademo na pr. katastralni nacrt (si. 8.), pa bi rado znati^ koliko stupnjeva imade ^ a, da ga u naravi izkolSimo. Da se taj zadatak riešiti uzmogne, to valja ponajprije povući iz točke 0 okomicu na pravac A B, cime nastane pravokutan trokut A C 0. Nakon toga valja uzeti šestilo i transverzalno mjerilo, pa izmjeriti stranicu 0 C i stranicu 0 A, Ako je 0 C - 56´6 m. a 0 A = 71´2 m., 0 C 56´6 tada je: sin a = ^ ^ 71-2 — 0-79522, kojoj funkciji odgovara kut od X gradi. Zato je sin ): X -- 0 79522 na tab. VIII. bližnja i manja vriednost=^ 0-79512 kojoj odgovara kut (x.= 52^ 40^ Diferencija vriednostih =-0*00010. Sada valja ustanoviti diferenciju skrižaljke: sin 52*^ 40´-^0-79512 Odbiv gornju jednačbu sin 52" 50´ -=^ 0-79688 od dolnje jest Si 8 sin — 10´= 0-00176 sin r-^ 0 000176 O´OOOl po tom okruglo 0-6´ == 36^´ 0-000176 dakle X^-52^ 40´ 36´ + X--52´* 40´ 36´´ Po tomu iznaša dakle ^ a-^52« 40´ 36". Imade još sijaset raznih mogućih zadataka, koji se mogu pomoćju pravokutnih trokuta riešiti; nu nije nam nakana, da razvijamo trigonometrijsku trianguiaciju, već samo da navedemo u koliko bi se dala trigonometrija u mnogih slučajevih u praksi shodno upotriebiti, pomoću skrižaljkah, koje sadržavaju prave vriednosti goniometrijskih funkcijah. A sada evo jošte njekoliko praktičnih primjera, koji se dadu riešiti pomoćju: |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 36 <-- 36 --> PDF |
— 422 — Kosokutnih trokuta. Za razriešenje kosokutnih trokuta najviše je od važnosti sinusov i tangentin stavak, pa ćemo u nastavku obzirom na svaki stavak, po jedan primjer razriešiti. Ako je zadana jedna stranica i oba njoj priležeća kuta, ili dvie stranice i većoj stranici nasuprot ležeći kut, tada valja razriešiti trokute po sinusovom stavku. Neka se na pr, opre- C diele duljine: B C-a, A C-^b i ^ C. Da se ovaj zadatak riešiti uzmogne, valja izmjeriti stranicu A B-c i^ Ai^B. Uzmimo, da je stranica c mjerena lancem i da mjeri 265´8 met; a < B = 58^ 20´ <)^ A ==62´* 40´ sada je: ^^ C -= 180 —(r A + < B), dakle ^ 0--180—(58´ 20´ + 620 40´) =-=590 i time je već jedna gore zadana olina pronadjena, naime kut C; valja dakle još pronaći stranicu a i b. U tu svrhu postavi se sliedeći razmjer: c sin A a : c - sin A : sin 0 ili iz ovog razmjera sliedi a =- A—7:^—, ili ako se u sm C 265´8 yc sin62M0 ovu jednafibu substituiraju vriednosti pojedinih olina, to je a = ~~, , ~ sm o9 sin 62*> 40´=-0 88835 265-8 X 0-88835 sin 59« --0´85717, dakle po tom je a- -=275*46 met. 0-85717 Sličnim načinom može se i stranica b izračunati, jer je b:c-=sin B: oj« n ;K K ^- sin B. .,. , 265-8 X sin 58° 20´ . .^ ^,,, sm C. ih b-=—^—^ih b--— -.--^.- sin oS** 20´-:0´85ll2 sin sin 0. sin h^´ 265-8 X 0-85112 590-0-85717 dakle b-^ 263-9297 met. 0 85717 Ako su zadane 2 stranice i kut medju njima, onda riešavamo zadatak po tangentinom stavku. Kod ovoga načina razriešavanja moraju se ponajprije proračunati druga dva, još nepoznata kuta, dočim se treća stranica zatim računa po sinusovom stavku. |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 37 <-- 37 --> PDF |
423 ™- Neka se ca pr, opredieli stranica t v o´jerbo je u sredini šuma, a isto tako ne u.), stojeće drveće spriečava slobodnu Tisuru, ^ ^ ( t 1 ´ t tjo mjeriti, A i B inieriti, jer Da se ovaj zadatak riešiti uzmogne, to valja potražiti neku treću točku C, sa koje se obje točke A i B vide. Kad je ta točka nadjena, onda valja mjeriti stranice a i b lancem, a kut C tbeodolitom. Nakon toga valja najprije proračunati kuteve A i B, a zatim se može po sinusovom stavku izračunati stranica c. — Uzmimo, da je mjerenjem ustanovljeno: ^ C--106« 50´ a = 591-46 Met. b-= 515*47 Met. tad je A -f- B 4- C -= 180" A + B =180—0 A + B~ 183—C 2 2 a = A + B ^180-W50´^3^.3^, 2 _. . A+B dočim je —^— = 36" 35´ s toga je . , A + B = tg 36" 35´ tg 36° 35´ = 0-74221 - ,, . . A + B dakle je tg —^— =:=0´74221. A + B A-B Po tangentinom pako stavku sliedi: a-Kb:a—b^t g 2 ^2 |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 38 <-- 38 --> PDF |
- 424 — Substituiraju li se sada vriednosti u ovaj razmjer, to dobijemo (591´46 + 515-47): (591-46—515-47)-0-742žl:tg — ~ ili t , Az:B^(i91l46-5l5;47)_X_07J^221 ^^ 2 591-46+ 515-47 Sada valja pronaći ovoj funkciji tg -^ = 0-05095 pripadajući kut: A—B Za tg $: X = 0-05095 pronaći će se iz skrižaljka kut od 2° 55 2. Po prijašnjem je i — = 36" 35´, a sada je ustanovljeno—^—=2° ^^´´ P^ ako se ove dvie jednačbe jedan put zbroje, a jednom odbiju to se dobije u prvom slučaju ^ A, a u drugom -^ B. Dakle: A + B A + B 36" 35´´ 36° 35´ Azi?=. 2" 55´J ^~= 2» 55´/ ^ A = 39" 30´; ^B =33" 40´ Pošto su sada proračunani kutevi A i B, to se može i stranica c lasno izračunati, jer se: c:a = sin C: sin A. usljed česa je c==—-.—r— sin A. Po uvodnoj premisi jest: a = 591-46 met.; ^ C = 106" 50´ sin 106° 50´ = sin 180" —(106"50´) (suplementorni kut) 180-106" 50´— 73" 10´ dakle sin 106" 60´ = sin 73" 10´ sin C = sin 73" 10´ sin 73" 10´= 0-95716 sin A = sin 39° 30´ = 0-68608 po tomu c 591-46 X 0-95715 =— 890-00 met. — 0-63608 Ovaj isti slučaj bi se mogao još i tako riešiti, da se umjesto tg —^t_ a ,G. . A + B 180 —C .„,tgA+B ^ C umetne u razmjer cot ^ jer je—^~ = ^—, ih -^^^I_ = tg 90 -^ = Q ri A Ti cot ^ usljed česa bi razmjer imao ovu^formu: a -f b : a—b -= cot^ : tg —^ - Rezultat ostaje medjutim jedan te isti, po kojoj god formi računali; pa se prema tomu bira onaj način računanja, koji se prikladnijim čini. Konačno da razpravimo još jedan primjer. Kako se naime postupa, ako je distanoija sasma nepristupna, a ima joj se opredieliti veličina? |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 39 <-- 39 --> PDF |
42: Imade se na pr. opredieliti odaljenost izraedju točaka A i B, koje su po cieloj svojoj duljini nepristupne. Za riešeaje tog zadatka valja odabrati pristupnu temeljnicu C D. Duljinu iste valja lancem izmjeriti, a sa krajnih njezinih točaka kutomjerom mjeriti: ^ «, < P, ^ Y, < S. Mjerenjem je ustanovljeno da je: C D = 550 met., ^ « = 74" 10´,^ p = 54" 20´ ^ Y = 18" 30´ ^ S —- 49° 40´. Zadatak će se riešiti razmjerom: B D: C D == sin ^: sin K, < K == 180° _(p-|_ y 4.8)^ ^ K==180<*— (54° 20´+ 18° 30´+ 49° 40´) dakle ^ K = 57° 30´. S toga je B D: C D == sin 540 20´: sin 57° 30´ ili B D = C D. sin 54° 20´ sin 57° 30´ sin 54" 20´==0-81242 sin 57° 30´ = 0-84839, 550 X 0-81242 a po tomu B D 52967 met. 0 84339 Analogno ovomu se odnosi: A D: C D = sin (a -4-{i): sin e ^ «= 74° 10´ ^j:; [i= 54° 20´ .; a+>-^128° 30´ sin 128° 30´.-.sin (180°—128°30´), dakle sin 128° 30´=sin,51» 30´, sin 51o 30´ = 0-78261 --- sin (a + (3); K e ==. 180 — (« + ?> + {), < e = 180"-(74° 10´+54" 20´+ 18° 30´) = 33° sin < e = sin 33°==0-54464, dakle A D; 550 = --=0-78261:0 64464 ili A ^ = = "-0^7464— — 790-31 met. |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 40 <-- 40 --> PDF |
— 426 — Pošto su sada proračuaane duljine stranica: B D —529´67 met. i stranica A D=-790-32 met, to se može uporabom tangensovoga stavka lasno još proračunati i stranica A B, jer je: A D ~h B D: A D — B D = tg. 1800—S, 180-49´ 40´ 65´ 10 (n + k) + m ^.0 i A/ po tomu:^ ~ ==bb´´ 10 a stoga: tg o -"= ^S 65° 10 = 2*16090. Ako se ova posliednja vriednost substituira u gornji razmjer, to se dobije : A D + B D : A D—B D =2´16090: tg ^^´^ ^""^, a nakon zamjene vriednosti od A D i B D dobyemo: (790-32 + 529´67): (790-32- 529´67 = 2*16090 : tg ^ ^ ? "^´ ili tg (° + ^^)-´" ^ (79Q-32-529´67) X 216090__ 2 ~ (790-32 + 529´67) ~ 260-65 X 2-16090 0.426699= tg < X. 1319-99 U skrižaljkah pronaći će se, da je 0426699 = tg ^ 23» 6´ 24", dakle (Q + k)--m^^g^ g, g^„_ ^ ^^..^ .^ izračunano, da je (A±|1± 5 = 65"iO, pa ako se sada medjusobno jednom zbroje, a jednom odbiju ove dvie jednacbe, to (5e se dobiti u prvom slučaju < (n -f k), a drugom slučaju ^ m naime: (n -f k)—m (n + k) 4- m Y +~ ^ ^^^^^%?,-6´ 24´^+ 650 10´ ili (n + k) =88´* 16´ 24" (n + k)—m (n -h k) + m ^ ^ ^-^^2^-= ^^ ^´ 24"-65´^ 10´ n + k-m-n m = 23*^ 6´ 24^´—65´ 10´ 2 m =^— 42´ 3^ 36" ili ^ m = 42´ 3´ 36". Prema tome imamo: A B : B D sin S:sin m odnosno A B:529´67 = sin 490 40´: sin 42« 3´ 36´^ ili A B . ^ ^^^4^A ^^^^9^^^^^^^ iz česa resultira sin 42" 3* 36^´ |
| ŠUMARSKI LIST 9/1894 str. 41 <-- 41 --> PDF |
427 — 529-67 X 0-76229, da je A B ^= 602´71 liiet. dug, cime ie gore stavljena 0-615991 zadaća riešena*. Iz ovo njekoliko primjera vidi se, da se mogu trigonometrijske zadaće lasno i pomoću priležećih tabela riešavati, ter da se naprema stepenu točnosti, kog sama radoja zahtieva, može opredieliti broj decimala. U ovdje riešenih primjerih svuda je računano sa iunkcijama na 5 đesetinskili mjesta, nu ako se neradi o velikih distancija, mogu se uzeti samo 3 desetinska mjesta (na pr. kod odaljenostih do 300 met.) osobito onda, ako sama radnja nezahtieva osobite točnosti. Imade jošte mnogo raznih geođetičkih zadataka, koji se u stanovitih slučajevih dadu mnogo laglje riesavati trigonometrijskim putem, nego li inim kojim. Glavna svrha ovoj radnji bila je samo nakana, da se razjasni, kako se mogu riesavati razni trigonometrijski zadatci, a da se goniometrijske funkcije nelogarithmuju, pa pošto se većina geodetičnih zadataka dade svesti na ovdje razriešene primjere, to će nam biti drago, ako smo kojemu od gg. praktičara ovom radnjom poslužiU. D. K. Ouercus rubra (amerikanski crveni hrast). u „šumarskom listu" za mjesec srpanj t. g. (str. 334.) donesena je po njemačkih izvorih viestica o amerikanskom crvenom hrastu, te su pohvaljena i njegova svojstva, pa je preporučeno, da bi ga bilo vriedno u šumah razploditi. Ta viestica daje mi povoda, da nekoja ob ovom hrastu priobćim, u koliko bi on za naše šume vriedio, jer mi je ovaj hrast iz naših predjela već odavna poznat, 0 kojem sam jedan članak i u „Šumarskom listu" godine 1889. donio, a sad mu donašam i sliku žira u naravnoj veličini, kako kod nas raste. * Starija gg. sudrugovi sjećati dese s naše domaće strukovne „Almae", a iz đjaSkili dana, da smo slični zadatak: (mjerenje odaljenoati izmedju tornjevah rimo-kat. i grko-kat, crkve u Križevcih, sa temeljnice osnovane na briegu iznad ratarnieke bašce rieSavali, naravno uz logarithmovanje ovim načinom: Nakon Sto je izmjerena temeljnica D C, mjereni bjehu kutevi C i D u svrhu, da se ustanove kutevi A i B po onoj, da je i A =^=: 180—(C + D). Iza toga označene su kratkoće radi stranice A C=:=h, C B^^^^^b, C D zr-^ c, pa su za pronadjenje b, odnosno b´ postavljani sljede(5i omjeri, b: c =^ sin D: sin A, iz toga: c. sin D Ig c Ig sin D » ^^ . br-.---^ — =:=^--lg b=^^ ~~——— =z=r^lg c-^l g siu D—ig siu A. Pošto je sin A Ig sin A sličnim omjerom pronadjen i b´^ postavljena je za izraČunanje odaijenosti A B sliedeća jednačba : X3 -^.z. b^ _[-. b´2 _ 2 bb^ C08 C. Uredn. |